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1、第 2 讲 几何变换旋转典型例题【例 1】C 是线段 AE 上的点，以 AC 、 CE 为边在线段 AE 的同侧作等边三角形ABC 、CDE ，设 AD 的中点是 M ， BE 的中点是 N ，连结 MN 、 MC 、 NC ，求证： CMN 是等边三角形BNDMACE【例 2】如图，两个正方形 ABCD 和 AKLM 有一个公共点 A 求证：这两个正方形的中心以及线段 BM ， DK 的中点是某正方形的顶点DQCKPRLABM【例 3】已知：如图，、 EHK 都在等边三角形，且 A 、D 、K 共线，AD DK ABCCDE求证： HBD 也是等边三角形ECBADKH【例 4】ABC 是等边
2、三角形， P 是 AB 边的中点， Q 是 AC 边的中点， R 为 BC 边的中点， M为 RC 上任意一点，且 PMS 是等边三角形， S 与 Q 在 PM 的同侧，求证： RMQS ASPQBRMC【例 5】ABCD 是正方形， P 是 ABCD 内一点， PA1 ， PB3 ， PD7 ，求正方形 ABCD 的面积ADPBC【例 6】P 是等边三角形 ABC 内的一点， PA6 ， PB8 ， PC10求 ABC 的边长APBC【例 7】 设 O 是等边 ABC 内一点，已知 AOB115 ， BOC125 ，求以线段 OA 、OB 、OC为边所构成的三角形的各内角大小【例 8】如图，
3、在 ABC 中， ACB90 ，ACBC ，P 是 ABC 内一点，PA3 ，PB1，PC2 ，求 BPCCPAB【例 9】如图，已知 ABC 中， A90 ，ABAC ，D 为 BC 上一点，求证： BD2DC22AD2 ABDC【例 10】 如图，在等腰直角 ABC 中，ACB 90 ， CACB， P、Q在斜边 AB上，且PCQ 45 ，求证： PQ2AP2BQ2APQCB【例 11】 在正方形 ABCD 中，已知 E 、 F 分别是边 BC 、CD 上的点，满足 EFBEDF ， AE 、AF 分别与对角线 BD 交于 M 、 N 求证：（ 1） EAF 45 ；（2） MN 2BM
4、2DN2ADNFMBEC【例 12】 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， ADCD，BC CD2AD ，E 是 CD 上一点，且ABE 45 ， AD求 CE 的长ADEBC【例 13】 已知： ABC 中， A 120 ，P 是不与 A 重合的定点，求证：PAPBPC ABAC ABCP【例 14】 已知：如图， ABD 是等边三角形， ABC 中， BCa ， CAb 问：当ACB 为何值时， C 、 D 两点的距离最大？最大值是多少？CABD【例 15】 已知 ABC ，以其各边为底边，向 ABC 的外部作等腰三角形 ABD 、 BCE 、 CAF ，使顶角都等于 120 ，求
5、证： DEF 是正三角形CFEABD【例 16】 已知： ABC是锐角三角形，三边长分别是a 、 b 、 c， O 是 ABC 内的一点，AOBBOCCOA120 ， OAu ，OBv ，OCw，DEF是等边三角形，P 是DEF求证：内一点， PDa ， PEDEF 的边长等于 ub ， PF v w c 【例 17】 已知：三条平行直线l 、 m 、 n ，求证：存在一个等边三角形ABC ，使顶点 A 、 B 、C 分别在 l 、 m 、 n 上作业1. 已知：ABCD 是正方形， O 是其中心， OEFG 也是正方形，两个正方形的边长都是 a ，OG 、OE 分别交 CD 、 BC 于 H
6、 、 K 求证： SOKCH1 a2 4ADGOHBKCFE2.已知：如图， ABCD 是正方形，12 求证： BEDFAE AD12FBEC3.ABC 是等边三角形， P 是其内的一点，PA3 ， PB4 ， PC5 ，求 ABC 的面积4. P 是等边 ABC 内部一点， APB 、 BPC 、 CPA 的大小之比是 5:6:7 ，求以 PA 、 PB 、 PC 为边的三角形的三个角的大小之比5.等边 ABC 的边长 a25123 ，点 P 是 ABC 内一点，且 PA2PB2PC 2 ，若 PC5 ，求 PA、 PB的长6.在梯形 ABCD 中，AD BC（ BC AD ）， D90 ，BCCD12，E 在 CD 上， ABE45 ，若 AE10，求 CE 的长ADEBC7.如图，P 、Q 是边长为1的正方形 ABCD内两点，使得PAQPCQ45求S PABS PCQS QAD 的值ADQPBC