《数学物理方程与特殊函数第二、三章作业.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程与特殊函数第二、三章作业.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、习 题 2.14. 一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。解：由题意可知定解问题为：习 题 2.23. 设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡玻尔兹曼定律正比于u4，即dQ=k u4dSdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数。试写出边界条件。解：由题意可知：边界条件为： 习 题 2.34. 由静电场Gauss定理，求证：，并由此导出静电势u所满足的Poisson方程。证明：由题意可知由静电场高斯定理： 习 题 2.42. (1) 解：由题意可知：=121(-3)=40
2、= 双曲型 = 或 -1令 则 = (5) 解：由题意可知：=82163=160 = 双曲型 = 或 令 则 = 习 题 2.52.试证明：若是定解问题的解，则是定解问题的解。证明：由题意可知： 其次，因是齐次定解问题的解，因此， 是定解问题的解。习 题 2.61. (3) 证明公式：证明：由题意可知：且 习 题 3.13. (4) 解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令）a) 当时，方程的通解为X(x)=Ax+B. （A、B为任意常数） 代入边界条件得X(0)= B=0 X(L)+hX(L)=A+h(AL+B)=0 = (1+hL) A=0b) 当时，方程的通解为. （A、B为任意常数）代
3、入边界条件得X(0)=A=0 = = 边值问题的固有值为 的正根。 相应的固有函数为 7. 一根长为L的杆，一端固定，另一端受力F0而被拉长。求杆在去掉F0时的振动。设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。解：由题意可知定解问题为：= = 当时，边值问题只有零解。当时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B0时，方程满足条件。当时， . （A、B为任意常数）代入边值条件得：X(0)= A=0， = (n=0,1,2)则固有值为 ，相应固有函数为（Bn为任意非零常数） (n=0,1,2)代入初始条件为：= (n=0,1,2)习 题 3.22. 一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为。求细杆
4、上的温度变化的规律。其定解问题为：解：由题意可知定解问题的固有值问题为：= 当时，边值问题只有零解。当时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B=0时，边值问题只有零解。当时， . （A、B为任意常数）代入边值条件得：， = (n=0,1,2)固有值为 ，相应固有函数为（An为任意非零常数）又 ， 习 题 3.34. 求解圆域内Laplace方程Neumann问题：解：由题意可知Laplace方程一般解为： 其中为任意常数， （n=1,2，）习 题 3.42. 一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 求方形膜振动的固有频率。解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间
5、固有值问题的固有值为 求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：相应的方形膜振动的固有频率习 题 3.52. 求解定解问题： 其中，T0是常数。解：由题意可知定解问题的边值问题为：解得：令，代入原定解问题，得：得：其中 6. 求解定解问题：解：由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：固有值为 ，相应固有函数为（An为任意非零常数，n=1,2）则 代入波动方程，并将A按xn展开，得：则 比较可得： 原定解问题解为：习 题 3.61. 求解定解问题： 其中，b和u0是常数。解：由题意可知：由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。令代入波动方程得： 为使方程与边界条件同时齐次化，需满足： 定解问题为：解得：所以5. 求解定解问题： 其中，g和E是常数。解：由题意可知：另代入波动方程得为使方程与边界同时齐次化，X(x)需满足：的定解问题为：由分离变量法解得：