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1、必修 4-第 2 章-平面向量典型 例题及练习华航教育一对一课外辅导第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 【知识点归纳】1.平面向量的概念：2.向量的表示：（常见的 2 个向量）3.相等向量与共线向量：【典型例题】题型一向量的基本概念第 2 页 共 33 页AB CDuuur uuur uuuruuurAB BC CD AD华航教育一对一课外辅导例 1.给出下列命题：1 向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在 一直线上；2 两个单位向量是相等向量； 若 a=b, b=c,则 a=c； 若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定； 若|a|=|b|,则 a=b。 若 a
2、 与 b 共线, b 与 c 共线, 则 a 与 c 共线其中正确命题的个数是（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个例 2 下列命题正确的有a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量 a 与不共线，则 a 与都是非零向量 有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的表示例 3.一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点, 然后又改变方向 ,向西偏北 45走了 200km 到达 C 点, 最后又改变方向 ,向东行驶了 100km 到达 D 点. (1) 作出向量 , , ;(2)求第 3 页 共 33 页
3、OABCDEFuuur uuu uuurrOA OB OC华航教育一对一课外辅导题型三 相等向量与共线向量 例 4 如图，设 是正六边形 的 心，分别写出图中与向量 ， ， 相等的 量，共线的向量。中向题型四利用向量解决多点共线的问题例 5.如图，四边形 ABCD 中，uuur uuurAB =DC，B QCP,Q 是 AD，BC 上的点，且uuur uuurBP =QD,求证：uuur uuurAP =QCAP D综合练习：第 4 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导1. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若|a |=|b|，则 a=b B. 若 a=b,则 a 与 b 是平行 向量C. 若
4、|a |b|,则 ab D. 若 a 与 b 不相等，则向 量 a 与 b 是不共线向量2.下列说法中错误 的是（ ）A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度 为 0C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向 是任意的3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 , 那么这 些向量的终点所构成的图形是4. 已知非零向量 ab,若非零向量 ca,则 c 与 b 关系 是 .5. 已知 a、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向 量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 .6. 判定下列命题的正误：1 零 向 量 是 惟 一 没 有 方 向 的 向 量 。 （ ）2 平 面 内
5、 的 单 位 向 量 只 有 一 个 。 （ ）3 方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方 向相反的向量。（ ）4 向量 a 与 b 是共线向量，b C,则 a 与 c 是方向相同1 相 等 的 向 量 一 定 是 共 线 向 量 。第 5 页 共 33 页AB CD BC华航教育一对一课外辅导( )7. 下列四个命题中，正确命题的个数是1 共线向量是在同一条直线上的向量2 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一 点3 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形 ABCD 是平行四边形，则 与 ，与 分别共线.AD2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的
6、减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1.向量的加法：2.向量加法的平行四边形法则：第 6 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导3.向量的加法的运算率：4.向量的减法：5.向量减法的平行四边形法则：第 7 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导6.向量数乘的概念：7.向量的数乘的性质：8.向量共线的条件：第 8 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导9.向量的线性运算10.向量证明三点共线：三角形的中线与重心公式：第 9 页 共 33 页r0uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuuur uuurAB -AC +BD -CDNQ +QP +MN -MPAF -DBuu
7、ur2 3 AB =华航教育一对一课外辅导【典型例题】题型一向量的加减法例 1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为 的是 （ ）uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuurA.B.AB +BC +CAOA +OC +BO +COC. D.例 2如图所示，D、E、F 分别是ABCFCE的边 AB、BC、CA 的中点,ADB则 ( )A.FDB.FCC.FED.BE题型二向量的作图例 3 已知在矩形 ABCD 中，宽为 2，长为 , a,uuurBC =b,uuurAC =c,试作出向量 a+b+c，并求出其模的大小第 10 页 共 33 页NO AOB ba b OM O
8、N MN 华航教育一对一课外辅导例 4.已知向量 a、b、c、d，求作向量 a-b、c-d题型三 用已知向量表示未知向量B例 5.如图所示，OADB 是以向量 OA = a ， MC= 为边的平行四边形，又 BM= 1 BC，CN= 1 CD试用 ， 表示 ， ， 3 3D变式：设 D 、E、F 分别为 ABC 的边 BC、CA 、AB的中点，且BC a ，CAb ，给出下列命题：AB1 1 1 1 a b BE a b CF a b 2 2 2 2ADBECF0.其中正确的命题个数为 （ A.1 B.2 C.3 D.4）题型四 向量的加减法综合运用第 11 页 共 33 页eeeee eee
9、ABBCCDkek ek eeOB华航教育一对一课外辅导例 6.设两个非零向量 、 不是平行向量1 2（1）如果 = + ， =2 +8 ， =3(1 2 1 2 1 2B、D 三点共线；)，求证 A、（2）试确定实数 的值，使 向量+ 和 +1 2 1 2是两个平行例 7.已知 O 是 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,若YAB=a,BC=b,OD=c,试证明:c+a-b= .综合练习：1.下列命题正确的有单位向量都相等 长度相等且方向相反的 两个向量不一定是共线向量第 12 页 共 33 页AB CD BC DA a b 0a b a b aa b bbab华航教育一对一课外辅导
10、若 a，b 满足|a|b |且 a 与 b 同向，则 ab 对于任意向量 a、b,必有|a+b|a |+|b |2. 以下四个命题中不正确的有若 a 为任意非零向量，则 a0 | a+b|=|a |+|b | a=b，则|a |=|b|，反之不成立 任一非零向量的方向都是惟一的3.已知，则 的取值范围为 | AB |=6,| AC |=4 | BC |4. 设（ + ）+（ + ）= , ,则在下列结论中， 正确的有 ; + = ; + = ; a+ + 5.化简uuur uuur uuur uuur AB +BC +CD +DA =6.如图，在四边形 ABCD 中,根据图示填空:a+b= ,
11、b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .2.3平面向量2.3.1 平面向量基本定理【知识点归纳】1.平面向量的基本定理：第 13 页 共 33 页1 21 21 21 21 21 2华航教育一对一课外辅导2.向量的夹角：【典型例题】题型一基底的判定例 1.设 e 、e 是同一平面内的两个向量，则有 ( ) A.e 、e 一定平行B. e 、e 的模相等C. 同一平面内的任一向量 a 都有 a =e +e (、 R)D. 若 e 、e 不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =e +ue (、uR)题型二用基底表示向量例 2.已知 a=-e +3e ，b= 4e +2e ，其中 e ，
12、e 不共线，1 2 1 2 1 2向量 c=-3e +12e ，用试用 a，b 作为基底来表示 c 1 2第 14 页 共 33 页1 21 21 21 21 212 1 21 2 1 21华航教育一对一课外辅导题型三向量的夹角例 3.已知两个非零向量 a，b 的夹角为 80，求下列 向量的夹角：（1）a 与-b （2）2a 与 3b练习：1.已知向量 a = e -2e ，b =2e +e ，其中 e 、e 不共线，则 a+b 与 c =6e -2e 的关系A. 不共线 D.无法确定B. 共线C. 相等2. 已知向量 e 、 e 不共线，实数 x 、 y 满足 (3x-4y)e +(2x-3
13、y)e =6e +3e ，则 x-y 的值等于( )A.3 B.-3 C.0D.23.已知 a、b 不共线，且 c = a+ b( ， R)， 若 c 与 b 共线，则 = .第 15 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量的共线的坐标表示 【知识点归纳】1.平面向量的正交分解：2.平面向量的坐标表示：3.平面向量的坐标运算：第 16 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导4.平面向量共线的表示：5.三点共线：第 17 页 共 33 页rrr r r r r raba b a b a b华航教育一对一课
14、外辅导 【典型例题】题型一求向量的坐标例 1.已知点 A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）uuuv uuv uuv在平面直角坐标系中，分别作出向量 的坐标。AC BD EFuuuv uuv uuv AC BD EF并求向量题型二平面向量的坐标运算例 2 已知 =(2，1)， =(-3，4)，求 + ， - ，3 +4 的 坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边 形四个顶点.第 18 页 共 33 页FFFFFF0BCrr华航教育一对一课外辅导例
15、4 已知三个力 (3， 4)，1 2的合力 + + = ，求 的坐标.1 2 3 3(2， -5)，F3(x， y)练习：1若 M(3， -2) N(-5， -1) 且1MP = MN2， 求 P 点的坐标2 若 A(0 ， 1) ， B(1 ， 2) ， C(3 ， 4) ， 则AB-2 = .3 、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所 有向量的基底是（ ）Avav=(0,0),b =(1,-2)Bvav=( -1,2),b =(5,7)Cvav=(3,5)b =(6,10)Dvav=(2,-3)b =(4, -6)4已知， a =(3,2) b =(0, -1)，则r r -2a +
16、4b等于（ ）A ( -6 , -8 )B( - 3 , - 6 )C ( 6 ,8 )第 19 页 共 33 页，a =b 2 a -3br r r rrrka -b a -kba =(2,3) b =( -1,2)kr ra =(5,2)a =( -7, -2)4a +3bAB CD华航教育一对一课外辅导D( 6 , -8 )5已知平面向量a =(1,2)b =( m, n)，且 2 ，则等于（ ）A( -2 , -4 )B( - 3 , - 6 )C( -5 , -10 )D( -4 , -8 )6. 已知 ， ，若 与 平行，则 等于 （ ）A. 1 B. -1 C.1 或 -1 D.
17、27. 已知 ， ，则 的坐标为_. r r r ur r r r r r ur7. 已知 a =(2, -4) ， b =( -1,3) ， c =(6,5) ， p =a +2b -c ，则以 a ， b 为基底，求 p .题型三 向量共线的证明及判定例 5.已知 A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2， 7) ，向量 与 平行吗？直线 AB 与平行于直线 CD 吗？第 20 页 共 33 页rrr r华航教育一对一课外辅导题型四 向量共线求参数r r r r例 6 已知 a =(4, 2) ， b =(6, y ) ，且 a / b ，求 y 练习： 1. 若向量
18、ra=(-1 ，x) 与 =(-x ， 2) 共线且方向相同，b则 x 为_.2.设3a =( ,sin2a )，rb =(cos1a, )3，a(0,2p)，且 ，求角 a / b a题型五 三点共线例 2: 已知， ， ，求证 、 、 三点共线 A( -1, -1) B (1,3) C (2,5) A B C第 21 页 共 33 页1 21 21 1 2 21 21 2rraa bb华航教育一对一课外辅导例 3:设点 P 是线段 P P 上的一点， P 、P 的坐标分 别是(x ，y )，(x ，y ).(1) 当点 P 是线段 P P 的中点时，求点 P 的坐标； (2) 当点 P 是
19、线段 P P 的一个三等分点时，求点 P的坐标.练习：1.若 r=(2，3)， =(4，-1+y)，且 r ，则 y=（ ）第 22 页 共 33 页ABarra bbrrraa b a bb华航教育一对一课外辅导A.6 B.5 C.7D.82.若 A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则 x 的值为（ ）A.-3 B.-1 C.1D.33.若 =i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量 ). 线，则 x、y 的值可能分别为（ ）AB与 共DCA.1 ， 2 B.2 ， 2 C.3 ， 2 D.2，44. 已 知 r
20、=(4 ， 2) ， =(6 ， y) ， 且 r ， 则y= .5.已知 r=(1，2)， =(x，1)，若 r+2 与 2 r- 平行， 则 x 的值为2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 【知识点归纳】第 23 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导1.平面向量的数量级的概念：2.平面向量数量积的几何意义：3.向量数量积的性质：第 24 页 共 33 页bababa b a baa baba ba华航教育一对一课外辅导【典型例题】题型一 平面向量数量积的基本概念例 1.给出下列命题：若 |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b； |ab|=|a|b|；ab
21、=0a=0 或 b=0；若 ab 且 bc，则 ac。其中正确命题的个数是 ( )A0 B 1 C2 D3题型二 求向量的投影和数量积例 2.已知| |=5， | |=4，a与 的夹角 =120o，求 b.练习：1.已知 a=(1 ，-2)，b=(3，4)，则 a 在 b 方向 上的投影是_2.已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分别求 b.题型三 求向量的模例 3. 已 知 | |=6 ， | |=4 ， 与 的 夹 角 为 60o 求第 25 页 共 33 页a b a bbbaaa bb 2a b aaa ba ba b aa b华航教育一对一课外辅导 ( +2 )( -3 )
22、练习：1.已知 | |=2 ， | |=1 ， 与 之间的夹角为 ，那么向量3m= -4 的模为（ ）A.2 B.2D.123C.62.已知| |=1，| |= ，(1)若 ，求 b；(2)若 、 的夹角为 ，求 | + |； (3) 若 - 与 垂直，求 与 的 夹角.第 26 页 共 33 页ba baa b a bba华航教育一对一课外辅导题型四 向量垂直的判定例 4.已知| |=3， | |=4， 且 与 不共线，k 为何值时， 向量 +k 与 -k 互相垂直.题型五 求向量的夹角的余弦值例 5.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为，求 向量 =2m+n 与 =2n-3m 的夹角.2.
23、4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【知识点归纳】1.平面向量的数量积的坐标表示第 27 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导2.平面向量的模的坐标表示3.平面向量的夹角的坐标表示 （平行，垂直）【典型例题】题型一向量数量积的坐标运算第 28 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导例 1.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求 a 与 b 的 数量积为_ 例 2.已知|a|=2，|b|=1 ，a 与 b 之间的夹角为 ，那3么向量 m=a-4b 的模为（ ）A.2B.23C.6D.12题型二 向量的夹角坐标运算例 3.设 a=(2,1),b=(1,3),求 ab 及 a 与 b 的
24、夹角例 4.已知向量 a=(-2,-1),b=(,1)若 a 与 b 的夹角 为钝角,则取值范围是多少 ?题型三 向量的垂直第 29 页 共 33 页r ra = b(1,2),rr r rka +b与a -3br r rr ra =( -4,3), b =(5,6) 3 a -4a b=r rr ur()()3.则 ( )()_ 。rrr r r rr rr r( ) ()r rr rr r r r rr( )华航教育一对一课外辅导例 5.已知|a|=1 ，|b|= ，且(a-b)与 a 垂直，则 a 与2b 的夹角是（ ）A.60D. 例 6.已知， 垂直？B.30 C.135当 k 为何
25、值时，（1） =( -3,2)，练习：1.已知 则 2 （ ）A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知 则 夹角的余弦为（ ）a 3,4 ,b= -5,12 a与 b63A. B. 13 C. D.65 1365 5a= (2,3),b=( -2,4), a+b a-b =4.已知 则 _ 。a= 2,1 ,b= l，3且a b l5. 则 _a=( -4,7);b=(5,2) a b=a =_ (2a-3b)(a+2b)=_6.与 垂直的单位向量是 _a= 3,4第 30 页 共 33 页4 3D.华航教育一对一课外辅导( 4A.,3) （- - ） B.C. （4 ，-3）或（-
26、4 ，3）5 5 5， 5 5 5 5 54 3 4 3（ ， )或(- ,- )5 5 5 57. r 则 r r 方向上的投影为 _ a=(2,3),b=(-3,5) a在b7. A(1,2),B(2,3),C(2,0) 所以 为( )VABCA. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三 角形 D.不等边三角形9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6) 则四边 形 ABCD 为（ ）A. 正方形 B. 菱形 C. 梯形 D. 矩形10.已知点 A（1，2），B(4,-1),问在 y 轴上找点 C， 使ABC90若不能，说明理由；若能，求 C 坐标。2.5 平面
27、向量应用举例【知识点归纳】1向量的在几何中的运用：【典型例题】例 1证明：平行四边形两条对角线 的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形 ABCD 求证：AC 2 +BD 2 =AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA2第 31 页 共 33 页DABCuuur r uuur rAB =a , AC =b.uuurr rAOa , b.华航教育一对一课外辅导变式训练： 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，BF 与 CD 交于点 O，设（1） 证明 A、O、E 三点共线；（2） 用 表示向量 。例 2. 求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角 的余弦值.第 32 页 共 33 页华航教育一对一课外辅导变式：已知DABC 中， a =2, b =3, C =600，求边长 c。第 33 页 共 33 页