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1、111 正弦定理（一）教学目标1知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法 : 让学生从已有的几何知识出发 , 共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证
2、明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：abcsin Asin Bsin C ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 创设情景 如图 1 1-1 ，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点 C转动。A思考：C 的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB 探索研究 (
3、图 1 1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1 1-2 ，在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 absinB ，又 sinC1cAcsin A， cc ,则abccbcsinB sinsin AC从而在直角三角形ABC中，abcCa BA sinBsinCsin( 图 11-2)思 考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：- 1 -如图 1 1-3 ，当A BC是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据任意角三角函
4、数的定义，有 CD=asin Bbsin A, 则abCsin Asin B ，同理可得cbB ，basin Csin从而abcAcBsinA sinBsin C(图 1 1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作jAC，C由向量的加法可得ABAC CB则jABj( ACCB)AB jABjACjCBjj AB cos 900A0j CB cos 900C csin A asinC ，即acsinA sinC同理，过点 C 作 jBC ， 可得bcsin Bsin C从而abcsin AsinBsin C类似可推出
5、，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsin AsinB sin C 理解定理 （ 1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ak sin A ， bk sin B ， ck sin C ；（ 2）abcabcbacsin Asin Bsin C等价于 sin AsinB ， sin C sinB ， sin Asin C从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如ab sin Asin
6、B ；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如asin Ab sin B 。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 。- 2 - 例题分析 例 1在ABC 中，已知00A32.0 ， B81.8 ，a，解三角形。42.9 cm解：根据三角形内角和定理，C1800( AB)1800(32.0081.80 )66.20 ；根据正弦定理，basin B42.9sin81.8080.1(cm) ；sin Asin32.00根据正弦定理，casinC42.9sin66.2 074.1(cm).sin Asin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算
7、器。例 2在 ABC 中，已知 a 20 cm， b 28 cm， A 400 ，解三角形（角度精确到 10 ，边长精确到 1cm）。解：根据正弦定理，sin B bsin A 28sin40 00.8999.a20因为 00 B 1800 ，所以 B 640 ，或 B 1160. 当 B640 时，C1800 ( AB) 1800(400640)760 ，casinC20sin76 030(cm).sin Asin40 0 当 B1160 时，C1800 ( AB) 1800(4001160)240 ，casinC20sin24 013(cm).sin Asin40 0评述：应注意已知两边和
8、其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 随堂练习 第 5 页练习第1（ 1）、 2（ 1）题。例 3已知ABC中，A 600 ， a3 , 求abcsinAsinB sin C分析：可通过设一参数k(k0)使abck ,sinAsin Bsin C证明出abcabcA sin Bsin C sinA sin Bsin Csin解：设abck( ko)sinAsinBsin C则有 ak sin A， bk sinB ， ck sin C从而Aa bc= k sin Ak sin Bk sin C =ksinsinBsin CsinAsinBsin C- 3 -又a32k ，所以abc=2
9、sinA sin60 0sinAsinBsin C评述：在ABC中，等式abcabck 0sinAsinBsin Csin Asin Bksin C恒成立。 补充练习 已知ABC中， sin A:sinB:sinC1:2:3，求 a: b : c（答案： 1： 2： 3） 课堂小结 （由学生归纳总结）（ 1） 定理的表示形式：abca bck k0 ；sin A sinBsin Csin A sinBsin C或 ak sin A ， bk sin B ， ck sin C ( k0)（ 2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（五）评价设计课后思考题： （见例 3）在ABC中，abcABC有什sin Asin Bk( ko) ，这个 k 与sin C么关系？课时作业：- 4 -