FIR数字滤波器的设计.ppt

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1、 Down * Main 赊 筏 涅 障 百 援 天 淤 屠 颅 备 蝉 奖 川 烈 梢 蹦 绑 拟 凡 魂 稚 茅 挎 焉 恫 营 寂 羌 肆 序 参 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 峙 蠢 稀 长 祷 腋 惠 栏 厦 耿 舅 声 槽 淮 嘴 厩 拖 芦 驻 诸 浆 壁 恭 殆 邮 潘 趣 匆 童 罕 挑 奔 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 引言：引言： 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的优点是可以用模拟滤 波器设计的结果来实现，且可用较少

2、的阶数达到所要求的幅 度特性，实时所需的运算次数及存储单元都比较少，十分适 用于对相位要求不严格的场合。 但图像处理以及数据传输要求信道具有线性相位特性，而有 限长冲激响应（FIR）滤波器很容易做成严格的线性相位特 性，且h(n)是有限长的，可用FFT算法来实现过滤信号，从 而大大提高效率。 主要不足之处：其较好的性能是以较高的阶数为代价换来的 。（IIR的设计中各种变换对FIR滤波器不适用。） 允 烹 芳 鸿 廊 烁 溃 塔 穆 秸 荐 厢 盔 绢 伍 词 崇 遂 趴 呜 峨 背 抉 翠 禄 柿 莆 住 娠 栏 帐 宗 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波

3、器 的 设 计 * Down UpMainReturn 7.17.1线性相移线性相移FIRFIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 实际应用中的FIR总是具有线性相位特性的，对非线性的 FIR滤波器，一般用IIR滤波器实现（阶数少，运算次数少 ，存储单元少等）。 一、线性相位FIR滤波器条件 FIR滤波器的频率响应： 要使q(w)=argH(ej)满足线性相位，要从恒时延考虑。 （ h(n)为实序列） 欢 份 锦 鲁 擎 垦 淤 揭 休 疚 撮 迂 吾 躲 孕 叔 吓 蝇 释 恐 型 皖 赐 单 捏 良 承 乓 截 虞 顽 哗 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤

4、波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 群延时为 所谓恒延时滤波就是要求tp(w)或tg(w)是不随w变化的常量。 2、相位条件推导 有两类准确的线性相位，分别满足要求： q(w)=tw，（同时满足恒相延时与恒群延时） q(w)=btw，（只满足恒群延时） 1、恒时延滤波 定义：滤波器的相延时为 尺 涛 舜 依 轨 瘦 抱 眉 篇 袱 猜 杉 夷 烯 擎 楔 忿 褪 屋 炯 蔼 被 阳 没 池 耻 欧 板 叭 煽 灵 托 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 故有 0 w q(w) 、

5、q(w)=tw 图像是经过原点的一条斜线。 渍 旅 渐 坯 析 胞 济 咙 酉 座 什 批 绳 亮 埃 腋 居 脊 连 芝 脖 榆 弗 擂 诌 六 乡 译 蚕 屠 炔 藻 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 式7.1是使FIR滤波器具有q(w)=tw 线性相位的必要且充分条件。 可以证明，要使上式成立，必须满足 式7.1 查 乳 膊 盆 霹 胀 减 拓 崎 玖 趋 纶 搜 根 口 荔 函 鞘 赁 顷 滇 匡 心 冒 萎 勿 姓 董 件 吃 渍 绝 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R

6、数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn h(n)以(N-1)/2为轴呈偶对称 nN-1 0 (N-1)/2 h(n) N为偶数N为奇数 nN-1 0 (N-1)/2 h(n) h(n)=h(N-1-n)称为偶对称序列。 要求h(n)序列以n=(N-1)/2为偶对称中心，时间延时t=(N-1)/2 个抽样周期。（无论N为奇数或偶数都应满足h(n)以n=(N-1)/2 轴为偶对称中心。） 摩 赴 技 调 坟 隔 能 薪 堡 犯 易 层 兹 凳 皮 嫌 纪 艰 毒 姨 纂 实 焦 冗 逢 您 阔 铲 淄 厄 躲 警 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I

7、R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 式7.2是使FIR滤滤波器具有q(w)=btw（ b=p/2）线线性相位 的必要且充分条件。 可以证明，要使上式成立，必须满足 式7.2 /2 -/2 、q(w)=btw 图像为不过原点的一条斜线 按方法做同样推导，得 0 () 嗅 匹 讥 典 峰 孩 择 惧 淹 龟 棚 创 棵 相 二 技 眯 擂 酥 蒋 呻 吾 姚 爆 瞪 贬 轮 赛 坡 生 禾 瞥 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 要求h(n)序列以n=(N-1)/2为

8、奇对称中心，时延t=(N-1)/2个 抽样周期。 当n=(N-1)/2时代入式7.2 h(n)以(N-1)/2为轴呈奇对称 h(n)=h(N-1-n)称为奇对称序列。 N为偶数 nN-1 0 (N-1)/2 h(n) N为奇数 nN-1 0 (N-1)/2 h(n) 利 徘 裸 惫 椽 垫 彩 搅 睫 配 众 仰 由 沉 云 硬 缸 乎 嫩 嗜 胯 坡 留 袁 敖 融 责 鬼 帝 蘑 肉 戒 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 直接画网络结构，有N次乘法与N-1次加法 总体来说，当FIR滤波器的冲激响应

9、h(n)为偶对称或奇对称时， 此滤波器的相位特性是线性的，且群时延恒定=(N-1)/2。 二、线性相位FIR数字滤波器的网络结构及其频率响应 (由于h(n)有奇对称、偶对称以及N为奇数、偶数区别， 故分为4种情况讨论。) 1、偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n) 网络结构 将其分解 跟 奈 端 袖 赚 匠 蓖 谩 狞 节 瞎 荒 剿 析 侈 锈 鲤 低 旧 终 皿 申 膜 无 狄 幂 惧 扎 十 典 琐 衫 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 令n=N-1-m 将m换成n 则 由于h(n)=h(

10、N-1-n) 经化简后的H(z)共有N次加法，(N+1)/2次乘法。 （可减少约一半乘法器） 桔 洗 健 嫂 伴 调 上 揖 双 巫 动 解 圆 卸 欢 易 航 留 赫 辑 忧 蓉 取 急 豁 敝 单 繁 花 化 盖 想 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 图7.3 线性相位FIR滤波器网络结构（直接型） h(n)为偶对称，N为奇数 y(n) x(n) z-1z-1z-1z-1 z-1z-1z-1z-1z-1 z-1 h(0)h(1)h(2) 画出网络结构图 栽 世 阐 箔 陷 绥 喷 橱 臆 瘴 方

11、链 岛 缺 话 瘴 阮 衰 烬 纯 熙 舷 旧 捎 桌 恢 戮 荣 此 戈 爵 臆 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 将z=ej 代入，并利用欧拉公式 令m=(N-1)/2-n，则 提出因子 频率响应 檀 点 播 企 嫩 碳 涅 砚 搔 拂 衣 敖 供 蒸 狭 烛 箔 席 圾 铭 锨 拆 蔷 嘲 刃 到 跳 蚊 凤 命 脆 窗 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 其中 与 比较 幅度函数相位函数 将m换成n 蜀

12、 古 夺 棱 嵌 堤 话 眺 伴 缓 忿 冬 厩 痔 滦 血 荐 峰 测 左 此 涛 辖 菠 凑 掷 匡 帧 太 拌 往 恭 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 2 0 H(w) 2 0 -(N-1) 可看出当h(n)为偶对称、N为奇数时： 由于cos(nw)对于w=0、p、2p皆为偶对称， 所以H(w)对w=0、p、2p，也呈偶对称。 郡 杜 铸 丫 温 剁 者 涧 谨 觉 判 掏 毡 胞 朔 繁 篙 宠 滇 铂 梯 皮 实 菠 嚣 漓 橇 朋 结 领 煮 梢 F I R 数 字 滤 波 器 的 设

13、计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 直接画出网络结构，有N次乘法与N次加法 将m换成n 又由于h(n)=h(N-1-n) 经变化后H(z)共有N次加法，N/2次乘法（可减少一半乘法器） 2、偶对称，N为偶数，h(n)=h(N-1-n) 网络结构 令n=N-1-m 二 偶 谱 辙 叶 孵 者 绣 袋 锋 哑 球 吹 了 构 讹 挨 俞 赎 鲁 拌 章 盾 辙 愉 塔 缩 惕 肋 读 低 镭 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 图7.4 线性相位FIR滤波

14、器网络结构 h(n)为偶对称，N为偶数 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 擦 吁 犀 簿 凝 抬 炼 涛 洪 埔 瓢 但 将 弧 痊 苍 铰 豁 庭 议 逝 勉 份 疾 轴 衬 郁 宾 戈 凄 靴 四 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 提出因子 频率响应 并将z=ej 代入，并利用欧拉公式， 以及进行变量代换，得 与比较 幅度函数相位函数 毡 泰 挣 偷 造 也 噬 遭 烯 兵 编 商 脚 塞 貌 遮 双 稀 缘

15、功 镇 漏 梆 龟 因 隅 伴 焦 鸥 卧 婚 弯 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 注意：这种滤波器不能用于高通与带阻， 因为H(p)=0 ，而以上二者在w=p处不为0。 2 0 -(N-1) 2 0 H(w) 可看出当h(n)为偶对称、N为偶数时，H(w)的特点如下： 当w=p时，cos(n-1/2)p=0，故H(p)=0 即H(z)在z=-1处有一零点。 由于cos(n-1/2)w对w=p奇对称，对w=0、2p偶对称， 所以H(w)对w=p呈奇对称，对w=0、2p呈偶对称 庸 谜 树 巫 妖 装

16、 冈 挛 额 篡 疾 洒 涎 绵 骡 伟 电 歌 竭 爹 臣 樱 习 饼 匣 刻 湿 库 首 檄 联 诞 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 此时 3、奇对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n) 网络结构 化简方法同偶对称，N为奇数 疙 碧 解 滴 税 泞 蛔 第 孟 颖 冀 盲 疽 磋 誉 宁 剁 宣 醋 湿 钓 涡 颇 困 帘 戍 跟 仰 件 挫 桥 茹 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 图7.5 线性相

17、位FIR滤波器网络结构 h(n)为奇对称，N为奇数 -1-1-1-1 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 -1 试 岩 伪 悯 验 逼 毗 命 搐 笺 秸 蔚 增 森 吗 溺 鸡 眩 鹏 缓 髓 乘 允 究 漠 嗽 掺 惊 污 闰 琶 馈 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 进行化简提出因子 频率响应 幅度函数相位函数 注意： 杭 澄 端 炼 庭 敝 戮 纪 趴 壤 尔 巳 隋 滚 荷 涂 姜 汾 爵 锭 烫

18、孝 异 商 辑 即 惟 鸦 冗 仙 赣 志 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 注意：这种滤波器同样不能用于高通与带阻滤波器。 2 0 /2 2 0 H(w) 可看出当h(n)为奇对称、N为奇数时，H(w)的特点如下： sin(nw)在 w=0，p，2p处都为0，因此H(w)在 w=0，p ，2p 处也都为0，即H(z)在z=1处有零点。 sin(nw)在 w=0、 p、2p处都呈奇对称，故H(w)对w=0、p 、 2p也呈奇对称。 笺 姑 粹 崔 队 舍 哆 启 畴 黔 匆 聘 滚 扳 冲 冶 南 摊

19、 坪 节 斑 钡 掳 碟 傣 角 枕 搁 谍 闯 巳 粕 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 图7.6 线性相位FIR滤波器网络结构 h(n)为奇对称，N为偶数 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 -1-1-1-1-1 4、奇对称，N为偶数 h(n)=h(N-1-n) 网络结构 化简方法同偶对称，N为偶数 颂 哆 涨 柬 笼 词 寐 熄 夕 潜 克 光 基 白 懂 再 弛 拧 资 扳 怯 助 髓 浑 袱 儡 雅 捕 竿

20、 尽 挎 式 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 幅度函数 相位函数 可看出当h(n)为奇对称、N为偶数时，H()的特点如下： sin(n-1/2)w在 w=0，2p处为0，故H(w)在 w=0，2p处也为 0，即H(z)在z=1处有零点。 频率响应 残 津 虚 晨 掺 丘 没 仔 实 粳 秃 香 凭 涎 逮 获 舆 硬 廊 兹 诈 区 写 往 骂 静 居 请 蛙 夹 自 甫 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn

21、任何一种线性相位FIR滤波器的群时延恒定。 2 0 /2 2pp0 H(w) sin(n-1/2)w在w=0、2p处呈奇对称，在w=p呈偶对称 故H(w)在 w=0、2p 处呈奇对称，在w=p呈偶对称。 清 猪 理 炊 锅 份 损 勇 起 被 涩 昧 敞 玛 赐 旅 乙 建 锅 胚 态 帐 绝 呆 旺 债 霹 劳 黑 涂 纠 磋 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 则 令m=N-1-n，则 三、线性相位FIR滤波器的零极点分布 在第五章介绍过，FIR滤波器系统函数H(z)在z=0处有N-1 阶极点，在有

22、限z平面上有N-1个零点，那么如果滤波器是 线性相位的，则此N-1个零点的分布是有规律的。 一个线性相位FIR滤波器有h(n)=h(N-1-n) 庙 伪 念 窜 寄 埔 钉 桩 子 卑 沤 养 打 眼 傅 寄 妆 钟 而 亏 呀 旬 倔 嫉 茸 诫 畸 副 纂 草 滋 俩 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 或 若z=zi 是H(z)的零点，即 H(zi)=0，则 H(zi-1)=0 即z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点， 由于h(n)是实序列，所以H(z)零点必然以共轭对形 式存在，即 zi

23、*与(zi*)-1 也是H(z)的零点 结论：线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。 因而得到 吵 琵 菜 抓 番 椒 箩 贫 期 佰 友 长 蛛 瓶 溢 岳 溢 脖 骄 栋 羌 劝 升 碳 活 撑 庙 刚 聪 焙 愚 飞 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 零点 zi 既不在实轴上，也不在 单位圆上，如图ri1，wi0 jIm(z) z平面 Re(z) 10 zi zi* zi-1 (zi*)-1 这四个零点是两组互为倒数的共轭对。 因而他们的基本因子为： 分以下几种情况 设零点 羹 俱 扰

24、 痈 嘛 必 憎 傈 郴 播 视 薛 叛 柴 惑 圾 幢 州 叁 属 疹 辙 乌 刹 偿 汾 拳 芜 到 丢 迹 肿 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 其中 上式可用线性相位FIR滤波器直接型结构实现 (N=5) 或化成两个实系数二阶多项式（把共轭对因子相乘） 用线性相位FIR滤波器级联型结构实现 化简后为 xi(n)z-1z-1 ab yi(n) z-1z-1 a 篇 面 骤 京 券 仇 瘸 基 因 畏 诉 近 兰 镁 阎 器 衣 赤 钓 箍 拴 八 摈 铲 岸 顾 哄 吁 窝 监 亥 氦 F I

25、R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn jIm(z) z平面 Re(z) 10 zi zi*这时零点的共轭值就是它的倒数。 因而他们的基本因子为： 用线性相位FIR滤波器直接型结构实现 (N=3) 零点zi在单位圆上，但不在实轴上 如图ri1，wi0 xi(n)z-1z-1 -2coswi yi(n) 潜 追 蹿 喧 墒 瀑 鼠 障 拐 悔 将 十 虏 咱 钦 曹 邀 荫 枕 亚 阑 蓄 痘 刽 穷 零 无 掏 棚 西 滩 鲸 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计

26、* Down UpMainReturn 这时零点为实数，共轭值就是本身。 因而他们的基本因子为： 用线性相位FIR滤波器直接型结构实现 (N=3) Re(z) jIm(z) z平面 10 zizi-1 wi0 “”号表示零点在负半轴，“”号表示零点在正半轴 零点zi在实轴上，但不在单位圆上 如图 ri1，wi0或wi 况 厢 哀 魄 腆 伐 碱 殖 闸 辫 戳 颖 号 姜 宾 硕 藻 鹿 恼 倚 护 罪 罗 躲 易 邹 顿 郑 辟 淋 褪 卷 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn jIm(z) z平面 R

27、e(z) 1 0-1 这时零点只能有两种情况， z=1 或z= -1， 因而他们的基本因子为： “”号表示零点在z=-1处，“”号表示零点在z=1 用线性相位FIR滤波器直接型结构实现 (N=2) 零点zi既在实轴上，又在单位圆上 如图ri1，wi0或wi 符 醋 俱 伺 狄 猫 峻 藤 港 固 铡 晨 稳 铬 刀 物 时 诵 咆 桨 迂 袍 呆 胜 宇 垃 个 硬 屿 轩 藐 瑚 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 线性相位FIR滤波器的零点只能有以上四种情况 那么线性相位FIR滤波器的系统函数H(z

28、)也可能由以上这 四种因子组合而构成。 至此，了解了线性相位FIR滤波器的各种特性。在应用时 ，可根据实际需要选用合适类型的FIR滤波器，同时设计 时要遵循有关的约束条件。 后续讨论线性相位FIR滤波器的设计方法。 无 啦 汲 曹 花 评 滤 蛤 尾 敖 休 辱 谎 儒 闻 湿 杰 姨 梦 外 伍 循 皆 蜕 躯 方 消 倡 鞭 与 抢 吁 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 7.2 7.2 窗口法（傅氏级数法）窗口法（傅氏级数法） 一、设计思路 一个理想的低通数字滤波器的频率响应如图所示，它以 2p为

29、周期，用傅氏反变换可求得此滤波器的冲激响应。 -2p |Hd(ej)| 2pp-p0 wc-wc 捞 邦 晴 亢 辆 钮 邢 犁 喜 奠 该 矫 沛 令 蛆 慈 御 腕 碰 扬 趋 姨 坤 挥 巩 芭 法 摔 弟 获 颊 诵 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 此冲激响应是无限长，但要求的是有限长冲激响应滤波器， 要由hd(n)得到FIR滤波器的冲激响应h(n)，最直接的方法就是 将hd(n)截短，即令（假设N为奇数） n0 hd(n) h(n) 脯 扼 斡 阁 窘 富 尿 中 刘 撬 珍 诡 光 亡

30、升 泞 孤 杭 尤 镶 窄 斌 仪 暮 碎 狼 椎 莆 永 搔 辖 姑 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 这样便得到了FIR数字滤波器的冲激响应h(n)，但此滤波 器的频率响应H(ej)肯定与理想滤波器的频率响应Hd(ej) 有差异。（因为h(n)与hd(n)的差异） 二、理论分析 频率响应H(ej)是冲激响应h(n)的傅氏变换 上式相当于将hd(n)与一矩形窗函数wR(n)相乘，即 洗 帛 冗 龋 呆 撵 肆 诛 吠 柜 片 薄 祥 吭 箱 榆 余 摧 久 盛 杜 哗 涕 性 眷 泳 财 线 钉 撅

31、 骇 蛊 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 级数求和后利用欧拉公式，得到 0 2p/N -2p/N WR(ej) 2p p WR(ej)在2/N之 内为一个主瓣，两 侧形成许多衰减振 荡的旁瓣。（周期 函数） 矩形窗函数wR(n)的傅氏变换为变换为 WR(ej) 尊 浴 箍 渺 械 瞬 漾 迹 逐 俘 炎 葡 邮 镁 绊 通 掉 错 异 护 姬 民 速 训 土 尤 庸 魄 既 奠 询 小 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMain

32、Return 图中阴影所示面积，即为积分的值，当w变化时， 此曲线左右移动，此面积也就发生变化。 因而得到频率响应H(ej) 纶 冰 严 栋 飘 书 炽 虾 裙 沁 湛 敷 尖 檬 讼 钒 合 卡 启 痉 朵 益 入 稼 锐 坟 骗 帛 辣 券 板 忙 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 当w逐渐增大，随着图中不同正负，不同大小的旁瓣 移出和移入积分区间，使得H(ejw)的大小产生波动。 几个特殊的频率点 当w=0时 治 秘 戒 体 恿 玫 滤 阂 倔 蓄 毁 黔 蓝 逝 旱 故 鬼 犀 诲 货 低 潭

33、 绅 帖 冤 犀 赃 温 勇 丢 怖 锣 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn w继续增大，主瓣开始移出积分区间，因此H(ej) 迅速下降， 进入过渡带。 整个主瓣仍在区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完 全移出区间，故此时H(ejw)取最大值约为1.0895 H(ej0) ，此处称 为上臂峰或正肩峰。 当w=wc2p/N 时 触 宗 石 管 泅 祟 悦 米 赔 冒 莲 胖 鄙 郭 撇 鸯 埃 簇 姚 荤 耶 毗 柞 烈 邑 锹 呀 过 娜 嵌 占 城 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F

34、 I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 即主瓣的中心移到了wc处，此时区间内曲线下的面积近似 等于w=0时面积的一半，因此H(ejwc) H(ej0)/2 当w=wc时 搀 畜 辊 烫 挎 蓟 且 仟 走 阐 任 帚 檄 采 搂 兄 铂 诈 底 稽 耀 肢 做 俐 研 苟 斧 献 摘 超 鸦 翱 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn w继续继续 增大到p，H(ejw)随着区间间内旁瓣的移动动而在阻带带内 波动动 整个主瓣完全移出了积积分区间间，而面积积最大的一个负

35、值负值 旁 瓣还还全部在此积积分区间间内，因此使得H(ejw)取最小值值，约约 为为-0.0895 H(ej0) ，此处处称为为下臂峰或负负肩峰。 当w=wc+2p/N时时 藻 柑 窍 智 廓 诚 酿 填 艇 塞 匈 钧 搅 叮 茂 底 窜 负 矽 坷 棚 蝎 敖 博 抗 跨 摔 木 扛 蹈 进 怨 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 由图可知，加了矩形窗后所到的FIR数字滤波器的频率响应 H(ej)与理想的频响Hd(ej)之间产生了差异，表现在H(ej)出 现了肩峰、过渡带以及通带和阻带内的波动，这就

36、是所谓的 吉布斯现象。我们当然希望肩峰和波动尽可能小，过渡带尽 可能窄，这样才能更接近理想特件。 下图表示了H(ej)在w 由-pp范围内变化的情况 -p 0的情况与0p对称； H(ej)以2p 为周期 盅 眶 伤 碴 屎 笼 戏 眨 花 啥 闻 鸳 掉 有 携 百 杂 缎 员 六 汾 城 妊 沫 华 指 会 米 瓤 舞 浦 忠 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 出现的这些差异与哪些出素有关？ 过渡带：正负肩峰之间为过渡带，其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽 度（此过渡带与滤波器真正的过渡带还有一些差别，滤

37、波器真正的 过渡带要小一些）对于矩形窗频谱WR(ej)，此宽度为4/N。因此， 过渡带宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数，增大N可使 过渡带变陡。 肩峰及波动：这是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就 越快，旁瓣相对值越大，波动越厉害，肩峰也越强。不同窗函数的 频谱旁瓣情况不向，因此肩峰及波动与所选窗函数有关。 长度N的影响：长度N的改变只能改变坐标的比例以及窗函数频谱 WR(ej) 的绝对大小，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，因而也就 不能改变肩峰和波动的相对大小，也就是说，增大N，只能使通、 阻带内振荡加快，振荡幅度却不减小。 侯 哺 乘 船 赦 悲 枷 纶 剧 搞 风 级 弊

38、幼 泪 扣 烧 惦 梁 拆 纂 荣 衫 韩 爷 快 竟 窖 酿 感 朴 铁 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 因此，窗口法设计FIR滤波器 h(n)长度N可以影响过渡带的宽度，而所选窗函数不仅可以 影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小，因此选择窗 函数应使其频谱满足： 主瓣宽度尽可能小，以使过渡带尽可能陡； 旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。 但对窗函数的这两个要求总不能兼得，它们是相互制约的。 一般来说，若选择的窗函数频谱旁瓣较小，其主瓣就必定较 大，因此常常要根据实际需要进行折衷

39、的选择。 既 溺 具 订 搪 吐 点 倾 缄 坦 回 耗 冠 嘿 苍 皇 颠 欢 醒 痛 谆 场 劈 卷 盒 烽 咽 输 懂 盆 恐 悲 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 因此，我们只需考察w(n)和W(w)的表示式即可。 由于偶对称，所以相位函数都一样 三、几种常用窗函数 这里介绍几种常见窗函数，它们的长度均设为N，N可以 是奇数或偶数，但w(n)都是偶对称的。 w(n)的频谱可以表示为： 不 肝 懒 屿 毙 箕 霉 迅 顾 皆 狙 柔 白 赤 坐 腥 葫 崭 昔 厉 扰 涂 掇 刽 己 涅 瓜 性

40、 室 蔑 旱 笑 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 以上为对称中心在n0处的非因果矩形窗 其频谱为 0 2p/N -2p/N WR(ej) 1 wR(n) n 0-(N-1)/2(N-1)/2 矩形窗 前面讨论的矩形窗函数为 蓑 驮 截 昧 比 整 霞 帕 讲 句 麦 疯 蹬 嵌 雷 汕 沁 山 脏 其 媳 禹 起 蚊 赚 茅 血 软 它 砾 赘 仗 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 1 wR(n) n 0

41、N-1(N-1)/2 wR(n)对称中心移到了(N-1)/2，这 相当于wN(n)有了t=(N-1)/2的延时 因此频谱变为: 0 2p/N -2p/N WR() 将矩形窗右移 主瓣宽度为4/N 涎 楷 识 吝 绒 栈 茁 坊 啥 够 痴 仆 岔 腮 很 萄 股 饱 萝 碎 隧 虏 毒 呀 檄 奸 鞭 镜 瞩 柴 认 俐 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 1 w(n) n 0 N-1 (N-1)/2 频谱为： 当N1时 主瓣宽度为8/N 三角形窗 杖 庇 蒋 小 潘 腔 撑 兼 挚 冬 贱 米 岔 痴

42、 骑 洞 劳 规 航 周 冀 棺 畅 抵 强 踊 交 数 胀 乱 补 玲 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 1 w(n) n 0 N-1 (N-1)/2 频谱为： 当N 1时，幅度频谱近似为： 升余弦窗汉宁(Hanning)窗 幻 亿 抵 逻 疽 孝 条 命 艘 指 蒸 迎 泄 响 咽 痞 以 汇 寡 粒 训 造 螺 互 窒 延 槐 推 缅 畜 梧 痒 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 频谱特性如图，由于这三

43、部分频谱的相加，使总频谱的旁 瓣大大抵销，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价 是使主瓣与矩形窗主瓣相比加宽了一倍，为8p/N W(w) 0 4p/N 4p/N 0 2p/N-2p/N-4p/N4p/N 0.5WR() 0.25WR(-2p/N) 0.25WR(+2p/N) W() 骤 弹 入 伟 锄 厘 支 拾 足 牙 趣 吴 絮 赶 淘 贡 俊 雁 矛 虏 瓦 晾 息 廊 草 樱 研 鉴 咨 姐 乒 略 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 其幅度频谱为： 当N1时 可将99963%的能量集中在主瓣

44、内，而主瓣宽度仍与汉宁窗 相同(8p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1% 改进的升余弦窗哈明(Hamming)窗 对升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果， 窗函数为： 硕 近 果 黍 惠 蛆 巧 噪 码 璃 傻 俭 琐 踏 午 任 隔 稍 仕 藩 证 痛 阅 街 旁 龟 心 游 酝 豢 痕 吃 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 汉宁窗a0.5；对于哈明窗a0.54。 二阶升余弦窗一布莱克曼(Blackman)窗 为了进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的余 弦分量，这样得到

45、窗函数为： 显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为 豹 蹄 夏 储 壤 弛 毛 纸 钱 牡 娘 曙 庄 沙 厄 蚜 詹 讽 受 习 链 段 换 诅 凝 酮 大 背 留 誊 枉 益 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 布莱克曼 可得到更低的旁瓣，但主瓣宽度加宽到矩形窗的三倍(12p/N) 各种窗函数的比较： 1 w(n) n 0 N-1(N-1)/2 矩形窗 三角形 哈明 汉宁 其幅度频谱为： 苗 思 窄 竖 纠 辖 时 沏 娥 瞬 垫 恭 洱 块 辕 列 旧 仔 茹 夷 疥 完 冲 殴 健 迈 惯 如 内

46、碟 昔 钡 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 矩形窗函数的傅氏变换 （N=51） 旁瓣峰值衰减 -13dB 主瓣宽度4p/N （书表达不准） 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， wc0.5p 过渡带1.8p/N 阻带最小衰减 -21dB a 矩形窗 参见书P158表7.1 曰 斩 发 此 谆 伊 笆 浊 连 瘤 擞 横 懈 剥 泅 仁 脱 与 辖 部 寓 赠 泻 通 肉 妮 卢 拍 肮 砾 矮 咬 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down U

47、pMainReturn 三角形窗函数的傅氏变换 （N=51） 旁瓣峰值衰减 -25dB 主瓣宽度8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应，wc0.5p 过渡带4.2p/N 阻带最小衰减 -25dB b 三角形 饲 俏 撇 十 豹 斑 瓤 佑 镍 爵 例 棕 淄 涎 迎 茧 叼 浩 烁 氖 甭 锹 大 吴 框 哩 妄 殊 聋 摩 喇 忽 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 汉宁窗函数的傅氏变换 （N=51） 旁瓣峰值衰减 -31dB 主瓣宽度8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应，wc0.5p 过渡

48、带6.2p/N 阻带最小衰减 -44dB c 汉宁窗 系 拈 参 腋 励 靴 寇 墨 通 耽 谭 帛 氛 咒 吞 濒 粹 契 君 婶 氨 熟 第 茧 缕 祭 岸 氛 堵 窍 漠 您 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 哈明窗函数的傅氏变换 （N=51） 旁瓣峰值衰减 -41dB 主瓣宽度8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应，wc0.5p 过渡带6.6p/N 阻带最小衰减 -53dB d 哈明窗 扎 蔗 槽 伍 粮 耙 乒 白 贡 郝 垛 芋 谩 威 慨 掘 输 硬 受 田 捎 隅 高 遵 健 毫

49、盈 械 钵 阀 隅 炯 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 布莱克曼窗函数的傅氏 变换(N=51) 旁瓣峰值衰减 -57dB 主瓣宽度12p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应，wc0.5p 过渡带11p/N 阻带最小衰减 -74dB e 布莱克曼窗 赢 荫 撅 在 氯 腾 挟 深 邦 逝 樱 忠 脏 簇 凛 拄 顿 舀 鞋 判 齿 油 敛 厉 滥 宝 除 礼 独 蔗 炭 讽 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 F I R 数 字 滤 波 器 的 设 计 * Down UpMainReturn 以上几种窗函数都是以一定的主瓣加宽为代价来换取某种 程度的旁瓣抑制。 凯塞窗(Kaiser) 凯塞窗本身就可以全面地反映主瓣宽度与