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1、1. 等差数列的定义与性质定义： an 1 and （ d 为常数）， ana1n 1 d等差中项： x， A， y 成等差数列2Axya1an nn n 1d前 n 项和 Snna122性质：an 是等差数列（1 ）若 mnpq ，则 amanapaq；（2 ）数列a2n 1, a2n, a2n 1仍为等差数列，Sn， S2 nSn， S3nS2n 仍为等差数列， 公差为 n2 d ；（3 ）若三个成等差数列，可设为ad，a， ad（4 ）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn ，则 amS2m 1bmT2m 1（5 ） an 为等差数列Snan2bn （ a， b
2、 为常数，是关于n 的常数项为 0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 San2bn 的最值；或者求出a 中的正、负分界项，nn即：当 a10， d0 ，解不等式组an0an 1可得 Sn 达到最大值时的 n 值 .0当 a1 0， dan0可得 Sn 达到最小值时的 n 值 .0，由0an 1(6) 项数为偶数 2n 的等差数列 an ， 有S2 nn(a1a2n )n(a2a2 n 1 )n(anan 1 )(an , an 1为中间两项 )S偶S奇an .S奇 nd ，S偶an1（7）项数为奇数 2n1 的等差数列 an，有S2 n1( 2n1)an ( an为中间项 ) ，S奇S偶a
3、n ，S奇n .S偶n 12. 等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q0 ）， aa qn 1.ann1等比中项： x、 G、 y 成等比数列G 2xy ，或 Gxy .na1 (q1)前 n 项和： Sna1 1qn（要注意！）1(q 1)q性质：an 是等比数列（1 ）若 m np q ，则 am an ap aq（2 ） Sn， S2 nSn， S3n S2n 仍为等比数列 ,公比为 q n .注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？n1 时， a1S1 ；n2 时， anSn Sn 1 .3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 a， 1 a1 a1a
4、 2n 5 ，求 ann2 12222nn（2 ）叠乘法如：数列 an 中， a1an 1n，求 an3，n 1an（3 ）等差型递推公式由 anan 1f (n)， a1a0 ，求 an ，用迭加法an 中， a11，an3n 1an 1 n 2 ，求 an （ an13n1练习数列2）（4 ）等比型递推公式an can 1d （ c、d 为常数， c0， c1， d0 ）可转化为等比数列，设 an xc an 1 xancan 1c 1 x令 ( c 1)xd ，xd， and是首项为 a1d， c 为公比的等比数列c1c 1c 1dd n 1，dn 1dana1ca1cc1c1ancc1
5、1（5 ）倒数法如： a1，an12an，求 an1an2附：公式 法、 利用 anS1(n 1 )Sn Sn 1 ( n 2 ) 、 累 加 法 、累 乘法 . 构 造 等差 或等 比an 1 pan q 或an 1panf ( n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如： an是公差为 d 的等差数列，求n1k 1 ak ak1（2 ）错位相减法若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列anbn （差比数列）前 n 项和，可由 SqS ，求Sn，nn其中 q
6、为 bn的公比 .如： Sn1 2x 3x24x3 nxn 1x Sn x 2x23x34x4 n 1 xn 1nxn 1x Sn1xx2 xn 1 nxn1xnnn n1x 1 时， Snnx ， x 1 时， Sn1x21 2 3 n1x2（3 ）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2 an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1 a1 an Snanan 1 a2a1练习已知 f (x)x2，则x21f (1)f (2)f1f11f (3)f (4)f234(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列 an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和
7、，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。d.用错位相减
8、法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法， 应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列 anbn 中， an 成等差数列， bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列 an满足 an+1=an+f(n) ，其中 f(n) 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-a n=f(n) ，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。