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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)圆锥曲线两垂直半径的性质圆锥曲线上两点P、Q满足OPOQ的母题 椭圆C:=1(ab0)上两点A、B满足OAOB,则直线AB恒过定点M(,0),由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向.母题结构:直线l与椭圆C:=1(ab0)相交于A、B两点,OH直线l于点H,则OAOB等价于:原点O到直线AB的距离d=;直线l与圆x2+y2=相切于点H;=.母题解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:xcos+ysin=r,代入=1得:(a2cos2+b2sin2)x2-2a2rxcos+a2r2-a2b2sin2=0x1
2、+x2=,x1x2=y1y2sin2=(r-x1cos)(r-x2cos)=r2-r(x1+x2)cos+x1x2cos2=;由OAOB=0x1x2+y1y2=0(a2r2sin2-a2b2sin4)+(b2r2sin2-a2b2sin2cos2)=0r=原点O到直线PQ的距离d=;直线l与圆x2+y2=相切于点H;=OAOB. 1.线段的度量关系 子题类型:(1991年全国高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OPOQ,|PQ|=,求椭圆的方程.分析:设椭圆方程的标准形式,然后与直线方程联立消去y,得到两根之和、两根之积的关系式,再由巳知
3、条件得关于a,b的方程组,求a,b的值.解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),椭圆C:=1(ab),把y=x+1代入=1得:(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0x1+x2=-,x1x2=y1y2=(x1+1)(x2+1)=,|PQ|=;由OPOQ=0x1x2+y1y2=0+=0a2+b2=2a2b2;又由|PQ|=a2+b2-1=a2b2a2=2,b2=;或a2=,b2=2椭圆的方程为x2+3y2=2,或3x2+y2=2.点评:设P为椭圆C:=1(ab0)长轴上的一个动点,过P点斜率为k的直线交椭圆于A、B两点,若OAOB,则|AB|=的值仅依赖于k而与P无关. 2.直线与圆
4、相切 子题类型:(2009年山东高考理科试题)设椭圆E:=1(a,b0)过M(2,)、N(,1)两点,O为坐标原点.()求椭圆E的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且？若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,请说明理由.分析:第()问是常规问题,第()问与圆的切线有关,是母题的直接子题,求|AB|的取值范围,可用上题点评中给出的弦长公式.解析:()将两点M(2,)、N(,1)的坐标代入椭圆E:=1得:椭圆E:=1;()设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:xcos+ysin=r,代入=1得:(2cos2+sin2)x
5、2-4rxcos+2r2-8sin2=0x1+x2=,x1x2=y1y2sin2=(r-x1cos)(r-x2cos)=;由OAOB=0x1x2+y1y2=0|r|=原点O到直线PQ的距离d=存在圆x2+y2=满足题目条件;设A(rcos,rsin),B(Rcos(900+),Rsin(900+)=B(-Rsin,Rcos),则(rcos)2+2(rsin)2=8,(-Rsin)2+2(Rcos)2=8r2=,R2=|AB|2=r2+R2=+=,12|AB|,2.点评:通过“椭圆C:=1(ab0)上两点A、B满足OAOB的充要条件是直线AB与圆O:x2+y2=相切”,可以构造:已知椭圆C及OA
6、OB,求圆O;已知OAOB及圆O,求椭圆C. 3.构造特殊问题 子题类型:(2008年课标高考试题)在直角坐标系xOy中,椭圆C1:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=. ()求C1的方程;()平面上的点N满足=+,直线lMN,且与C1交于A、B两点,若=0,求直线l的方程.分析:第()问是常规问题,第()问是母题的逆向问解析:()由抛物线C2:y2=4xF2(1,0)a2=b2+1;设M(x0,y0),由M在C2上|MF2|=x0+1=x0=M(,),代入+=1+=14b2+24a2=9a2b24
7、b2+24(b2+1)=9(b2+1)b2b2=3a2=4C1:+=1;()由=+四边形MF1NF2是平行四边形直线lMNlOMkl=直线l:y=(x-m),代入椭圆方程得:9x2-16mx+8m2-4=0;设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=;由=0x1x2+y1y2=0x1x2+6(x1-m)(x2-m)=0m=直线l:y=(x-),或y=(x+).点评:通过 “椭圆C:=1(ab0)上两点A、B满足OAOB的充要条件是点O到直线AB的距离d=”,可以构造:限定直线AB过定点,求直线AB的斜率;限定直线AB的斜率,求直线AB的方程. 4.子题系列:1.(2014
8、年全国高中数学联赛天津预赛试题)设A,B是椭圆+y2=1上的两动点,O为坐标原点,且OAOB,又设点P在直线上,且OPAB,求|OP|的值.2.(2010年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)设A,B是椭圆x2+5y2=1上的两动点,且OAOB,O为坐标原点,求|AB|的最大值和最小值.3.(2009年全国高中数学联赛试题)椭圆=1(ab0)上任意两点P,Q,若OPOQ,则乘积|OP|OQ|的最小值为 .4.(2012年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设P为椭圆+=1长轴上的一个动点,过P点斜率为k的直线交椭圆于A、B两点.若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与P无关,求k的值.5.(2009年
9、山东高考文科试题)设mR,在平面直角坐标系中,己知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E. ()求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;()己知m=,证明存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OAOB(O为坐标原点),并求该圆的方程;()己知m=,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1Rb0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上的一点,原点O到直线AF1的距离为|OF1|. ()证明:a=b;()(理)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程;
10、 (文)求t(0,b)使得下述命题成立:设圆x2+y2=t2,任意点M(x0,y0)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点,则OQ1OQ2.7.(2010年陕西高考试题)如图,椭圆C:=1的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,=2. ()求椭圆C的方程;()设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,|=1,是否存在上述直线l使=1成立？若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8.(2014年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知焦点在x轴上的椭圆E:+=1內含圆C:x2+y2=,圆C的切线与椭圆E交于点A,B,满足. ()求b2的值; (
11、)求|AB|的取值范围.9.(2004年天津高考试题)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,相应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. ()求椭圆的方程和离心率;()若=0,求直线PQ的方程;()设=(1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明=-.10.(2008年辽宁高考试题)在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点. ()写出C的方程;()若,求k的值;()若点A在第一象限,证明:当k0时,恒有|. 4.子题详解:1.解:
12、|OP|=.2.解:设A(rcos,rsin),B(Rcos(900+),Rsin(900+)=B(-Rsin,Rcos),则(rcos)2+5(rsin)2=1,(-Rsin)2+5(Rcos)2=1r2=,R2=|AB|2=r2+R2=+=,.3.解:设P(rcos,rsin)Q(Rcos(900+),Rsin(900+)=Q(-Rsin,Rcos)r2()=1,R2(+)=11=(Rr)2()()=(Rr)2+(-)2sin22(Rr)2+(-)2=(Rr)2rR.4.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=k(x-t),由(16+25k2)x2-50k2tx+25k2t
13、2-400=0x1+x2=,x1x2=y12+y22=32-(x12+x22)|PA|2+|PB|2=(x1-t)2+y12+(x2-t)2+y22=(x12+x22)-2t(x1+x2)+2t2+32=(k2+1)=-+2t2+32,令-+2=0k=.5.解:()由abab=0mx2+y2=1;当m=0时,方程表示两直线,方程为y=1;当m=1时,方程表示的是圆;当m0且m1时,方程表示的是椭圆;当m0时,方程表示的是双曲线;()当m=时,轨迹E:+y2=1r=存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件;()设直线l:y=kx+t,由直线l与圆C:x2+y2=R2(1R0,x20,x1+x20|.