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1、.2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（ 2008 年 4 月 13 日）命题人：胡云华（版权所有，请不要转传其他商业网站）本卷满分为150 分，考试时间为120 分钟三题号一二151617总分得分一、选择题：本大题共 8小题，每小题6 分，共 48 分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合 M a, b,(ab), aR, b R, ，集合 P1,0,1 ，映射 f: xx 表示把集合M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为x ，则以 a,b 为坐标的点组成的集合S 有元素（）个A 2B 4C 6D 8uuuruuur2 uuurSAPD2设 D 为 ABC 的边 AB 的
2、中点， P 为 ABC 内一点，且满足 , APADBC ，则SABC5（）A.3B.21355C.D.5103在点 O处测得远处质点P 作匀速直线运动， 开始位置在 A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达 C点，测得AOB900 , BOC300 ，则 tanOAB（）A 3B3C 2 3D 222334已知当 x时，函数 ysin xa cos x 取最大值，则函数y a sin xcos x 图象的一条对6称轴为（）A x3B x3C x6D x65已知 是函数f (x)x log a x2008,( a1) 的一个零点，是函数g( x)xa x2008 的一个零点，则的值为（）A
3、1B 2008C 20082D 40166函数 f ( x) 的定义域为D，若满足f ( x) 在 D 内是单调函数，存在 m, nD , 使 f (x) 在;. m, n 上的 域 1 m, 1 n ，那么就称yf ( x) “好函数”。 有f ( x)log a (a xk ),22(a0, a1) 是“好函数” ， k 的取 范 是（）A (0,)B (, 1)C (0, 1)D (0, 14447如 ， 一个棱 a 的立方体内有1 个大球和 8 个小球， 大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共 点的三个面也相切， 在把立方体的每个角都截去一个三棱 ，截面都 正三角形并与小
4、球相切， 成一个新的立体 形， 原立方体的每条棱 剩余（）A (6 33) a B (6 3 3)aC5 3 8 aD (5 38)a228使 2n32 完全平方数的正整数n 有（）A 2 个B 3 个C 4 个D 无数个二、填空 ：本大 共6 小 ，每小 8 分，共 48 分。9 已 知 向 量 a, b, c 满 足 abc 0, (a b) c, ab ， 若 a1 ， 则得分 卷人rrbc _.10若 数列 an 中任意 三 和都 正数，任意 四 和都 数， 数 n 的最大 .A1主视图C1A1C 111如 是一个 方体 ABCD-AB CD 截去几个角后的1111BC多面体的三 ，在
5、 个多面体中，AB=4,BC=6,A1D A 左视图 BCC1=3. 个多面体的体 .12把一根 7 米的 截下两段（也可以直接截成两段）， 两段的 度差不超 1 米，分 以 两段 C1的周 成两个 ， 两个 的面 之和的最大 B俯视图平方米13在正整数数列中， 由 1 开始依次按如下 取它的 ：第一次取1，第二次取2 个 偶数 2、4；第三次取 3 个 奇数5、7、9；第四次取 4 个 偶数10、12、14、16；第五次取5 个 奇数 17、 19、 21、 23、 25按此 一直取下去，得到一个子数列1，2， 4， 5， 7， 9， 12， 14，16， 17， 在 个子数列中，由1 开始
6、的第2008 个数是.14 x (0, ) ， 函数 y122cos24 的最小 _.2x sin x;.三、解答题：本大题共3 小题，共54 分。15（本小题 16 分）已知函数f ( x)2cos 2 (x)3 cos2 x 1, x R .得分 评卷人4（ 1）求函数 f (x) 单调递增区间；（ 2）若 A y | y f ( x), x, ，不等式 xm3 的解集为 B， A I BA ，求实数 m 的42取值范围。16 (本小题满分18 分 ) 设 f ( x)3ax 22bxc ,若 abc0 , f (0)0, f (1)0 .（ 1）求证：方程f ( x)0 在区间（ 0，1
7、）内有两个不等的实数根；得分评卷人（ 2）若 a, b, c 都为正整数，求abc 的最小值。;.17（本小 20 分）在 xoy平面上有一系列点P ( x , y ), P ( x , y ), ， P ( x , y ), 每个111222nnn正整数 n , 以点 Pn 心的 Pn 与 x 及射 y3x,( x 0) 都相切，且Pn 与 Pn 1 彼此外切若 x1 1, 且 xn 1xn （ n N * ）yy= 3x（ 1）求 ：数列 xn 是等比数列，并求数列 xn 的通 公式；P 1（ 2） 数列 an 的各 正，且 足P 2anxn an 1 , a1 1，oP3xxnan 1求
8、 ： a1x1a2 x2a3 x3L Lan xn51,( n 2)43n1得分 卷人（ 3）当 n1 ，求 ：(1 an )2 a22a33Lann41 an1(1 a22 ) 2(1 a33 )2(1 ann )25an2 L ann;.2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150 分，考试时间为120 分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共 8小题，每小题6 分，共48 分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合 M a, b,(ab), aR, b R, ，集合 P1,0, 1 ，映射 f: xx 表示把集合M 中的元素 x 映射到集合 P
9、 中仍为 x，则以 a,b 为坐标的点组成的集合S 有元素（C ）个A 2B 4C 6D 8MP ，a 1 a1 a 1 a 0 a 0 a 1【分析】显然,有 6 组解， S 有 6b 0 b 0 b 1 b 1 b 1 b 1个元素，选 C。uuuruuur2 uuurSAPD2设 D 为 ABC 的边 AB 的中点， P 为 ABC 内一点，且满足 , APADBC ，则SABC5（ C ）3B.2C.1D.3CA.55105uuuruuur2 uuuruuur2 uuuruuuruuuruuurPE【分析】如图 DPBE5BC ADBCADDPAP5A1ADDP sinABCDB四边形
10、 DPEB 为平行四边形，S APD21 ，选 C。S ABC1ABBC sinADP523在点 O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达 B 点，再过一分钟到达 C 点，测得AOB900 ,BOC300 ，则 tanOAB（ B）DAA 3B3C 2 3D 2PB2233OC;.【分析】如图延长OB 到 D，使得 BD=OB ，则四边形OADC 为平行四边形ODCAOB900 ，又BOC300 ，则 OB1 OD3 DC3 OA ，222tanOABOB3OA，选 B。24已知当 x时，函数 ysin xa cos x 取最大值，则函数ya sin xcos x
11、图象的一条对6（ A称轴为）A x3B x3C x6D x6【分析】当 x6时，函数 ysin xa cos x 取最大值，13aa2122解得： a3 ， y a sin xcosx2sin( x) ， x3是它的一条对称轴，选A 。65已知是函数f (x)x log ax2008,( a1) 的一个零点，是函数g( x)xa x2008 的一个零点，则的值为（B）A 1B 2008C 20082D 4016【分析】如图：是曲线 y2008与曲线 ylog ax交点 A 的横x2008坐标，是曲线 y与曲线 yax 交点 B 的横坐标，x函数 ylog a x 与 yax 互为反函数， A
12、与 B 关于直线 y=x 对称即为点 A 的纵坐标，2008 ，选 B6函数 f ( x) 的定义域为D，若满足f ( x) 在 D 内是单调函数，存在 m, nD , 使 f (x) 在 m, n 上的值域为 1 m, 1 n ，那么就称yf ( x) 为“好函数” 。现有f ( x)log a (a xk ),22(a0, a1) 是“好函数” ，则 k 的取值范围是（C）A (0,)B (1)1D (0,1,C (0, )444【分析】因为函数f( )loga(axk),(a0,a1)在其定义域内为增函数，则若函数 yf ( x)x为“好函数” ，方程 f ( x)1 x 必有两个不同实
13、数根，loga (a xk )1 x22;.a xxaxx(0, 1) 选 C。k a2a2k 0 ，方程 t 2tk0 有两个不同的正数根， k47如图， 一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和8 个小球， 大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（D ）A (63 3) aB (633)a C5 38 aD (5 3 8)a2a2DH【分析】大球的半径为，设小球的半径r ，则AC2FO2E2 3r 2r a3a r312331)aa2(2O
14、1O3设小球切截面CDE 于 F，则 AF3a 4r a3 3 5 a22GB设 ACx ，利用等积法求得 x3AF9 5 3 a ，所以 CH a 2AF (5 3 8)a2选 D。8使 2n32 为完全平方数的正整数n 有（）A 2 个B 3 个C 4 个D 无数个【分析】若 n 5, n N，当 n 2, n5 时， 2n32 分别为 36， 64 是完全平方数；若 n5, n N，设 n5k, kN， 2n3232(2 k1) ，若它是平方数，则令：2k12m2 , mN ，即：2m22k1，左边一定为偶数，而右边则是奇数，所以方程2k12m2 无正整数解，选A 。二、填空题：本大题共
15、6 小题，每小题8 分，共 48 分。9 已 知 向 量 a, b, c 满 足 abc0, (ab)c, ab ， 若 a1 ， 则得分评卷人r r1.b crrr rrrrrr rr rr r【分析】 ( ab)c, ab (ab)c 0acb c 且 a b 0r rr rr 2r rr rr rr r1a (a b c) aa b a c 1 b c 0 ， b c10若 数列an 中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数 n 的最大值为5.A1主视图C1 A1C 1BC;.A1D A 左视图 BBC1.【分析】由a1a2a30, a1a2a3a40a4 0 ，同理由
16、a2a3a40, a2a3a4a50a50所以 个数列最多只能有5 ，否 由a3a4a50,a3a4a5a60a6 0 ， 得A 1a4a5a60与 矛盾。C111如 是一个 方体ABCD-AB CD 截去几个角后的1111多面体的三 ，在 个多面体中，AB=4,BC=6,ADCC=3. 个多面体的体 48 .1【分析】从三 看， 点BCB1 , D1 已被截去，所以 个多面体如上 ，其体 V3462134648 。612把一根 7 米的 截下两段（也可以直接截成两段）， 两段的 度差不超 1 米，分 以 两段 的周 成两个 ， 两个 的面 之和的最大 25平方米42【分析】 两段的 度分 x
17、 米、 y 米x 0y 0则 x 、 y 足关系y，其平面区域 右上 所示阴影部分，两 的面 之和 x7| xy |1x2y 2，看成是个 的方程， 个 点25s2A(4,3) 或 B(3, 4) ， s 最大， 其最大 244平方米。13在正整数数列中， 由 1 开始依次按如下 取它的 ：第一次取1，第二次取2 个 偶数2、4；第三次取3 个 奇数5、7、9；第四次取 4 个 偶数10、12、14、16；第五次取 5 个 奇数 17、 19、 21、 23、 25按此 一直取下去，得到一个子数列1，2， 4， 5， 7， 9， 12， 14，16， 17， 在 个子数列中，由1 开始的第20
18、08 个数是3953 .【分析】前 n 次 共取了 123n(n1)n(n 1)L n ， 足不等式2008 的最大整数 22n 62 ，前 62 次取了 1953 ，所以子数列中的第2008 必是奇数，而且是第63 次取出的第 55;.个奇数，前 62 次取数在正整数数列中有1 2 3 L 6161621891 个整数没有被取到，所2以第 63 次取的第一个数 1953+1891+1=3845 ，第 55 个 395314 x(0,) ， 函数 y122的最小 _10_.42cos2 xsin x【分析】 y(14cos 2 x)(224sin 2 x)4 33 810cos2 xsin x
19、sin x14cos2 x2取等号当且 当cos2x， x(0,) ， sin xcos x。，即： x24sin 2x224sin x三、解答 ：本大 共3 小 ，共54 分。15（本小 16 分）已知函数f ( x)2cos 2 (x)3 cos2 x 1, xR .得分 卷人4（ 1）求函数 f (x) 增区 ；（ 2）若 A y | yf ( x), x, ，不等式 xm3 的解集 B， A I BA ，求 数 m 的42取 范 。【解】（ 1） f ( x)1 cos(22x)3 cos2x1sin 2x3 cos 2x2sin(2 x3) ， 5 分由 2k2x2k解得： kxk5
20、12，23212 f (x) 在区 k, k5, kZ 上 增。8 分12122（ 2） x , 2x, ， A1,2 ，又解得 B(m3, m3) 12 分34236而 A I B A A B m31，得1 m 4 16 分。m3216 (本小 分18 分 ) 设 f ( x)3ax 22bxc ,若 abc 0 ,f (0)0, f (1)0 .（ 1）求 ：方程都 正整数，求f (x)0 在区 （ 0，1）内有两个不等的 数根； （ 2）若 a,b,c得分 卷人abc 的最小 。【 明】（ 1） f (0)c 0 ， f (1) 3a2bc0 ， ab c 0 ，由得： a b 0a b
21、 ，由得：2ab0 2ab ，;.由得：2aba ， bac 代入得： ac a0由得：1b2 4 分a 称 xb(1 , 2) ，又 f (0)0, f (1)03a33且4b212ac4( a c) 212ac(2 ac)23c20方程 f (x)0 在 (0,1)内有两个不等 根 . 10分（ 2）若 a, b, c 都 正整数，f (0)、 f (1)都是正整数，设 f ( x) 3a(xx1 )( xx2 ) ，其中 x1, x2是 f ( x)0 的两根， x1, x2(0,1) ，且 x1x2 1f (0) f (1)9a2 x1(1x1) x2 (1x2 )9a216 9a216,a 正整数， a2, ab c 2(2c)c42c6 15 分若取 a2 ， bb(1,2)得： b(2,4)a2 b 正整数，b3， cba1f ( x) 6x26x10 的两根都在区 (0,1)内， a b c 的最小 6。 18分17（本小 20 分）在xoy平面上有一系列点P ( x , y), P ( x, y), ， P( x, y),， 每个