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1、2013年全国初中数学竞赛试题 班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数，满足则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）2已知，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）（A）（B）（C）（D）（第3题）3如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长
2、度中，不一定是有理数的为（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第4题）4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）（A）3（B）4（C）6（D）85对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题6设，b是的小数部分，则的值为 （第7题）7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 8已知正整数a，b，c满足，则的最大值为 9实数a，b，c，d满足：
3、一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元则他至少卖出了 支圆珠笔三、解答题（第11题）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE12设的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的，求所有可能的度数13设，是素数，记，当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“
4、魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1设非零实数，满足则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故于是，所以2已知，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是关于的一元二次方程，则因为，且，所以，且 ，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即（第3题
5、）3如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC不一定是有理数（第4题）4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因为
6、DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC（第4题答题）连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因为，所以SABC = 4SACF故阴影部分的面积为65对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】设，则，于是二、填空题6设，b是的小数部分，则的值为 【答案】【解答】由于，故，因此（第7题）7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别
7、是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 【答案】【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），解得，所以，四边形AEFD的面积是8已知正整数a，b，c满足，则的最大值为 【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得由a为正整数及66，可得1a3若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得综上知的最大值为9实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知若，则，进而若，则，有（为任意实数）经检验，数组与（为任意实数）满足条件1
8、0小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元则他至少卖出了 支圆珠笔【答案】207【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数又，所以，故y的最小值为207，此时三、解答题（第11题）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直线过点B（第11题答题）将点C(0，)的坐标代入，得5分抛物线的顶点为(1，)于
9、是由勾股定理得BC，CE，BE因为BC2CE2BE2，所以，BCE为直角三角形，10分因此tan=又tanDBO=，则DBO15分所以，20分12设的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的，求所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（i）若为锐角三角形因为，所以由，可得，于是5分（第12题答题（ii）（第12题答题（i）（ii）若为钝角三角形当时，因为，所以由，可得，于是。10分当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是15分（iii）若为直角三角形当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角综上可得，所有可能取到的度数为所有
10、锐角及20分13设，是素数，记，当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能依题意，得因为，所以又由于为整数，为素数，所以或，10分当时，进而，与，是素数矛盾；15分当时，所以，不能构成三角形的三边长20分14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数【解答】若n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，矛盾故n710分又当为1，2，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）则（，7）被7除的余数两两不同若不然，存在正整数，7，满足7|(，即，从而7|，矛盾故必存在一个正整数7，使得7|(，即为m的魔术数所以，n的最小值为720分