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1、 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 1 高等几何中圆锥曲线结果的初等化蚌埠市奋勇街78号中平小区7-2-9信箱 杨培明 (邮编:233000) 近年来,以高等几何为背景的高考、竞赛试题层出不穷,可以预见,此类问题还将会出现在今后的高考、竞赛中.为探究此类试题的背景,探索其命题方法,进一步丰富中学数学,更好的服务于中学数学教学,有必要把高等几何中与中学数学联系密切的圆锥曲线的结果初等化、系统化. 初等化、系统化的关键是选择寻找合适的切入点,我们从切线方程开始: 1.切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d
2、(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:由ax2+cy2+2dx+2ey+f=02ax+2cy+2d+2e=0=-曲线G在点P处的切线方程为:y-y0=-(x-x0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=ax02+cy02+2dx0+2ey0+f(注意到ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论1(切点弦方程):从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设
3、M(x1,y1),N(x2,y2),则曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0在点M(x1,y1)处的切线方程为:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0,由该切线过点P(x0,y0)ax1x0+cy1y0+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0点M(x1,y1)在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上;同理可得:点N(x2,y2)也在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论2(切线性质):过定点P(x0,y0)(x02+y020)
4、的直线与二次曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由该直线过点P(x0,y0)asx0+cty0+d(x0+s)+e(y0+t)+f=0点Q的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论3(切点弦性质):过直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的点Q作曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey
5、+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则:直线MN恒过定点P(x0,y0). 证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由点Q(s,t)在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+E(y+y0)+f=0上ax0s+cy0t+d(s+x0)+e(t+y0)+f=0直线MN:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0恒过定点P(x0,y0). 切线性质与切点弦性质互为逆命题,高等几何中把形如这样的点线互换的命题称为“对偶命题”.至此我们已初步认识到点P(x0,y0)与直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0
6、的密切关系,点P与直线l是我们下面展开深入讨论的出发点. 定义:点P(x0,y0)称为直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的极点;直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0称为点P(x0,y0)关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P在曲线G上时,点P关于曲线G的极线是曲线G在点P处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点
7、. 一个极点对应唯一的一条极线,一条极线对应唯一的一个极点,极点与极线构成一一对应关系.关于圆锥曲线的这种配极对应关系,在高等几何中有深入系统的研究.这里我们关注的是在中学数学,尤其是高考、竞赛中非常有用的性质、定理及其系统. 2.配极原则:如果点P的极线通过点Q,则点Q的极线也通过点P. 配极原则可见文1P180,下面我们给出初等证明. 证明:设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q关于曲线G的极线方程分别为p:axpx+cypy+d(x+xP)+e(y+yP)+f=0,q:axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=
8、0,则点P的极线通过点QaxpxQ+cypyQ+d(xQ+xP)+e(yQ+yP)+f=0点P(xp,yp)在直线q:axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=0上点Q的极线也通过点P. 推论1(1P181):两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 2 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 证明:设两点A、B连线的极点是P,即点P的极线经过点A、B,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点P是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线)(1P181):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A、B均
9、在直线l上,直线l对应的极点为P,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点A、B的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质)若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点. 证明:设P(x0,y0),曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,则点P的极线方程:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0,故可设AB:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+=0,由点P(x0,y0)在直线AB上ax02+cy02+2dx0+2ey0+=0=-(ax02+cy02+2dx0+2ey0)直线AB:ax0x+cy0y+d(x+x0)
10、+e(y+y0)=ax02+cy02+2dx0+2ey0,设点A(x1,y1)在曲线G上,则ax12+cy12+2dx1+2ey1+f=0,若点B(2x0-x1,2y0-y1),且由点B在直线AB上ax0(2x0-x1)+cy0(2y0-y1)+d(3x0-x1)+e(3y0-y1)=ax02+cy02+2dx0+2ey0ax02+cy02+dx0+ey0=ax0x1+cy0y1+dx1+ey1,所以,a(2x0-x1)2+c(2y0-y1)2+2d(2x0-x1)+2e(2y0-y1)+f=4(ax02+cy02+dx0+ey0)-(ax0x1+cy0y1+dx1+ey1)+(ax12+cy
11、12+2dx1+2ey1+f)=0点B(2x0-x1,2y0-y1)在曲线G上,即点P是弦AB的中点. 3.共轭定理:过点P的直线与圆锥曲线G交于A、B两点,与点P的极线交于点Q,则:+=0. 证明:设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,P(x0,y0),Q(xQ,yQ),则点P的极线方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0,由点Q(xQ,yQ)在极线上ax0xQ+cy0yQ+d(xQ+x0)+e(yQ+y0)+f=0,又设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入曲线G的方程得:(axQ2+cyQ2+2dxQ+2eyQ+f)2+2(ax0xQ+cy0y
12、Q+dx0+dxQ+ey0+eyQ+f)+ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0(axQ2+cyQ2+dxQ+eyQ+f)2+ax02+cy02+dx0+ey0+f=0A+B=0.又因A=,B=+=0+=0. 推论1(比例定理):若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,过点A、B作两条平行直线,分别与直线l交于点D、C,则:. 证明:分两种情况:(1)若ABl,则四边形ABCD是平行四边形AD=BC,又由中点性质知,AP=BP,故;(2)若AB与直线l交于点Q,由共轭定理知,又由ADBC. 推论2:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线
13、G相交于A、B两点,分别过点A、B、P作直线l的垂线,垂足分别为D、C、Q,则AC与BD的交点M平分PQ. 证明:因AD:BC=AP:BP,由ADBCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MCPMBCM在PQ上;又由PQBCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MQ:BCPM=MQM平分PQ. 共轭定理自然的引发我们给出点P与Q的关系定义. 定义:若直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,且+=0,则称点P与Q是圆锥曲线G的一对共轭点. 由共轭定理知,若点P及其极线上一点Q的连线与曲线G相交,则P与Q为圆锥曲线G的共轭点.共轭是高等几何中最重要的概念之一,它是联系高等几何中各主要概念的一条主线,
14、二次曲线的许多重要结论都与此密切相关. 4.条件定理:两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)共轭的充要条件是:ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 在文1(P179)中给出的是高等几何的证明,这里我们给出自然的、初等的证明. 证明:设直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,则P与Q关于圆锥曲线G共轭+=0+=0A+B=0,其中,A=,B=-;设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入圆锥曲线G的方程得: 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 3 (ax22+cy22+2dx2+2ey2+f)2+2(ax1
15、x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f)+ax12+cy12+2dx1+2ey1+f=0,所以,A+B=0ax1x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f=0ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 推论1(轨迹定理):若点P与Q关于曲线G互为共轭点,则:点Q为定点点P在定直线上. 证明:点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)共轭ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0.点Q为定点,由ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0点P
16、在定直线ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0上. 推论2(一一对应)(1P83):若点P与Q关于曲线G互为共轭点,且点P与Q在确定的直线l上,则点P与Q是一一对应的. 证明:设曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(x0,y0),则点P的共轭点Q在点P的极线p:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上,又因点Q在确定的直线l上点Q是直线p与l的唯一交点,反之亦成立,所以,点P与Q是一一对应的. 5.割线定理:设四边形ABCD内接于圆锥曲线G,一对对边AB和DC A的交点为P,对角线AC和BD的交点为Q,则点P与Q是二次曲线G的一对共轭点.
17、 N 证明:以P为原点,PQ为x轴建立直角坐标系,圆锥曲线G:ax2+2bxy+cy2+2dx B Q+2ey +f=0(a2+c20),直线PA、PD的方程分别为:y=k1x、y=k2x,则过A、B、C、D P C D四点的二次曲线系G的方程为:ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f+(y-k1x)(y-k2x)=0,其中包括二次曲线系G退化为两直线AC、BD的方程,则两直线AC、BD与x轴交点 (图1)Q的横坐标xQ满足:axQ2+2dxQ+f+k1k2xQ2=0(yQ=0),即(a+k1k2)xQ2+2dxQ+f=0=-xQ=-Q(-,0),又点P(0,0)关于圆锥曲线G的极线方程
18、为:dx+ey+f=0点Q在此极线上,由共轭点存在定理知:点P与Q是二次曲线G的一对共轭点. 这个定理是圆的三割线定理在圆锥曲线中的移植推广,它在建立高等几何中圆锥曲线结果的初等化系统中非常重要,故我们把它称为割线定理. 推论1(交点轨迹):设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,PA与曲线G相交于另一点B,则BQ与PC的交点D在曲线G上. 证明:设直线AC与圆锥曲线G交于点E,连接BE与PQ相交于点F,由割线定理知,点P与F是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点F与Q重合点E与D重合点D在曲线G上. 推论2(共线定理1):设点P与Q是二次曲线
19、G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,PC与曲线G相交于另一点D,AP与曲线G相交于另一点B,则B、Q、D三点共线. 证明:设直线AC与BD交于点E,由割线定理知,点P与E是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点E与Q重合B、Q、D三点共线. 推论3(共线定理2):设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,AP与曲线G相交于另一点B,BQ与曲线G相交于另一点D,则P、C、D三点共线. 证明:设直线PC与圆锥曲线G交于点E,连接BE与PQ相交于点F,由割线定理知,点P与F是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点F与Q重合
20、点E与D重合P、C、D三点共线. 推论4:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,曲线G的弦ABl,点Q在直线l上,过点A、B分别作PQ的平行线,与直线l分别交于点D、C,则CQ=DQ. 证明:因四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC.设直线BP与AQ交于点M,由推论1知,点M在曲线G上,作MNPQ交直线l于点N,则QN:QD=MN:AD=MN:BC(注意到由比例定理知MN:BC=MP:PB)=MP:PB=NQ:QCQC=QD. 推论5(文1P176):内接于曲线G的四边形ABCD的两对对边的交点及对顶点的切线交点必四点共线. 证明:设点Q(x0,y0),曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f
21、=0(a2+c20)由切点弦的性质定理知,圆锥曲线G在A、C处的切线交 4 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 点P,在B、D处的切线交点Q均在直线l:ax0x+cy0y+d(x+ x0)+e(y+y0)+f=0上;又由割线定理知,点M(xM,yM)、N(xN,yN)均是点Q关于曲线G的共轭点,根据共轭点的条件定理得:ax0xM+cy0yM+d(xM+x0)+e(yM+y0)+f=0,ax0xN+cy0yN+d(xN+x0)+e(yN+y0)+f=0点M、N均在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上P、M、Q、N四点共线. 推论6(文1P176):内接于圆锥曲线G的A
22、BC的每个顶点的切线与对边的交点必共线. 证明:在推论5中,当点D与C重合时,即为推论5. 6.自极原理:如图2,点A、B、C、D在圆锥曲线G上,AD与BC相 A交于点X,AC与BD相交于点Y,AB与DC相交于点Z,则YZ是X的极线,ZX是Y的极线,XY是Z的极线. B Y D 证明:由割线定理知,点X、Z均为点Y的共轭点,又由配极原则知, C点X、Z均在点Y的极线上,即ZX是Y的极线;同理可证其它. Z X 在高等几何中,XYZ称为自极三点形(见文1P181),为突显其重要性, (图2)我们把该定理命名为自极原理. 推论1:直线ZBA、ZCD分别与圆锥曲线G相交于B、A和C、D,AD与BC相
23、交点X,AC与BD相交于点Y,直线ZY与圆锥曲线G相交于点M、N,则直线XM、XN均是圆锥曲线G的切线. 证明:由自极原理知,直线ZY是点X关于圆锥曲线G的极线,即直线ZY是点X对应的切点弦,故直线XM、XN均是圆锥曲线G的切线. 推论2(文1P184):如图2,点A、B、C、D在圆锥曲线G上,AD与BC相交于点X,AC与BD相交于点Y,AB与DC相交于点Z,则B、C处的切线交于YZ上,A、D处的切线也交于YZ上. 证明:如图2,因B、C、X三点共线,由配极原则的推论2知,B、C、X三点对应的极线(分别为曲线G在B、C处的切线和YZ)必共点B、C处的切线交于YZ上;同理可证A、D处的切线也交于
24、YZ上. 推论3:过直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的点P作曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条割线PAB、PDC,分别与曲线G相交于A、B、C、D四点,则直线AC与BD均恒过定点Q(x0,y0). 证明:由推论2知,曲线G在点A、C处的两条切线的交点在直线l上,由切点弦性质知,直线AC恒过定点Q(x0,y0),同理可得:直线BD恒过定点Q(x0,y0). 上述这些初等化了的结果,不仅可以揭示许许多多高考和竞赛试题的背景,而且可以引导我们发现关于圆锥曲线的初等结论,另一方面,我们通过高等几何结果的初等化,把高等几何的一些思想方法下嫁移植到中学
25、数学中.这为初等数学的研究以及中学数学探究课的开发提供了一条新的途径.参考文献:1.梅向明,刘增贤.高等几何.高等教育出版社.2008. 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 1 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 近年来,以高等几何为背景的高考、竞赛试题层出不穷,于是引起了一些同行的探究热情,得到了一系列“新成果”,这些“新成果”,揭开了许多高考、竞赛试题的神秘面纱,丰富了中学数学,从这方面讲是非常有价值的.但从高等几何看,这一系列“新成果”中的大部分其实是高等几何中常见结论的自然“结晶”.可分为三种类型:一是以探究高考试题的背景;二是把高考试题一般化,进行推广、类比;三是对圆锥曲线的专题研究; .切
26、线理论 我们切线方程开始: 1.切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:由ax2+cy2+2dx+2ey+f=02ax+2cy+2d+2e=0=-曲线G在点P处的切线方程为:y-y0=-(x-x0)(ax0+d)(x-x0)+(cy0+e)(y-y0)=0ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=ax02+cy02+2dx0+2ey0+f(注意到ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)
27、+f=0. 2.切点弦方程:从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0在点M(x1,y1)处的切线方程为:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0,由该切线过点P(x0,y0)ax1x0+cy1y0+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0点M(x1,y1)在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上;同理可得:点N(x2,
28、y2)也在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 3.切线性质:过定点Q(x0,y0)(x02+y020)的直线与二次曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设点P(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由该直线过点Q(x0,y0)asx0+cty0+d(x0+s)+e(y0+t)+f=0点P的
29、轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 4.切点弦性质:过直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的点P作曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则:直线MN恒过定点Q(x0,y0). 证明:设点P(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由点P(s,t)在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+E(y+y0)+f=0上ax0s+cy0t+d(s+x0)+e(t+y0)+f=0直线MN:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0恒过定点Q(x
30、0,y0). 切线性质与切点弦性质互为逆命题,高等几何中把形如这样的点线互换的命题称为“对偶命题”.由此我们也认识到对于圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点(x0,y0)与直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0的密切关系,这一点是我们下面展开深入讨论的出发点. .配极关系 定义:点P(x0,y0)称为直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的极点;直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0称为点P(x0,y0)关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=
31、0的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,二次曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;二次曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点;当点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0上时,点P关于曲线G的极线:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0是曲线G在点P处的切线. 一个极点对应唯一的一条极线,一条极线对应唯一的一个极点,极点与极线构成一一对应关系.一点一线,阐述着数学的朴素之美.也是极致之美.关于二次曲线的点与直线的这种配极对应关系,在高等几何中有深入系统的研究.这里我们关注的是在中学
32、数学,尤其是高考、竞赛中非常有用的性质、定理及其系统. 1.配极原则:如果点P的极线通过点Q,则点Q的极线也通过点P. 证明:见文献1P180. 设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q关于曲线G的极线p、q的方程分别为p:axpx+cypy+D(x+xP)+e(y+yP)+f=0,q:axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=0,则点P的极线通过点QaxpxQ+cypyQ+d(xQ+xP)+e(yQ+yP)+f=0点P(xp,yp)在直线q: axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=0上点Q的极线也通
33、过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:见文献1P181. 设两点A、B连线的极点是P,即点P的极线经过点A、B,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点P是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2:共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:见文献1P181. 设点A、B均在直线l上,直线l对应的极点为P,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点A、B的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 2.性质定理:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B
34、作直线l的垂线,垂足分别为D、C,则:. y D 证明:以抛物线G:y2=2px(p0)为例. A设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则极线l:y0y=p(x+x0), C P=(注意到:y12=2px1,y22=2px2)= B=(注意到:=k)=,而=,故以下只需证明:=1,即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p,由(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2=k(x1-x2)k(y1+y2)=2p,证毕. 推论1:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥 y D曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B、P作直线l的垂线,
35、垂足分别为D、C、H,则AC与BD的交点M平分PH. H A 证明:因AD:BC=AP:BP,由ADBCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MC C M PPMBCM在PH上;又由PHBCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MH:BCPM=MH DM平分PH. 推论2:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,曲线G的弦ABl,点Q在直线l上,过点A、B分别作PQ的平行线,与直线l分别交于点D、C,则CQ=DQ. 证明:以P为坐标原点,直线PQ为x轴建立直角坐标系,圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,则极线l:dx+ey+f=0AB:dx+ey+=0,联立圆锥曲线G方程消去x得:(a
36、e2+cd2)y2+2aey+a2+d2(f-2)=0 推论3:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,曲线G的弦ABl,点Q y在直线l上,直线AQ与曲线G交于另一点M,则B、P、M三点共线. D A 证明:设BM与PQ相交于点E,过点A、B、M、P分别作平行线,与直 N M线l分别交于点D、C、N、Q,则AD=BC,DQ=QC,且MP:PB=MN:BC,又因ME: Q PEB=NQ:QD,且QN:QD=MN:ADME:EB=MP:PB点E与F重合B、F、M三点共线. C B .调和共轭 共轭是高等几何中最重要的概念之一,它是联系高等几何中各主要概念的一条主线,二次曲线的许多重要结论都与此密切相关.
37、共轭点的定义来自于平面几何,我们首先给出共轭点的定义. 定义:若共线四点P、Q、A、B满足:+=0,那么就称P、Q关于A、B成调和共轭. P A Q B 调和共轭的一个特例是:三角形一个角的内角和外角平分线与对边的交点,将三角形对边的两顶点调和分割.由此可得有心圆锥曲线上一点处的切线及法线与主轴的交点,将两焦点调和分割.一般地,调和共轭与圆锥曲线具有紧蜜的关系,下面的定理可给予一定的体现. 定理1(存在定理):过圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)外一点P作圆锥曲线G的两条切线PM、PN,切点分别为M、N,过点P作圆锥曲线G的割线,与圆锥曲线G交于A、B两点,与切
38、点弦MN交于点Q,则:+=0. 文1提供一个统一的证明思路,我们完成如下: 证明:设P(x0,y0),Q(xQ,yQ),则切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0,由点Q(xQ,yQ)在该直线上ax0xQ+cy0yQ+d(xQ+x0)+e(yQ+y0)+f=0,又设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入圆锥曲线G的方程得:(axQ2+cyQ2+2dxQ+2eyQ+f)2+(ax0xQ+cy0yQ+dx0+dxQ+ey0+eyQ+f)+ax02+cy02+dx0+ey0+f=0(axQ2+cyQ2+dxQ+eyQ+f)2+ax02+cy02+dx0+ey0
39、+f=0A+B=0.又因A=,B=-=+=0. 由共轭点的存在定理知,直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的任意一点P与Q(x0,y0)均为圆锥曲线G的共轭点.共轭点的存在定理促使我们研究圆锥曲线中一般的共轭点,下面给出圆锥曲线共轭点的定义. 定义:若直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,且P、Q关于A、B成调和共轭,则称点P与Q是圆锥曲线G的一对共轭点. 定理2(条件定理):两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)共轭的充要条件是:ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0.
40、在文2(P179)中给出的是高等几何的证明,这里我们给出初等的证明. 证明:设直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,则P与Q关于圆锥曲线G共轭+=0=A+B=0,其中,A=,B=-;设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入圆锥曲线G的方程得:(ax22+cy22+dx2+ey2+f)2+(2ax1x2+2cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+2f)+ax12+cy12+dx1+ey1+f=0,所以,A+B=02ax1x2+2cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+2f=0ax1x2+cy1y2+d+e+f=0. 推论:若点P与Q关于曲线C互为共轭点,则:点Q为定点点P在定直线上.
41、证明:点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0(a2+c20)共轭ax1x2+cy1y2+d+e+f=0.点Q为定点ax1x2+cy1y2+d+e+f=0点P在定直线ax1x+cy1y+d+e+f=0上. 定理3(割线定理):设四边形ABCD内接于圆锥曲线G,一对对边AB和DC A的交点为P,对角线AD和BC的交点为Q,则点P与Q是二次曲线G的一对共轭点. N 证明:以P为原点,PQ为x轴建立直角坐标系,圆锥曲线G:ax2+cy2+dx+ey B Q+f=0(a2+c20),直线PA、PD的方程分别为:y-k1x、y=k2x,则A、B、C、D过 P C
42、 D四点的二次曲线系G:方程为:ax2+cy2+dx+ey+f+(y-k1x)(y-k2x)=0,其中包括二次曲线系G退化为两直线AC、BD的方程,则两直线AC、BD与x轴交点Q的横坐标满足:ax2+dx+f+k1k2 x2=0(yQ=0),即(a+k1k2)x2+dx+f=0=-xQ=-2Q(-2,0),又点P(0,0)关于圆锥曲线G的极线方程为:dx+ey+2f=0点Q在此极线上,由共轭点存在定理知:点P与Q是二次曲线G的一对共轭点. 这个定理是圆的三割线定理(见文3)在圆锥曲线中的移植推广,证明方法受文4的启发而得到. 推论1:设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G
43、相交于A、C两点,PA与曲线G相交于另一点B,则BQ与PC的交点D在曲线G上. 证明:设直线AC与圆锥曲线G交于点E,连接BE与PQ相交于点F,由割线定理知,点P与F是二次曲线G的一对共轭点点F与Q重合点E与D重合点D在曲线G上. 推论2:设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,PC与曲线G相交于另一点D,AP与曲线G相交于另一点B,则B、Q、D三点共线. 证明:设直线AC与BD交于点E,由割线定理知,点P与E是二次曲线G的一对共轭点点E与Q重合B、Q、D三点共线. 推论3:设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,AP与曲线G