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1、.学生实验报告一、实验目的学习 DFT 的基本性质及对时域离散信号进行频谱分析的方法，进一步加深对频域概念和数字频开课学院及实验室：电子楼 3172013年 4 月 29 日率的理解，掌握MATLAB函数中 FFT 函数的应用。机械与电气工年级、 专学院姓名学号程学院业、班实验课程名称数字信号处理实验成绩指导实验项目名称实验五用 DFT （ FFT）对信号进行频谱分析老师二、实验原理离散傅里叶变换（DFT ）对有限长时域离散信号的频谱进行等间隔采样，频域函数被离散化了，便于信号的计算机处理。设 x(n)是一个长度为M 的有限长序列，x(n )的 N 点傅立叶变换：N 12knjX (k )DF
2、T x(n)Nn 0x(n)e N0k N 12j其中WN e N，它的反变换定义为：x(n)1 N 1 X (k )WN nkN k 0N1zWNkX ( z) z WN kx(n)WNnk令，则有：n02可以得到， X ( k)X ( z) z WN k ， zWN k 是 Z 平面单位圆上幅角为N k 的点，就是将单位圆进行 N 等分以后第 K 个点。所以， X(K) 是 Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混叠。DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。如果用 FFT 对模拟信号进行谱
3、分析，首先要把模拟信号转换成数字信号，转换时要求知道模拟信号的最高截至频率，以便选择满足采样定理的采样频率。一般选择采样频率是模拟信号中最高频率的 34倍。另外要选择对模拟信号的观测时间，如果采样频率和观测时间确定，则采样点数也确定了。这里观测时间和对模拟信号进行谱分析的分辨率有关，最小的观测时间和分辨率成倒数关系。最小的采样点数用教材相关公式确定。要求选择的采样点数和观测时间大于它的最小值。如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍。如果不知道.信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少阶段效应的影响。用 FFT 对模拟信号作谱分析是一种近似的谱分析，首先一般
4、模拟信号（除周期信号以外）的频谱是连续谱，而用FFT 作谱分析得到的是数字谱，因此应该取FFT 的点数多一些，用它的包络作为模拟信号的近似谱。另外，如果模拟信号不是严格的带限信号，会因为频谱混叠现象引起谱分析的误差，这种情况下可以预先将模拟信号进行滤波，或者尽量采样频率取高一些。一般频率混叠发生在折叠频率附近，分析时要注意因频率混叠引起的误差。最后要注意一般模拟信号是无限长的，分析时要截断，截断的长度和分辨率有关，但也要尽量取长一些，取得太短会截断引起的误差会很大。举一个极端的例子，一个周期性正弦波，如果所取观察时间太短，例如取小于一个周期，它的波形和正弦波相差太大，肯定误差很大，但如果取得长
5、一些，即使不是周期的倍数，这种截断效应也会小一些。如同理论课教材所讨论的，在运用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差，即：（ 1 ）混叠现象当采样率不满足Nyquist定理，经过采样就会发生频谱混叠。这导致采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。所以，在利用DFT 分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混叠现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这告诉我们， 在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。（ 2 ）泄漏现象实际中的信号序列往往很长，甚
6、至是无限长。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。值得一提的是，泄漏是不能和混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。（ 3 ）栅栏效应.因为 DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应， 从某种角度看，用 DFT 来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏” 挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应
7、的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT 的点数。这种方法的实质是改变了真是频谱采样的点数和位置，相当于搬动了 “栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线所对应的频和原来的已经不相同了。从上面的分析过程可以看出，DFT 可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。DFT 运算量较大，快速离散傅里叶变换算法FFT 是解决方案。 FFT 并不是 DFT 不相同的另一种变换，而是为了减少DFT 运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次的分解，使其成为若干小点数DFT 的组合， 从而减小运
8、算量。常用的 FFT 是以 2 为基数的， 其长度为 N2 M 。它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分的方便。当需要进行变换的序列的长度不是2 的整数次方的时候， 为了使用以2 为基的 FFT，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2 的整数次方。 IFFT一般也可以通过FFT 程序来完成。三、使用仪器、材料1、硬件：计算机2、软件： Matlab四、实验步骤(一 ) 离散信号给定参考实验信号如下：.x3 (n) ：用 x1( n)R4 ( n) 以 8 为周期进行周期性延拓形成的周期序列。(1) 分别以变换区间N 8， 16 ， 32 ，对 x1 (n) R4 ( n) 进行 DFT(FF
9、T) ，画出相应的幅频特性曲线；(2) 分别以变换区间 N 4， 8， 16 ，对 x2(n)分别进行 DFT(FFT) ，画出相应的幅频特性曲线；(3) 对 x3 (n )进行频谱分析，并选择变换区间，画出幅频特性曲线。（二）连续信号1. 实验信号：x1 (t )R (t )选择1.5ms ，式中 R (t ) 的波形以及幅度特性如图7.1 所示。x2 (t )sin(2ft/ 8)式中频率f 自己选择。x3 (t )cos8tcos16 tcos20 t2. 分别对三种模拟信号选择采样频率和采样点数。对 x1(t)R (t) ，选择采样频率f s4kHz ， 8 kHz ， 16 kHz
10、，采样点数用. f s 计算。对 x2 (t)sin(2ft/ 8) ，周期 T1/ f ，频率f 自己选择，采样频率fs4 f ，观测时间Tp0.5T ， T ， 2T ，采样点数用Tp f s 计算。图 5.1R(t) 的波形及其幅度特性.对x3 (t ) cos8 tcos16 t cos20t ，选择采用频率 fs 64 Hz ，采样点数为16 ， 32 ， 64 。3.分别对它们转换成序列，按顺序用x1 (n), x2 (n), x3 (n) 表示。4.分别对它们进行FFT。如果采样点数不满足2 的整数幂，可以通过序列尾部加0 满足。5. 计算幅度特性并进行打印。五、实验过程原始记录
11、（数据、图表、计算等）( 一) 离散信号% x1 (n)R4 (n )n=0:1:10;xn=ones(1,4),zeros(1,7);% 输入时域序列向量xn=R4(n)Xk8=fft(xn,8);% 计算 xn 的 8 点 DFTXk16=fft(xn,16);% 计算 xn 的 16 点 DFTXk32=fft(xn,32);% 计算 xn 的 32 点 DFTk=0:7;wk=2*k/8;% 产生 8 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(2,2,1);stem(n,xn,.);title(a)x_1 (n);xlabel(n);ylabel(x_1 (n);s
12、ubplot(2,2,2);stem(wk,abs(Xk8),.);% 绘制 8 点 DFT 的幅频特性图title(b)8 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel(幅度 );k=0:15;wk=2*k/16;% 产生 16点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(2,2,3);stem(wk,abs(Xk16),.);% 绘制 16 点 DFT的幅频特性图title(c)16 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel(幅度 );k=0:31;wk=2*k/32;% 产生 32点 DFT 对应的采样点
13、频率(关于归一化值 )subplot(2,2,4);stem(wk,abs(Xk32),.);% 绘制 32 点 DFT 的幅频特性图title(d)32 点 DFT 的幅频特性图 );.xlabel(omega/pi);xlabel(n);ylabel(幅度 );ylabel(x_2 (n);运行结果：subplot(2,2,2);stem(wk,abs(Xk4),.);% 绘制 4 点 DFT 的幅频特性图title(b)4 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel(幅度 );axis(0,2,0,2)k=0:7;wk=2*k/8;% 产生 8 点 DF
14、T 对应的采样点频率( 关于归一化值 )subplot(2,2,3);stem(wk,abs(Xk8),.);% 绘制 8 点 DFT 的幅频特性图title(c)8 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel(幅度 );k=0:15;wk=2*k/16;% 产生 32点 DFT 对应的采样点频率 (关于归一化值 )subplot(2,2,4);stem(wk,abs(Xk16),.);% 绘制 16 点 DFT 的幅频特性图title(d)16 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel(幅度 );%x2(n)运行结果：n=
15、0:50;xn=cos(pi/4*n);% 输入时域序列向量 cos(pi/4*n)Xk4=fft(xn,4);% 计算 xn 的 4 点 DFTXk8=fft(xn,8);% 计算 xn 的 8 点 DFTXk16=fft(xn,16);% 计算 xn 的 16 点 DFTk=0:3;wk=2*k/4;% 产生 4点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(2,2,1);stem(n,xn,.);% 绘制 4 点 DFT 的幅频特性图title(a)x_2 (n);.k=0:15;wk=2*k/16;% 产生 16 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplo
16、t(3,1,2);stem(wk,abs(Xk16),.);% 绘制 16 点 DFT 的幅频特性图title(c)16 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel( 幅度 );k=0:31;wk=2*k/32;% 产生 32 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(3,1,3);stem(wk,abs(Xk32),.);% 绘制 32 点 DFT 的幅频特性图title(e)32 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);ylabel( 幅度 );运行结果：%x3(n)n=0:3;x=ones(1,4),zeros
17、(1,4);xn=x(mod(n,8)+1);% 输入 xn=R4(n)以 8 为周期进行周期性延拓形成的周期序列Xk8=fft(xn,8);% 计算 xn 的 8 点 DFTXk16=fft(xn,16);% 计算 xn 的 16 点 DFTXk32=fft(xn,32);% 计算 xn 的 32 点 DFTk=0:7;wk=2*k/8;% 产生 8 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(3,1,1);stem(wk,abs(Xk8),.);% 绘制 8 点 DFT 的幅频特性图title(a)8 点 DFT 的幅频特性图 );xlabel(omega/pi);yla
18、bel( 幅度 );（二）连续信号.%x1(n)title(X_1 (n) 8点傅立叶变换 (f_s =4kHz);Fs1=4000;% 采样频率subplot(3,1,2);Fs2=8000;stem(wk2,abs(Xk2),.);Fs3=16000;xlabel(omega/pi);Tp=0.002;ylabel( 幅度 );N1=Fs1*Tp;% 计算采样点数title(X_2 (n) 16点傅立叶变换 (f_s =8kHz);N2=Fs2*Tp;subplot(3,1,3);N3=Fs3*Tp;stem(wk3,abs(Xk3),.);n1=0:N1-1;xlabel(omega/p
19、i);n2=0:N2-1;ylabel( 幅度 );n3=0:N3-1;title(X_1 (n) 32点傅立叶变换 (f_s =16kHz);n=-0.0005:0.0001:0.002;运行结果：xn=(n=0);%x1(n)Xk1=fft(xn,8);% 计算 xn 的 8 点 DFTk1=0:length(abs(Xk1)-1;wk1=2*k1/8;% 产生 8 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )Xk2=fft(xn,16);%计算 xn 的 16点 DFTk2=0:length(abs(Xk2)-1;wk2=2*k2/16;% 产生 16 点 DFT 对应的采样点频率(关
20、于归一化值 )Xk3=fft(xn,32);%计算 xn 的 32点 DFTk3=0:length(abs(Xk3)-1;wk3=2*k3/32;% 产生 32 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(3,1,1);stem(wk1,abs(Xk1),.);xlabel(omega/pi);ylabel( 幅度 );.%x2(n), 取 f=2kHzstem(wk1,abs(Xk1),.);f=2000;Fs=4*f;% 采样频率xlabel(omega/pi);T=1/f;ylabel( 幅度 );Tp1=0.5*T;title(X_2 (n) 2点傅立叶变换 (T_p
21、 =0.5T);Tp2=T;subplot(3,1,2);Tp3=2*T;stem(wk2,abs(Xk2),.);Ts=1/Fs;xlabel(omega/pi);N1=Fs*Tp1;% 计算采样点数ylabel( 幅度 );N2=Fs*Tp2;title(X_2 (n) 4点傅立叶变换 (T_p =T);N3=Fs*Tp3;subplot(3,1,3);n1=0:N1-1;stem(wk3,abs(Xk3),.);n2=0:N2-1;xlabel(omega/pi);n3=0:N3-1;ylabel( 幅度 );xn1=sin(2*pi*f*n1*Ts+pi/8);title(X_2 (n
22、) 8点傅立叶变换 (T_p =2T);xn2=sin(2*pi*f*n2*Ts+pi/8);运行结果：xn3=sin(2*pi*f*n3*Ts+pi/8);Xk1=fft(xn1,2);k1=0:length(abs(Xk1)-1;wk1=2*k1/2;% 产生 2点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )Xk2=fft(xn2,4);k2=0:length(abs(Xk2)-1;wk2=2*k2/4;% 产生 4点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )Xk3=fft(xn3,8);k3=0:length(abs(Xk3)-1;wk3=2*k3/8;% 产生 8点 DFT 对应的采
23、样点频率(关于归一化值 )subplot(3,1,1);.stem(k1,abs(Xk16),.);xlabel(omega/pi);ylabel( 幅度 );title(X_3 (n) 16点傅立叶变换);subplot(3,1,2);stem(k2,abs(Xk32),.);xlabel(omega/pi);ylabel( 幅度 );title(X_3 (n) 32点傅立叶变换);subplot(3,1,3);stem(k3,abs(Xk64),.);%x3(n)xlabel(omega/pi);Fs=64;ylabel( 幅度 );T=1/Fs;title(X_3 (n) 64点傅立叶变
24、换);N=64;n=0:N-1;运行结果：x3n=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);Xk16=fft(x3n,16);k1=0:length(abs(Xk16)-1;wk3=2*k1/8;% 产生 8 点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )Xk32=fft(x3n,32);k2=0:length(abs(Xk32)-1;wk2=2*k2/16;% 产生 16点 DFT 对应的采样点频率(关于归一化值 )Xk64=fft(x3n,64);k3=0:length(abs(Xk64)-1;wk3=2*k3/64;% 产生 64点 DFT
25、对应的采样点频率(关于归一化值 )subplot(3,1,1);.关，因为 FFT 能够实现的频率分辨率是2 /N 因此有最小的N2 /F ，根据此式可以选择FFT的变换区间；对于周期信号，周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。2） 周期信号的周期预先不知道时,可先截取M 点进行 DFT ，再将截取长度扩大1 倍截取，比较结果，如果二者的差别满足分析误差要求，则可以近似表示该信号的频谱，如果不满足误差要求就继续将截取长度加倍，重复比较，直到结果满足要求。六、实验结果及分析1.分析 DFT 的变换区间对频域分析的作用，并说明DFT 的物理意义
26、。答 :以 (一 )离散信号中的x1 (n) R4 ( n) 为例。变换区间对频域分析的作用:随着变换区间的增大,36 变换区间的频域明显比8 区间变换的频域容易识别一个周期内部的情况。即变换区间越长，信号的基频越小。物理意义 :假设 x(n) 是 N 点 DFT 是 x(n) 的 z 变换在单位圆上的N 点等间隔采样，则x(k) 为 x(n) 的傅里叶变换x(e(jw) 在区间 0,2 上的 N 点等间隔采样。2.对周期信号的变换区间应该如何选取。如果周期信号的周期预先不知道，如何用DFT 分析它的频谱。答：1） 变换区间的选择：对于非周期信号，假设频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT 的变换区间有.