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1、21.3 实际问题与一元二次方程【教学目标】知识与技能：1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型2. 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用【教学重难点】教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系【教学过程】一、复习引入1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？审题；设未知数；找相等关系；列方程；解方程；答说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫二、探索新知【探究 1】有一人患了流感， 经过两轮传染后， 有 121 人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染了几个人？思考：（ 1）本题中有哪些数量关系？（ 2）如何理解“两轮传染”？（ 3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感 .（
3、4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1 人患了流感，第二轮传染后有x(1+x) 人患了流感 . 于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，x 2=-12( 不合题意舍去 )因此每轮传染中平均一个人传染了10 个人(5) 为什么要舍去一解？（ 6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验【探究 2】两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是60
4、00 元，随着生产技术的进步，现在生产1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产1 吨乙种药品的成本是3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（ 1）怎样理解下降额和下降率的关系？（ 2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。（ 3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（ 1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元依题意，得5000（1-x ） 2=3000解得： x1 0.225 ， x2 1.775 （不合题意
5、，舍去）（ 4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率, 并比较哪种药品成本的平均下降率较大。设乙种药品成本的平均下降率为y则： 6000 （1-y ） 2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得： y 0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（ 5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？三、巩固练习说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路四、小结作业小结： 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。2. 用“传播问题”建立数学模型，并利
6、用它解决一些具体问题3. 对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是 a，增长（或降低） n 次后的量是b, 则有： a(1x) nb （常见 n=2）实际问题与一元二次方程同步练习一、选择题12005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场100 家，后来二、 ?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）A 100（ 1+x） 2=250B 100（ 1+x ） +100（ 1+x） 2=25022C 100（ 1-x ） =250D 100（1+x ）2一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压
7、， ?所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）A （ 1+25% ）（ 1+70% ） a 元B 70%（ 1+25%） a 元C（ 1+25% ）（ 1-70%） a 元D （ 1+25%+70% ） a 元3某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（）pB pC100 p100 pA D100p100p1000 p二、填空题1某农户的粮食产量， 平均每年的增长率为x，第一年的产量为6 万 kg，?第二年的产量为 _kg ，第三年的产量为 _，三年总产量为 _2某糖厂 2002 年食糖产量为at
8、，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计 2004 年的产量将是 _3?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999 年涨价 30%?后， ?2001?年降价 70%?至 a?元， ?则这种药品在 1999?年涨价前价格是 _ 三、综合提高题1为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002年一年退耕还林1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16 台，?从二月份起， 甲型每月增产10 台，乙型每月按相同的增长率逐年递增
9、，又知二月份甲、乙两型的产量之比是 3： 2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台， ?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量3某商场于第一年初投入50 万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营（ 1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（ ?用代数式来表示）年利润（注：年获利率 = 100%）年初投入资金（ 2）如果第二年的年获利率多10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66 万元，求第一年的年获利率答案 :一、 1B 2B3 D二、 1 6（ 1+x）6（1+x ） 26+6 （1+x ） +6（ 1+x ）22 a（ 1+x） 2t100a339三、 1平均增长率为x，则 1600（ 1+x ）2=1936， x=10%2设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：y103y2 4x1 4则 16(1x)21 6x2y3 x2 2 9 0( y20)16(1 x)265即 16x 2+56x-15=0 ，解得 x= 1 =25% ， y=20 （台）43（ 1）第一年年终总资金=50 （1+P）（ 2） 50（ 1+P）（ 1+P+10% ）=66 ，整理得： P2+2.1P-0.22=0 ，解得 P=10%