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1、目 录摘 要1关键词1Abstract1Keywords1前言11 预备知识11.1二次型定义11.2正定二次型定义22 正定二次型的性质23 正定二次型的应用73.1正定二次型在解决极值问题中的应用73.2正定二次型在分块矩阵中的应用.83.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用93.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用103.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用113.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）123.7正定二次型在解线性方程组中的应用.123.8正定二次型在物理力学问题中的应用.12结束语.13参考文献13正定二次型的性质及应用摘
2、 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applica
3、tions of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partitioned matrix. 前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次
4、型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.1 预备知识1.1 二次型定义设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式+称为数域上的一个元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型.1.2 正定二次型的定义定义1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实
5、数都有.定义2 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.2 正定二次型的性质性质1 实二次型=是正定的当且仅当.证明 必要性.因为=是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数都有.于是取一组不全为零的实数：（这里第个为1，其余个为0），有=.充分性显然.性质2 元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明 设二次型经过非退化实线性替换变成标准型 . （1）上面的讨论表明，正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当，即正惯性指数为.性质3 正定二次型的规范形为，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.性质4 实二次型
6、. =，正定的必要条件为证明 有实二次型知是一正定矩阵，因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使.两边取行列式，就有.性质5 实二次型=为正定的充分必要条件是的特征值都是正数.性质6 若是正定矩阵，则也是正定矩阵.证明 如果正定，则由性质2知，因而可逆，且其存在可逆矩阵,使，将等式两边取逆有，令，于是，所以也是正定矩阵.性质7 若是正定矩阵，则对任意的实数，也是正定矩阵.证明 因为正定，所以对任意维实向量，都有，若，则，故为正定矩阵.性质8 若是正定矩阵，则的伴随矩阵也是正定矩阵.证明 因为正定，因而，且有性质四知也正定，而=，又由性质5知为正定矩阵性质9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若正定
7、，则与单位矩阵合同，若也正定，则也与合同，即、都与单位矩阵合同，故、合同.反之，若、合同，且正定，即与单位矩阵合同，所以也与合同，故也为正定的.综上，结论成立.性质10 若、为正定矩阵，则也为正定矩阵.证明 因为、为正定矩阵，故，为正定二次型，于是=也必为正定二次型，故为正定矩阵.性质11 若是正定矩阵，则对任意的正数，也是正定矩阵.证明 因为正定，那么当时，为实可逆矩阵，所以正定；当时，因而与合同，有性质7知为正定矩阵.所以无论哪种情况，都正定.性质12 实二次型=，矩阵的主对角线上的元素都大于零.证明 因为是正定矩阵，于是对任何， 恒有=，其中为的元素，令（行）那么证毕. 性质13 实二次
8、型=是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.证明 先证必要性.设二次型是正定的.对于每个，令我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数，有因此是正定的.由性质4，的矩阵行列式.这就证明了矩阵的顺序主子式大于零.再证充分性.对作数学归纳法.当时，由条件显然有是正定的.假设充分性的判断对于元二次型已经成立，现在来证元的情形.令，于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，是正定矩阵，换句话说，有可逆的级矩阵使,这里代表级单位矩阵.令,于是.再令，有.令，就有.两边取行列式，.有条件，因此.显然.这就是说，矩阵与单位矩阵合同，因之，
9、是正定矩阵，或者说，二次型是正定的. 根据归纳法原理，充分性得证.3 正定二次型的应用3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用定理1 设元实函数在点的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点近旁有性质：1) 若正定，则为极小点；2) 若负定，则为极大点；3) 若不定，则非极大或极小点；4) 其余情形时，在性质有待研究余项的性质来确定.特别当是二次函数时，=0只要半正（负）定，则为极小（大）点.例1 求函数的极值.解 ,，.解方程组，易得，（符号任意搭配），.于是，经计算得正定；负定；不定.故，在，不取极值；在点，取极小值，；在点，取极大值，.3.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.例
10、2 设，分别是阶正定矩阵，试判定分块矩阵是否为正定矩阵.解 可证是正定矩阵.因为，都是实对称矩阵，从而也是实对称矩阵且任意的，令，其中，且至少有一个是非零向量，于是.故是正定矩阵.3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用例3 设次实系数多项式的根为，令， .证明 易证,这里.必要性 设是个互异实根，因为是范德蒙行列式，所以，即是非奇异的.又因为,所以与合同，即正定.充分性 设是正定的，所以，那么互异.若中有非实数，例如，那么的共轭数也是的根不妨设.因为是非奇异的.所以线性方程组 （2）有唯一解.因为是正定的，所以，作为二次型的是正定的,由（2）式有.这与是正定即是正定的矛盾，所以中不
11、能有非实数的复数，所以个根为互异的实根.3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用例4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.其中.作平移代换,，则有即令又因为 所以适当选取，使，由秩知：（线性方程组）有唯一解：.由，又因为是可逆实对称阵，所以存在正交阵使得，其中，为的特征根.作正交线形替换,则.即，原方程可以化简为.3.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用众所周知线形方程组即任意一组都可能使不等于零，我们设法找使最小，这样称为方程组的最小解，这种问题就叫最小二乘法问题.若记为上述线性方程组的系数矩阵，于是使得值最小的一定是方程组=的解，而其系数矩阵是一个正定矩阵，它的惯
12、性指数等于，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解.3.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理 设是上的欧氏空间，那么的内积与阶正定矩阵是一一对应的.3.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.例5 （1）用矩阵给出平面上个点共线的充分必要条件（2）设是阶满秩矩阵，试证，是一个正定二次型，这里.解 （1）设直线，个点共线是指线性方程组（把看成未知量）有解，所以个点共线所以方程组有解 .（2）设是阶满秩矩阵，令,其中，则是非退化现行替换，且，由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于，所以是正定二次型.3.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.因为在物理力学问
13、题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.命题 设是阶正定矩阵，是阶实对矩阵，则存在阶可逆矩阵，使得,其中为对角阵.证明 因为是正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使得，令显然仍为实对称矩阵，所以存在阶正交矩阵，使得.取，则有另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.结束语以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出2个定义，13个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的7种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次
14、型的部分应用.参考文献：1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引M.北京：科学出版社，2001. 3杨子胥.高等代数习题解（上下册）M.济南：山东科学技术出版社.4张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，1984. 5杨子胥.高等代数精选题解M.北京：高等教育出版社，2009. 5高等代数与解析几何(下) M北京:高等教育出版社,20036高等代数与解析几何(上) M北京:高等教育出版社,20037苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论M上海:科学出版社,20069 Johns on CR，RAHonMatrix AnalysisMNew York：Cambridge University Press，1985