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1、2013 年福建省高中数学竞赛暨 2013 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间： 2013 年 9 月 7 日上午 9：00 11：30，满分 160 分）一、填空题（共10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1 已 知 数 列 an满 足 a132 ， an 1an2n （ nN * ）， 则 an的最小值n为。【答案】313【解答】 由 a132 ， an 1an2n 知，anan 12(n1) ， an 1an 22(n2) ， ， a2a12 1 ， a132 。上述n 个等式左右两边分别相加，得an(1)32。n nann 1
2、 32 ，又 n5 时， an52 ； n6 时， an31 。nnn5n3n 6 时， an取最小值 31 。n32 对于函数yf ( x) ， x D ，若对任意的x1D ，存在唯一的x2D ，使得f ( x1 ) f (x2 )M ，则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为M。已知 f ( x)x3x2 1 ，x 1，2，则函数 f ( x)x3x2 1在 1，2上的几何平均数 M。【答案】5【解答】当1x 2 时， f ( x)3x22xx(3x2)0 ，f ( x)x3x21在区间 1，2 上为增函数，其值域为1，5 。根据函数 f ( x) 几何平均数的定义知， M5 。若三
3、个非零且互不相等的实数a 、b 、 c 满足 112，则称 a 、b 、c 是调和的；3abc若满足 ac2b ，则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 Mx x 2013，xZ ，集 1合 P 是集合 M 的三元子集，即 Pa ，b，cM 。若集合 P 中元素 a 、 b、 c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。则不同的“好集”的个数为。【答案】 1006112【解答】 若 a 、 b 、 c 既是调和的，又是等差的，则abc ， a2b， c 4b 。ac2b即“好集”为形如2b ，b，4b （ b0）的集合。由“好集”是集合 M 的三元子集知，20134b2013 ，
4、 bZ ，且 b0。503b503 ， bZ ，且 b0 。符合条件的 b 可取 1006 个值。“好集”的个数为 1006。4 已 知 实 数 x ， y 满 足 xy 1 4xy ， 且 x1 ， 则 ( x 1) y(2的)最小值为。【答案】 27【解答】 由 xy14xy 知， y4x1 。x1( x 1 )y(2 ) x (4 x13x(1 x) ( 2。1 )1 ) (2 )1设 x1 t ，则 t0，x1x( x1)( y2)3(x1)(2 x 1)3(t2)(2 t1)6(t1) 1527 。x1tt当且仅当 t1 ，即 t1， x2 ， y7 时等号成立。t ( x 1 )y
5、(的2)最小值为 27。5如图，在四面体ABCD 中， AB 平面 BCD ， BCD 是边长为3 的等边三角形。若AB 2 ，则四面体 ABCD 外接球的面积为。【答案】 16【解答】如图，设正 BCD 的中心为 O1 ，四面体 ABCD 外接球的23球心为 O 。则 OO1 平面 BCD ， OO1AB ， BO133 。32取AB中点E。由 OAOB 知， OEAB ， OEO1B ， OO1EB1。于是， OAOB2。 2四面体 ABCD 外接球半径为 2，其面积为 16。6在正十边形的 10 个顶点中，任取4 个点，则以这4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为。【答案】27【解答】 设
6、正十边形为 A1 A2A10 。则以 A1 A2 为底边的梯形有 A1 A2 A3 A10 、 A1 A2 A4 A9 、 A1 A2 A5 A8 共 3 个。同理分别以 A2 A3 、A3 A4 、 A4 A5 、 、 A9 A10 、 A10 A1 为底边的梯形各有3 个。这样，合计有30 个梯形。以 A1 A3 为底边的梯形有A1 A3 A4 A10 、 A1 A3 A5 A9共 2 个。同理分别以A2 A4 、 A3A5 、A4 A6 、 、 A9 A1 、 A10 A2 为底边的梯形各有2 个。这样，合计有20 个梯形。以 A1 A4 为底边的梯形只有 A1 A4 A5 A101 个
7、。同理分别以 A2 A5 、A3 A6 、A4 A7 、 、 A9 A2 、A10 A3 为底边的梯形各有1 个。这样，合计有10 个梯形。所以，所求的概率P3020102。C1047方程sinxxx1在区间0 ，2内的所有实根之和为。7222（符号 x 表示不超过 x 的最大整数）。【答案】 12【解答】 设xxx，则对任意实数 x ， 0x1 。2222原方程化为 sinxx1。22 若 0x1 ，则 sinxx10 ， xk（ k Z ）。2222 xk （ kZ ）。结合 x0，2知， x0 ，1，2，3，4，5，6。 3经检验， x0，2，4，6 符合要求。 若 1x1，则 sin
8、xx11 ，x2k1（ kZ ）。22222 x2k1 （ kZ ）。结合 x0 ，2知， x1 ， 5， 9 。2222经检验， x1 ， 5， 9 均不符合要求。222符合条件的 x 为 0，2，4，6，它们的和为 12。8 已知 f ( x) 为 R 上 增 函 数， 且 对 任 意 xR ， 都 有 ff( x)x4，则3f ( 2 )。【答案】 10【解答】 依题意，( )3x 为常数。设f ( x)3xm，则f (m)4，xm。f xf ( x) 33mm4， 3mm40 。易知方程 3mm 40 有唯一解m1。f ( x )x21 10。3 ，1 f (2)39已知集合 A 的元
9、素都是整数， 其中最小的为1，最大的为 200。且除 1 以外， A 中每一个数都等于 A 中某两个数（可以相同）的和。则 A 的最小值为。（符号 A 表示集合 A 中元素的个数）【答案】 10【解答】易知集合 A1，2，3，510 ，20 ，40，80，160，200符合要求。此时，A10 。下面说明A9 不符合要求。假设集合 A1，x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5，x6，x7，200， x1 x2 x3x4 x5x6 x7 符合要求。则 x1 112 ， x22 24 ， x3 8 ， x4 16 ， x532， x664 ， x7128 。由于 x6x764128192200，因此，
10、 200x7x7 ， x7 100。同理，由 x5x6326496 100 ，知， x7100x6 x6 ， x650 。 4由 x4x516324850 ，知， x650x5x5 ， x525 。由 x3x48162425 ，知， x525x4x4 ， x425 与 x4 为整数矛盾。2A9 不符合要求， A 9 。同理，A 8 也不符合要求。因此，A 的最小值为 10。x ，若 x 为无理数10已知函数 f (x)q 1 ，若xq ，其中，N*，且、互质，则函数ppp qp qpq78。f ( x) 在区间 (， ) 上的最大值为89【答案】 1617【解答】 若 x 为有理数，且 x78
11、a78*），(， ) 。设 x(， ) （ a ，N89a89由 7a8 知，9a 8a 8， 7a 8。8a97a 78a当1时， a 不存在；当2 时，存在唯一的 a15 ，此时 x15 ， f (x)16 。17177m1。当3 时，设 a7m ，其中 1 m1，且 mN * ，此时 f (x)8m1 6 7 m1 9 m1 7 ( m) ( 81 7 )1 78 m1 7 ( 8 m)1 7 (m80 ，)若 x 为有理数，则 x15 时， f (x) 取最大值 16 。1717又 x 为无理数，且x78816。( ， ) 时， f ( x) x91789综合以上可知， f ( x)
12、在区间7816。(， ) 上的最大值为1789二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11将各项均为正数的数列an排成如下所示的三角形数阵（第n 行有 n 个数，同一行中，下标小的数排在左边） 。 bn 表示数阵中，第 n 行、第 1 列的数。已知数列bn 为等比数列，且从第 3 行开始，各行均构成公差为 d 的等差数列（第3 行的 3 个数构成公 5d44da11 a1217a18341mnA(m ，n)m n2a20133 2013a1a2a3a4a5a61bnqa7a8a9a10a1252a1863b1 1 bnqn 1 a12 q4d17 a18
13、 q52d 345q 2 d1 bn2n 1A( m n)mb (n 1 ) dm 1n 12102123621953123626320162013195360a20136360 a2013262591532013mn m2 m 12 m 1m12 m 120132 m 1m1m 102 m 1m 1299 512 2013m10 6由于 m 11 时， 2 m 121010242013 ，因此 m11不符合；上述不等式无正整数解。2013 不在该数阵中。20 分12已知 A 、 B 为抛物线 C ： y24x 上的两个动点，点 A 在第一象限，点 B 在第四象限。 l1 、 l 2 分别过点
14、 A 、 B 且与抛物线 C 相切， P 为 l1 、 l2 的交点。（ 1）若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ，求证：动点 P 在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设 C 、 D 为直线l1 、 l 2 与直线 x4 的交点，求 PCD 面积的最小值。【解答】（1）设y12，y22，0y2 ）。A(y1 ) ， B(4y2 ) （ y14易知 l1 斜率存在，设为 k1 ，则 l1方程为 yy1k1( xy12) 。4y y1k1( xy12 )k1 y24 y4 y120由4 得，k1 y1y24x由直线 l1 与抛物线 C 相切，知 164k1 (4 y1k1 y12 )0 。于
15、是， k12 ， l1 方程为 y2x1y1。y1y12同理， l 2 方程为 y2 x1 y2 。y22联立 l1 、l 2 方程可得点 P 坐标为 P( y1 y2 ，y12y2 )54分kABy1y24， AB 方程为 y y14(xy2y12y22y1 y2y1y21)，AB过抛物线 C的444 7F (1，0)y14(1y12 ) y1 y24y1y24xPy1 y21Px1104A(x1 y1 ) B(x2y2 )l1y1 y2(xx1 ) l 2y2 y2(xx2 )5P(x0y0 )y1 y02( x0x1 ) y2 y02(x0x2 )A( x1 y1 ) B( x2y2 )
16、yy02( x0x)AByy02( x0x)ABF (1，0)02(x01)x01Px11021CD8181C (4，2 y1)D (4，y2 )y1y228181( y1 y 216)( y 1 y )2CD( y12 y1 ) ( y22 y2 )2 y1 y21y y2( y y16)( yy )2S PCD4112142 y1 y2215y1 y2t 2 t0y1y2m( y1y2 )2( y1y2 ) 24 y1 y2m24t 20m 2ty1y201t2( t21 6 m)2222221 6 )SPCDm (t1 6 )t 2 t (1 6 ) t (44222t 82t21t61
17、t 6 8设f (t )(t216) 2，则 f (t )2(t 216)2t t(t 216)2(3t 2 16)( t216)8t8t28t 2。0t43 时， f (t )0 ； t4 3 时， f (t )0 。 f (t) 在区间0，4 3上为减333函数；在区间43 ，上为增函数。3t43 时， f (t) 取最小值 1283 。39当 y1y2 0 ， y1 y216 ，即 y14， y24时， PCD 面积取最小值3331283。920 分13如图，在 ABC中，B 90，它的内切圆分别与边BC、AB相切于点D、CAE 、 F ，连接 AD ，与内切圆相交于另一点P，连接 PC
18、、PE、PF 、FD 、ED。（ 1）求证： FPEP ；FDED（ 2）若 PE BC ，求证： PCPF 。 91AFPADFFAPFAD AFP ADFAPFP5AFDFAEPADEPAEEAD AEP ADEEPAPDEAEAF AEEP AP AP FPDEAEAFDFF PE PF DE D102P EB CPEDEDCDPECED DPE CDEEPPD15EDDC1FPDPFDDCPFDPDC PFD PDCPCBPDFPFAPFBCB 90FPC90PCPF2014f ( x) 2ln( x 1)11x(x 1)1f ( x)12f ( x)ln1 ln 2 ln 3ln n
19、(n 1)2nN *2nn23ln 2 1 ln 2 2 ln 2 3ln 2 n( n 1)4nN *n24n3101f ( x)22x 12 x32x22x1(2x31)2x(x1)x 1 x2 ( x 1)2x2 (x 1)2x2 ( x 1)2x 1f (x)0f ( x)1f ( x)1f (1)2ln 215221x1 2ln( x 1)1110x(x1)2ln 22k 2ln( k1)1102ln( k1)111)k(k1)(kk 1102ln 21 (11) 2ln 31( 11)2ln n1(111)1223nn2ln 22ln 32ln n111111111 ()()()1
20、223n 1n1(n22 l n 22 l n 3n2 lnn1 )1( 1)nnn N *n2ln1ln 2ln 3lnn(n1)2152n3(ln 2 1 ln 2 2ln 2 3ln 2 n)(12121212 )(ln1ln 2ln3ln n)22nN *n 2ln 2 1 ln 2 2 ln 2 3ln 2 n1 (n 1)4(n 1)4n4n24n32015Pxx73a72b7c ，其中 a ，b ，c 为不超过6 的正整数 11x1x2x3xnPnn11234566P52P7x1x2x3x7P7dd0PP7x1 x2 x3x77277xixji j7i j71 2345 67( ji )d7d10d7mmx173a172a27a3 a1 a2 a36xi73a172a27a37(i1)mi2 37x773672676 x773 172 1717