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1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件p 是 q 的必要不充分条件p 是 q 的充要条件p 是 q 的既不充分也不必要条件p/
2、 q 且 q/ p注意 不能将“若 p，则 q”与“pq”混为一谈，只有“若 p，则 q”为真命题时，才有“pq”，即“pq”“若 p，则 q”为真命题常用知识拓展1充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“pq”“qp”(2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“pq 且 qr”“pr”(“pq 且 qr”“pr”)2一些常见词语及其否定2020 年高考文科数学一轮总复习第 1 页 共 11 页 词语否定是都是都不是等于大于不是不都是至少一个是不等于不大于
3、判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x 2x3b，则 acbc”的否命题是(A若 ab，则 acbc)B若 acbc，则 abC若 acbc，则 abD若 ab，则 acbc解析：选 A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若 ab，则 acbc”，故选 A.(2018高考天津卷)设 xR，则“x 8”是“|x|2”的()3A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.由 x38 可得 x2，由|x|2 可得 x2 或 x8”是“|x|2”的充分而不必要条件故选 A.设 mR，命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根
4、”的逆否命题是_解析：把命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程 x2xm0 没有实根，则 m0”答案：若方程 x2xm0 没有实根，则 m0已知 p：aa，则p 是q 的_条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：p：a0；q：a2a，即 0a1，故p 是q 的必要不充分条件答案：必要不充分2020 年高考文科数学一轮总复习第 2 页 共 11 页 四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(1)(2019长春质量检测(二)命题“若 x 1，则1x1”的逆否命题是()2A若 x 1，则 x1 或 x12B若1x1，
5、则 x 1 或 x12D若 x1 或 x1，则 x 12(2)(2019广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是(A命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题)B命题“若 x1，则 x 1”的否命题2C命题“若 x1，则 x x20”的否命题2D命题“若 x 0，则 x1”的逆否命题2【解析】 (1)命题的形式是“若 p，则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若q，则p”的形式，所以“若 x21，则1xy，则x|y|”的逆命题为“若 x|y|，则 xy”，是真命题，故A 正确；命题“若 x1，则 x21”的否命题为“若 x1，则 x21”，是假命题，故B 错误；命题“若 x1，则 x
6、2x20”的否命题为“若 x1，则 x2x20”，是假命题，故C 错误；命题“若 x20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x20”，是假命题，故 D 错误，选 A.【答案】 (1)D (2)A(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题1命题“若 a b 0，则 a0 且 b0”的逆否命题是()222020 年高考文科数学一轮总复习第 3 页 共 11 页 A若 a b 0，则 a0 且
7、b022B若 a b 0，则 a0 或 b022C若 a0 且 b0，则 a b 022D若 a0 或 b0，则 a b 022解析：选 D.“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是“若 a0 或 b0，则 a2b20”，故选 D.12k22已知集合 P | ， ，Qx|x ，kZ，记原命题：“若 xP，则 xQ”，k Zx x k那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A0C2B1D412解析：选 C.因为 P | ， x x kk Z2k1，kZk2x|x，Q | ， ，x xk Z2所以 P Q，所以原命题“若 xP，则 xQ”为真命题，则原命题的逆否命
8、题为真命题原命题的逆命题“若 xQ，则 xP”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2018高考北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件1 12 2(2)(2018高考天津卷)设 xR，则“x ”是“x 1”的()3A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 (1)因为|a3b|3ab|，所以(a3b)2(3ab)2，所以 a26ab9b29a22020 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共
9、 11 页 6abb2，又因为|a|b|1，所以 ab0，所以 ab；反之也成立故选 C.1 112(2)由x ，得 0x1，所以 0x 1；由 x 1，得 x1，不能推出 0x1.所以“ x332 212 ”是“x 2，q：5x6x ，则 p 是 q 的()2A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.由|x1|2 得 x1，所以 p：x1；由 5x6x2 得 2x3，所以 q：2x3，所以 p 是 q 的必要不充分条件2020 年高考文科数学一轮总复习第 5 页 共 11 页 3已知 p：xy2，q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的(A充分不必要条件)
10、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.因为 p：xy2，q：x1 或 y1，所以p：xy2，q：x1 且 y1，因为qp 但p/ q，所以q 是p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件故选 A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m若“xP”是“xS”的必要条件，求 m 的取值范围【解】 由 x28x200，得2x10，所以 Px|2x10，由“xP”是“xS”的必要条件，知 SP.1m1m，1m2，1m10，所以 m3.0则所以当 0m3 时 ，“xP”是“xS”的必要条件，即所求 m 的取值范围是0，
11、3迁移探究 1 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数 m，使“xP”是“xS”的充要条件解：若“xP”是“xS”的充要条件，则 PS，1m2，1m10，m3，m9，所以所以即不存在实数 m，使“xP”是“xS”的充要条件迁移探究 2 (变结论)本例条件不变，若“xP”是“xS”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解：由例题知 Px|2x10，因为“xP”是“xS”的必要不充分条件，所以 PS 且 S/ P.所以2，10 1m，1m2020 年高考文科数学一轮总复习第 6 页 共 11 页 1m2， 1m2，所以或1m101m10.所以 m9，即 m 的取值范围是9，)根据充分条件、必要
12、条件求解参数范围的方法把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解注意 在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍已知 p：4xa4，q：(x2)(x3)0，且 q 是 p 的充分条件，则实数 a 的取值范围为()A1a6 B1a6Ca6 Da1 或 a6解析：选 B.设 q，p 表示的范围分别为集合 A，B，则 A(2，3)，B(a4，a4)因a42，为 q 是 p 的充分条件，则有 A B，即43，所以1a6.a等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”
13、的求解策略对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路已知 p： 1x12，q：1mx1m(m0)，且p 是q 的必要不充分条4件，求实数 m 的取值范围【解】 因为p 是q 的必要不充分条件，所以 p 是 q 的充分不必要条件由 q：1mx1m，则 q：Qx|1mx1m，m0x1由 12，解得3x13，4所以 p：Px|3x13因为 p 是 q 的充分不必要条件，则 P Q，m0，m0，所以 1m13，1m13故实数 m 的取值范围为12，)2020 年高考文科数学一轮总复习第 7 页 共 11 页 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等
14、价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键1如果 x，y 是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的(A充要条件)B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选 C.法一：设集合 A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则 A 的补集 C(x，y)|xy，B 的补集 D(x，y)|cos xcos y，显然 C D，所 以 B A，于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件法二(等价转化法)：因为 xycos xco
15、s y，而 cos xcos y / xy，所以“cos xcosy”是“xy”的必要不充分条件，故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件log x，x0，22函数 f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()2 a，x0xAa0B0a1212C. a1解析：选 A.因为函数 f(x)的图象过点(1，0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数 y2 a(x0)没有零点函数 y2 (x0)的图象与直线 ya 无公共点由数形结合，可xx得 a0 或 a1.又因为a|a1，故选 A.基础题组练1(2019山西 45 校联考)“若 a2 或 a2，则 a 4”的否命题是()2A若 a2
16、，则 a 42B若 a2，则 a 42C若2a2，则 a 42D若 a2，则 a 42解析：选 C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若2a2，则 a24”故选 C.2(2019湖北五校联考)已知直线 l ：mx2y10，l ：x(m1)y10，则“m122”是“l 平行于 l ”的()12A充分不必要条件2020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 11 页 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C.由直线 l 与直线 l 平行得m(m1)1(2)，得 m2 或 m1，经验12证，当 m1 时，直线 l 与 l 重合，舍去，所以“m2”是
17、“l 平行于 l ”的充要条件，1212故选 C.3(2019南昌摸底调研)已知 m，n 为两个非零向量，则“mn0”是“m 与 n 的夹角为钝角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2解析：选 B.设 m，n 的夹角为 ，若 m，n 的夹角为钝角，则 ，则 cos 0，则 mn0 成立；当 时，mn|m| |n|0 成立，但 m，n 的夹角不为钝角故“mn0”是“m 与 n 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选 B.4已知命题 ：如果 x3，那么 x0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_2解析：由题意知 ax22ax30 恒成立，0，a当 a0 时
18、，30 成立；当 a0 时，得4 212 0，aa解得3a0，故3a0.答案：3，0 3 8已知函数 f(x)2sin 2 (xR)设 p：x ， ，q：m3f(x)m3.若 px24是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围 2 2x解：因为 p：x，34236所以 f(x)1，2，又因为 p 是 q 的充分条件，32，m所以m解得1mb0，则 ln aln b)B向量 a(1，m)，b(m，2m1)(mR)垂直的充要条件是 m1C命题“角 的终边在第一象限，则 是锐角”的逆否命题为真命题D已知函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，则命题“若 f(a)f(b)0)是增函数，所以若
19、ab0，则 ln aln b，故 A 错误；若 ab，则 mm(2m1)0，解得 m0，故 B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角 的终边在第一象限，角 不一定是锐角，如 315，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若 f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若 f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)f(b)0，故 D 正确故选 D.2(应用型)(2019陕西西安模拟)若“x2m 3”是“1x2m23”是“1x4”的必要不充分条件，所以(1，4) (2m22020 年高考文科数学一轮总复习第 10 页 共 11
20、页 3，)，所以 2m231，解得1m1，故选 D.3有下列四个命题：“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若 m1，则 x22xm0 有实数解”的逆否命题；“若 ABB，则 AB”的逆否命题其中真命题为_(填写所有真命题的序号)解析：“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是“若 x，y 互为倒数，则 xy1”，显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故正确；若 x22xm0 有实数解，则 44m0，解得 m1，所以“若 m1，则 x22xm0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确；若 ABB，则 BA，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误答案：1 B x x R x B4(应用型)已知集合 A x 2 8，xR ， |1 1， ，若 成xx m2立的一个充分不必要条件是 xA，则实数 m 的取值范围是_1xxx B解析：因为 A x 2 8，xR |1 3，即 m2.答案：m22020 年高考文科数学一轮总复习第 11 页 共 11 页