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1、让更多的孩子得到更好的教育一元二次方程的应用-知识讲解要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1 .利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系2 .解决应用题的一般步骤：审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 ）；设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；歹U （根据题目中的等量关系，列出方程 ）；解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答（写出答案，切忌答非所问）.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1 .数字问题（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位，它们数位上的单位从右至左依次
2、分别为：1、10、100、1000、，数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为：100c+10b+a.（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为X,则另两个数分别为 x-1 , x+1.几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x,则另两个数分别为 x-2, x+2.2 .平均变化率问题列
3、一元二次方程解决增长 （降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.（1）增长率问题：平均增长率公式为 a（1+x）n =b （a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）（2）降低率问题：平均降低率公式为 a（1-x）n=b （a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）3 .利息问题（1）概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金 .利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数 .利率：每个期数内的利息与本金的
4、比叫利率（2）公式：利息=本金x利率x期数利息税=利息700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染白电脑会超过700台.举一反三：1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是()A . 1331 B . 1210 C . 1100 D , 1000【答案】设每人每轮传染 x人，则(1+x) 2=121, x1= 10, x2=-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1 + 10) =1331人.2、某产品原来每件是 600元，由于连续两次降价，现价为 384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答
5、案】设平均每次降价率为x ,则第一次降价为600x ,降价后价格为：600 600x = 600(1 x),第二次降价为：600(1 - x) x ,降价后价格为:600(1 - x) - 600(1 -x) x = 600(1 - x)2.根据题意列方程，得： 600(1 - x)2 =384(1 -x)21625459一人，、一,一一一、，人x2 =不合题意，舍去(注意根的实际意义的检验)51 nx1 = 5 = 20 00答：平均每次下降率为 20%.类型三、利润(销售)问题 3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为 a元，则可卖出(350-1
6、0a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？【答案】设每件商品的售价为 a元.根据题意，得(a-21)(350-10a)=400.a 2-56a+775 = 0,(a-25)(a-31)=0,，a-25 =0或 a-31=0,a i = 25, a2= 31.当a=31时，加价31-21 =10,不合题意，舍去.350-10a =350-10 X 25=100.答：每件商品售价为 25元，需要卖出100件商品.举一反三：【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决
7、定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫降价 1元，商场平均每天可 多售出2件.(1) 若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？(2) 每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多【答案】(1)设每件衬衫应降价 x元.根据题意，得(40-x)(20+2x) = 1200,整理得：x2-30x+200 = 0.解得xi=20, x2=10,因为要尽快减少库存，所以 x应取20.答：每件衬衫应降价 20元.(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x) =-2(x-15) 2+1250,当 x= 15 时，代数式-2(x-15) 2的值最大，即-2(x-15) 2
8、+1250 有最大值为 1250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元.类型四、形积问题命“ 4 .如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.【答案】设草坪ABCD勺BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240 = 0,(x-12)(x-20)=0.解得：x1=12, x2= 20又由题意知：BCX 16. x =20(不合题意，舍去).该矩形草坪BC边的长为12米.类型五、行程问题 5. 一辆汽车以20ms的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25
9、m后停车.(1)从刹车到停车用了多少时间？(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s) ?【答案】(1)已知刹车后滑行路程为 25nl如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间.为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的.这20 0段时间内的平均车速等于取大速度与取小速度的平均值，即= 10(m/s),于是刹车到停车2的时间为“行驶路程 +平均车速”，即25+10 = 2.5(s).(2)从刹车到停车平均每秒车速减少值为(初速度-末速度)4车速变化时间”20 -02即一0-0 = 8(
10、m/s2).2.5(3)设刹车后汽车行驶到 15m用了 X s,由(2)可知，这时车速为(20-8x)m/s.这段路程内的20 (20 -8x)平均车速为 (m/s),即(204x)m/s2由速度x时间=路程，得(204x)x = 15.解方程，得x =510 .2根据问题可知，20-4X 0 ,即xv 5,又xv 2.5；所以x = 5-标片0.92刹车后汽车行驶到 15m时约用了 0.9 s .【巩固练习一】一、选择题1 .在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果 要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么x满
11、足的方程是().A . x2+130x-1400 = 0 B . x2-65x-350 =0 C . x2-130x-1400 =0 D , x2+65x-350 = 02 .为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m2,若每年的年增长率相同，则年增长率为()A . 9% B . 10% C . 11% D . 12%3 .某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是().A . 50(1+x) 2=182 B . 50+50(1+x)+50(1+x)
12、2=182C . 50(1+2x) = 182 D . 50+50(1+x)+50(1+2x) = 1824 . 一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm,它就变成正方形.则矩形面积是().422-272r2A . cm B . 9cm C . cmD . 27cm345 .为执行“两免一补”政策，某地区 2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则下列方程正确的是()A . 2500(1+x) 2=3600 B . 2500x2= 3600C . 2500(1+x%) =3600 D . 2500(1+x)+2500(1+x)
13、2=36006 . 一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起 0.5米，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面 3.5米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒,该运动员在空中至多做翻滚动作().A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个二、填空题7 .某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是 .8 .若两数的和是2,两数的平方和是 74,则这两数为 .9 .大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10ml设长方形绿地白勺宽为xml,则可列方程为 .10 .
14、菱形ABCM一条对角线长 6, AB的长是方程x2-7x+12 =0的一个根，则菱形ABCD勺周长为 .11 .有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人？12 .小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是三、解答题13 .用长12m的一根铁丝围成长方形.(1) 如果长方形的面积为 5m,那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m呢？(2) 能否围成面积是10宿的长方形？为什么？(3) 能围成的长方形的最大面积
15、是多少？14 .从一块长80cm,宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并 且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.15 .常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内白工业企业 2008年完成工业总产值 440亿元，如果要在 2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总 产值年平均增长率是多少 ？常德工业走廊建设发展规划纲要(草案)确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？【答案与解析】一、选择题1 .【答案】D;【解析】可列方程(80+2x)(5
16、0+2x) =5400,化简即可.2 .【答案】B;【解析】10(1+x) 2=12.1 ,解得 x = 0.1 .3 .【答案】B;【解析】四、五、六月份产量之和为 182.4 .【答案】C;【解析】设矩形的宽为xcm,则矩形的长为3xcm,依题意得x+3=3x.5 .【答案】A;【解析】由平均增长率公式为a(1 +x)2 = b (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程.6 .【答案】D;【解析】从10.5米高处到入水过程的平均速度为7米/秒，所用时间为10.5 +7=1.5秒，0 14 速度每秒变化 =7米/秒.设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x秒，2那
17、么这段距离的平均速度为x2=1.5, x=1.2, 1.2 +0.2 =6,最多做6个翻滚动作.二、填空题7 .【答案】25%【解析】设商场这两个月销售额的平均增长率是x,则 16(1+x) 2=25 解得 x1 = 0.25 =25% x2= -2.25(不合题意，舍去).8 .【答案】-5和7;【解析】设两数中一个数为x,则另一个数为2-x .根据题意得 x2+(2-x) 2=74,解得 x1=-5, x2= 7.当x=-5时，另一个数为7;当x=7时，另一个数为-5,所以这两个数为-5和7.9 .【答案】x(x+10) =300;【解析】因为宽为 x项 则长为(x+10)m ,可列方程x
18、(x+10) =300.10 .【答案】16;【解析】x2-7x+12 = 0的两根为x1 = 3, x2=4, AB不可能等于3,因为有一条又角线长为 6,所以AB= 4,菱形周长为16.11 .【答案】10;【解析】设每轮传染中平均一个人传染了X个人.列方程，得 1 + x + x(1 + x) = 121 .解方程，得 x1 =10, x2=-12经检验，x2不合题意，舍去.所以平均一个人传染了10个人12 .【答案】20% ;【解析】设降低的百分率为x,则3125(1-x) 2=2000, x1 = 9 (舍去)，x2 =1=20% .55三、解答题13 .【答案与解析】(1)设长方形
19、的宽为x m,则长为12 2x =(6 一x)m ,2根据题意，得 x(6-x) =5,即 x?-6x+5 =0, xi = 1, X2=5(舍去).当长方形的宽为1m，长为6m-1m= 5m时，面积为5n2.同样，当面积为 8m2时，有 x(6-x) =8,即 x2-6x+8=0, x1 = 2, x2=4(舍去).2当长方形的宽为 2m,长为6-2 = 4m时，面积为8m.(2)当面积为 10m2时,x(6-x) =10,即 x2-6x+10 =0,此时 b2-4ac = 36-40 = -4 0,即 k0,亦即 x1200 亿元.答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%
20、若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标.【巩固练习二】一、选择题1 .元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有（） A . 11 人 B . 12 人 C . 13 人 D . 14 人2 .上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价 a惭售彳介为128元，下列所列方程中正确的是（）A . 168（1+a%）2=128 B . 168（1-a%） 2= 128 C . 168（1-2a%） 2= 128 D . 168（1-a 2%）= 1283 .从一块长30cm,宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方
21、形，余下部分的面积为296cm2,则截去小正方形的边长为（）A . 1 cm B . 2 cm C . 3 cm D . 4 cm4 .甲、乙两人分别骑车从 A、B两地相向而行，甲先行 1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了 20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了 40分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4千米，则甲、 乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.A. 2,6 B . 12,16 C . 16,20 D , 20,245 .某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50% （即
22、每100千克花生可加工成花生油50千克）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的-.则新品种花生亩产量的增长率为（）2A. 20%B. 30%C. 50% D . 120%6 .从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里 剩下纯酒精5升.则每次倒出溶液的升数为（）A . 5 B . 6 C . 8 D . 10二、填空题7 .某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到 242万元，若每年比上一年盈利 额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为 万元.8
23、 .有一间长20 m,宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周 未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为 .9 . 一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠.如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2,那么水渠应挖的宽度是 米.10 .有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8,如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855,则原来的两位数是 .211 .某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km,为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面
24、积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2,则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是.12 .如图所示，已知 A B C、D为矩形的四个顶点， AB= 16cm, AD= 6cm,动点P、Q分别从点 A C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点 B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.问：(1)P、Q两点从出发开始到秒时，四边形PBCQ勺面积是33cm2;(2)P、Q两点从出发开始到 秒时，点P与点。间的距离是10cm.三、解答题13 .如图所示，有长为 40m的篱笆，一面利用墙(墙长15m),围成长方形花圃.
25、设花圃的长BC为xm,花圃的面积能围成 182后吗？此时BC多长？A D14 .学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米,图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的 边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖.(1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？B爬行，同。点组15 .如图所示，AO=
26、OB= 50cm, OC是一条射线，OCL AB, 一只蚂蚁由 A点以2cm/s的速度向 时另一只蚂蚁由 。点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与 成的三角形的面积为 450cm?【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B；【解析】设这个小组共 x人，则x(x-1) =132, X1= -11舍去，X2= 12.2 .【答案】B;【解析】168元降价a淅的价格为168(1-a%)元，再降价a淅为168(1-a%)(1-a%)元.根据题意可列方程 168(1-a%) 2=128.3 .【答案】D;【解析】设截去小正方形的边长为x,则30X 12-4x2= 296,
27、x 2= 16, Xi= -4(舍去)，x2=4.4 .【答案】C;【解析】设甲的速度为 x千米/时，则乙的速度为(x+4)千米/时.5x 4a+ 4) 20 + 40根据题意，得.一,解之，得 xi=16, x2=2.经检验：Xi=16, x2= 2都是原方程的根，但 x2=2不合题意，舍去.当 x=16 时，x+4=20.5 .【答案】A;【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x.200(l + x) 50%(l+lx) = 132I2 I25d+75x-16。 =-16(舍去),x2=0.2=20 % .56 .【答案】D;【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了.若设每
28、次倒出x升，则第一次倒出纯酒精 x升，第二次倒出纯酒精(20 x x)升.20根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数.20-x-20 -x20、填空题7.【答案】220.【解析】方法一，设增长的百分率为x,则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为 200(1+x) 2万元，依题意得 200(1+x) 2=242.解得 x= 10% x2=-2.1(舍去)，200(1+x) = 200(1 + 10%)= 220 .8.方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为200242 xx-2002011年增长的百分率为 父100%
29、 ,由增长率相同可列方程 x解得 x1=220, x2= -220（舍去） 【答案】2.5m.x-200黑100% ,242-x2005x2 =一29.【答案】1m.1【解析】设留空的宽度为 x m,则(152x)(20 -2x)=父20父15 ,解得x15(舍去) 2【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm,即可耕土地的长为(120-4x)m ,宽为(78-3x)m .(120-4x)(78-3x)=8700,即 x2-56x+55 = 0,解得 x1=1, x2= 55.当x=55时，3X 55= 165 78,(不合题意，舍去).x = 1.答：水渠应挖1m宽.10 .【答案】35或53.【
30、解析】设原两位数的十位数字为x,则个位数字是(8-x),由题意得10x+(8-x) 10(8-x)+x= 1855.化简得 x2-8x+15 =0,解之得：x1= 3, x2= 5.经检验，x1=3, x2=5都符合题意.答：原两位数是 35或53.11 .【答案】10%【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x,依题意得：400+400(1+x)+400(1+x) 2 = 1324.即 100x2+300x-31 = 0.解得x1=0.1 =10% x2=-3.1(不合题意，舍去).答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%12 .【答案】(1) 5秒；(2
31、) 8秒或24秒.55【解析】(1)设P、Q两点从出发开始到 x秒时，四边形 PBCQ勺面积是33cm2,1则A已3x, PB= 16-3x, CQ= 2x,由梯形的面积公式得2 x + (16 3x)父6 = 33,2解得x=5.答：P、Q两点从出发开始到 5秒时，四边形 PBCM面积为33cm2.(2) 设P、Q两点从出发开始到 y秒时，点P、点Q间的距离为10cm.过点 Q 作 QHL AB,交 AB 于 H,如答图 3 所示，则 AP= 3y, CQ= 2y, PHk 16-3y-2y , 根据勾股定理.得(16-3y-2y) 2= 102-6 2,化简方程得(16-5y) 2=64,
32、解得 y1 = 8 , y2 = 24 .55答：P、Q两点从出发开始到 8秒或 空秒时，点P、点Q间的距离是10cm.55三、解答题13 .【答案与解析】2设BC长为xm(0 v xw 15)时，化圃的面积为 182m,40 -x则 182=x|_.2即 x2-40x+364 =0, b2-4ac = 1600-4 X 364= 1440.能围成面积为182吊的花圃.解得Xi = 14, x2=26(不合题意，舍去).答：花圃的面积能围成182品，此时BC长14m.14 .【答案与解析】(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2+(100-2x)(80-2x)=5200,
33、整理，得：x2-45x+350 =0,解得：xi=35, X2=10,经检验，xi=35, X2=10 均适合题意.所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米.(2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，贝U y = 30 X 4x 2+(100-2x)(80-2x)+20X 2x(100-2x)+2x(80-2x)即 y = 80x2-3600x+240000 = 80(x 2-45x+22.5 2-22.5 2)+240000 = 80(x-22.5) 2+199500.由 80(x-225) 20,当x = 22
34、.5时y的值最小，最小值为 199500.所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元.15 .【答案与解析】(1)当蚂蚁在AO段时，设离开 A点t s后两只蚂蚁与 O点组成的三角形的面积是450cm2.根据题意，得(50-2t) 3t =4502整理得：t2 -25t +150 =0 ,解得 11 = 10, 12= 15.50(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了 一 =25s后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的2三角形的面积是450 cm2,根据题意，得：2XL3(X + 25) =450,2整理得 x2+25x-150 = 0,解得 xi = 5, X2=-30(舍去).当x=5时，x+25 = 30.这时蚂蚁已由 A点爬了 30s.答：分别在10s, 15s, 30s时，两只蚂蚁与 。点组成的三角形的面积是450cm2.