浙江省杭州市八中届高三数学上学期周末自测卷二.docx

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1、浙江杭州八中 2019 届上学期高三数学周末自测卷二选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知UR，集合Ax |1x1，则UC AA ( 1,1)B (,1)(1,)C 1,1D (,11,)2复数 34i ( i 是虚数单位 ) 的模是iA4B 5C7D 253 若实数 x, y 满足约束条件y 0,xy3 0, 则 z2xy 的取值范围是2xy 0,A 4,)B 0,6C 0,4D 6,)4已知互相垂直的平面, 交于直线 l 若直线 m, n 满足 m/， n，则A l /mB m/nC n l

2、D mn5函数 ysin x2cosx 的大致图像为yyABOxyCDOxOxyOx6 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯A186 盏B 189 盏C 192盏D 96 盏7安排 4 名志愿者完成5 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有A1440 种B 720 种C 480种D 240 种8已知向量 a,b 满足 | ab | 4， | ab | 3 ，则 | a | | b | 的范围是第

3、- 1 -页A 3,5B 4,5C 3,4D 4,79 设 U1,2,3,100 ， f 是 UU 的映射， 则“ Uf ( x) xU”是“当x1x2 时，f ( x1 ) f ( x2 ) ”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件10 已知函数 f ( x)x2axb 的两个零点 x1, x2，满足 0x1x22，则 f (0)f(2)的取值范围是A(0,1)B (0,2)C (1,2)D (1,4)非选择题部分(共 110 分 )二、填空题 : 本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分。11 若正项等比数列an 满足 a2a43 ，a3

4、 a51 ，则公比q，an12 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为表面积是xy1,13已知实数 x ， y 满足条件xy4,若存在实数 a 使得函数 zax y(a0) 取到最大x2 y0,值 z(a) 的解有无数个，则a， z( a) =14多项式 ( 12)(2x)5 的展开式中，含x 2 的系数是常数项是x15 有编号分别为1， 2， 3， 4 的 4 个红球和4 个黑球，从中取出3 个，则取出的编号互不相同的概率是16. 已知 F 为抛物线 y 2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， OA OB2（其中 O为坐标原点） ，则 AFO与 BFO面积之和的最小

5、值是17. 已 知 双 曲 线 C1 :x2y21 a0,b0的 左 右 焦 点 分 别 为 F1, F2a2b2， 抛 物 线C: y22 px p 0的焦点与双曲线C1的一个焦点重合，C 与C2 在第一象限相交于点21P，且 F1F2PF2，则双曲线的离心率为三、解答题 :本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. (本题满分14 分 )第 - 2 -页在中，内角， ，C的对边分别为a， ，且bsin + 3acos =0.ABCA BbcAB(1) 求角 B 的大小；A(2) 若 b7 3， sin C 2sin A，求 f ( x)a cos2xc s

6、in x cosx 的最大值19 （ 本 题 14分 ） 如 图 ， 在 Rt AOB 中 ，O A BD， 斜 边6AB 4 Rt AOC 可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 BAO C 是直二面角动点 D 的斜边 AB 上（ 1）求证：平面 COD平面 AOB ；OB（ 2）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线AO 与 CD 所成角的余弦值；C（ 3）求 CD 与平面 AOB 所成的角中最大角的正切值20.（本题满分15 分）已知函数 f ( x)| x | x 1| .（1）若 f ( x)| m1| 恒成立，求实数m 的最大值；（2）记（ 1）中 m 的最大

7、值为M ，正实数 a, b 满足 a2b2M ，证明： ab2ab .21. （本小题满分 15 分）22已知椭圆 C： x2y21（ ab 0）的焦距是2，点 P 是椭圆 C 上一动点，点A1， A2 是椭ab圆 C 的左右顶点，且满足直线1PA1，PA2 的斜率之积为2（）求椭圆的标准方程；（） A，B 是抛物线22上两点，且 A，B 处的切线相C ：x =4y互垂直，直线 AB与椭圆 C1 相交于 C， D两点，求OCD 的面积的最大值22. （本小题满分 15 分）已知数列an中，a1 1 ，an 1anan1 ln( an1)(n N * ),( ) 求证： 0an 1an( ) 求

8、证：anan 1an2anan 12an1第 - 3 -页(III)求证：1an2nn1浙江杭州八中2019 届上学期高三数学周末自测卷二参考答案与评分标准一、选择题：（共 8 小题，每小题4 分，共 40 分）题号12345678910答案DBBCACDBCA1答案： D分析： CU A,11,2答案： B分析： 34i43i1695i3. 答案： B4答案： C分析：因为l ，所以 l，又因为 n，所以 n l .5.答案： A分析： ysin x(0, ) 时， y0，故选 A.2cosx 是奇函数， x26.答案： C.分析：设塔的底层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比

9、为 1 的等比数列 .2x(1( 1 )7 )2 381，解得 x 192 .1 127. 答案： D分析：完成一件事情：一人完成两项工作，其余三人每人完成一项工作C52 A33240 ，8. 答案： B分析： abmaxab , ab 4 ，( a b )2a2a225 ，所以 a b 5 .bb9. 答案： C第 - 4 -页分析：“ Uf (x) xU”等价于“yf (x) 是一一映射”，故选C10. 答案： A.分析：设函数 f ( x)x2axb(x x1 )( xx2 ) ，则 f (0)x1x2 ， f (2)(2x1 )(2x2 ) .一方面： f (0) f (2)0，另一方

10、面：22x2 ) 2f (0) f (2) x1x2 (2x1 )(2x2 )x1 (2x1) x2 (2x2 )x12x1( x2122“”的条件是 x1x21，但0x1x22 ，所以“”取不到 .所以 f (0)f (2) 的取值范围是0,1.二、填空题：（共 7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）22n11， 222试题分析：因为a3a5a421， a40，所以 a41，因为 a2a43 ，所以 a22 ，因为a4122n2n2n22q， q 0，所以 qa2 q222，所以答案应a222，所以 an222n2 填：， 22【命题立意】本题考查：1、等比数列的性质；

11、2、等比数列的通项公式基本量运算，属于容易题12 5，14+19 试题分析：试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图根据三视图 可 知 ， 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为2 ， 1 ， 3 ， 所 以 几 何 体 的 体 积V 2 1 3 2111 1 3 6 1 5，表面积32S2312321231119212=14192222【命题意图】本题考查三视图及棱柱、棱锥的体积公式属于容易题第 - 5 -页131 ；1【命 意 】本 考 ： 性 划的基本 ；属于容易 14. 200144【命 意 】本 考 二 式展开式的 算属于容易 15 47【命 立

12、意】本 考 ：1、古典概型；2、概率的 算公式； 分析：先由 合数公式 算从8 个小球中取出3 个的取法 C83，要 足条件，可以有分步原理 3个球是同一个 色2C43，也可以是不同的 色C41 C32 , C42 C21, 取出的 号互不相同的概率是P3245671624【命 立意】本 考 ：1、抛物 ； 2、基本不等式；属于 。17【命 立意】本 主要考 学生抛物 与双曲 的定 域与性 ，需要找出a, c 之 的关系， 度 大。【解 思路】 点P x0 , y0， Fc,0， 点 P 做抛物 C2 : y 22 px p0准 的垂 ，垂足 A， 接 PF2。根据双曲 的定 和F1F2PF1

13、2c，可知 PF22c2a 。由抛物 的定 可知PAx0 c2c2a ， x0c2a。在 RtF1 AP 中，F1A222c2a 28ac4a2 ，即2cy028ac4a2， 由 题 意 可 知pc， 所 以y022px04c c2a， 所 以28ac4a24c c2a ， 化 简 可 得 c 24aca20 ， 即 e24e10 e1 ， 解 得e23三、解答 ：( 本大 共5 小 ，共74 分 ) 18本 主要考 三角函数及其 和解三角形等基 知 ，同 考 运算求解能力。 分14 分。a b解： (1) 由 bsin A - 3acos B及正弦定理 sin A sin B，得sin B-

14、3cos B，所以 tan B -3， 4 分第 - 6 -页所以 B 2. 6 分3a c(2) 由 sin C2sin A 及sin A sin C，得 c 2a.由 b7 及余弦定理 b2 a2 c22accos B，得 7 a2 c2+ac，将 c 2a 代入得，a 1，c 2 10 分所以 f ( x)a cos2xc sin x cos x 的最大 是2 14 分19 解：（1） a3， a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根，且数列 a n 的公差 d0， a 3=5， a5=9，公差 d= a5a3=2.53 a n=a5+(n-5)d=2n-1. 3 分又当 n=1 ，

15、有 b1=S1= 1b1,b1= 1 , 4分23当 n 2 ，有 bn=Sn-S n-1 = 1 (bn-1 -b n),bn=1 (n 2).2bn131，公比 q=1的等比数列， 数列 b 是首 b =n133 b n=b1qn-1 = 1n . 6 分3（2）由（ 1）知 c n=anbn= 2n1 , 8 分3n1352n1T n= 1+2+3 +3n,33311352n32n1Tn=32+ 3+4+ +3n+n 1, 9 分3333- 得2T =1222-2n1111+1)-2n1+2 +3 + +nn 1=+2(2 +3+nn 1,3n3333333333整理得 T n=1n13

16、n . 12 分2x1, x020. 解：（ 1）由 f ( x)1,0x1得 f ( x) min1，要使 f (x)| m1| 恒成立，2 x1, x1只要 1| m1| ，即0m2 ， 数 m 的最大 2；7分（ 2）由（ 1）知 a2b22，又 a2b22ab ，故 ab115 分21.（本 分15 分）第 - 7 -页( ) 设 P（ x0， y0）， y0y0y021a x02a2 -2 分x0a x02即 x022 y021 ， 2b2a2 -3分a2a2且 c2 , a24,b22, 即 的方程x2y 21 6 分42（2） 直 AB为, (,y1),(,y2),C ( x3

17、, y3 ), D ( x4, y4 )y kx m A x1B x2由ykxm, 得 x24kx4m0x24 y则 x1x4k , xx24m, 8 分21由 x 24 y,得 yx , k PAx1 , kPBx1 222x1x11 m1 ，所以直 AB 为 ykx1, 10 分22原点到直 AB 的距离 d1,1k 2OCD 的面 S1 d CD111k 28(1 4k 2 )2(1 4k 2 ), 131 2k 21 2k 2221 k 2分设 t12k 2 (t 1),则 k 2t 1代如上式得2所以 OCD 的面 的最大 是2 15 分22 明：( ) 先 左 ，用数学 法当 n1

18、 ， a110 成立；假 n k ， ak0当 nk1 ， ak1akak1 ln( ak1) ，ak 1 (1ln( ak1)ak0 ，因 ln( ak1)0第 - 8 -页所以有 ak102 分由可知， nN * ，都有 an0再 明右 ，由 an 1anan 1 ln( anan1ln( an 1)1) 得，an1因 ln( an1)0所以 an1ln( an1)1，即 anan 1an 1所以 0an 1an 4 分（）因 an 1an， an 1ananan1ln( an1)1ln( an1)an1an 1令 f ( x)ln( x1)x(0 x1)f ( x)11x0.6分1x1x

19、所以， f ( x)ln( x1) x 在 (0,1 上 减函数，f ( x)maxf (0)0 有 ln( x1)x 在 (0,1上恒成立，即ln( an1)an所以， an 1ananan0 ，即 an1an. 8 分an11ln( an1)an1an1a2aaa 2a另一方面， an1nnnnn2an11ln(an1)2an1令( )ln(x1)x(0x1)f xx1f ( x)1x1x11x0.9分x 1 ( x 1)2( x 1)2x 1 (x 1)2所以，函数 f ( x)ln( x1)x 在(0,1上 增函数，f ( x)minf (0) 0x1 有 ln( x1)x在 (0,1上恒成立，即 ln( an1)anx1an1所以， aan 2ananan 2an0 ，即 aan 2an1n 1n2an11ln(an 1)2an12an1第 - 9 -页 上，an1an1an2an . 11 分an2an1(III 由（ 2）可知an1an1 ， an11，即1