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1、“ 离 散 数 学 ” 数 理 逻 辑 部 分 考 核 试 题 答 案一、命题逻辑基本知识（5 分）1、将下列命题符号化（总共 4 题，完成的题号为学号尾数取 4 的余，完成 1 题。共 2 分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。解：?pq，其中，P：小刘怕吃苦； q：小刘爱钻研。（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。解：q?p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。解：?r(pp)，其中，P ：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。（3）小王与小张是亲戚。解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。2、判断下列公式的类型 （总共 5 题，完成的题
2、号为学号尾数取 5 的余，完成 1 题。共 1 分）（0）A：(?(p?q)?(p ?q)?(?p?q)?r（1） B：(p?(q?p) ?(r?q)（2） C ：(p?r)?(q?r)（3） E：p?(p?q?r)（4） F：?(q?r) ?r解：用真值表判断，A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式，E 为重言式，F 为矛盾式。3、判断推理是否正确（ 总共 2 题，完成的题号为学号尾数取 2 的余，完成 1 题。共 2 分）（0）设 y=2|x|，x 为实数。推理如下：如 y 在 x=0 处可导，则 y 在 x=0 处连续。发现 y 在 x=0 处连续， 所以，y 在 x=0 处可导。解
3、：设 y=2|x|，x 为实数。令 P： y 在 x=0 处可导，q ：y 在 x=0 处连续。由此，p 为假，q 为真。本题 推理符号化为：(p?q) ?q?p。由 p、q 的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若 2 和 3 都是素数，则 6 是奇数。2 是素数，3 也是素数。所以，5 或 6 是奇数。解：令 p:2 是素数，q:3 是素数，r:5 是奇数，s:6 是奇数。由此，p=1，q=1，r=1 ，s=0。本题推理符号 化为： (p ?q) s) ?p ?q) (r ?s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。二、命题逻辑等值演算（5 分）1、用等值演算法
4、求下列公式的主析取范式或主合取范式 （总共 3 题，完成的题号为学号尾数取 3 的余，完 成 1 题。共 2 分）（0）求公式 p (qr) (p(?q?r) 的主析取范式。解：p(q r) (p(?q?r) ?p(qrp) (qr?q?r)?p(qrp) 0 ?(pqr) ?(?p11) (qrp)?(?p(q?q)(r?r) (qrp) ?(?p(q?q)(r ?r) m7?(?p?q?r)(?p?qr) (?pq?r)(?pqr) m7?m0 m1 m2m3m7.（1）求公式?(?(pq) (?q?p)的主合取范式。解：?(?(pq) ?(?q?p) ? ?p?q?M2.(pq) ?(p
5、q) ?(pq)（2）求公式(p(pq) r 的主析取范式。解：(p(p?q) ?r ?p?(p?q) ?r ?(?p?p?q?r)?1?m0 m1 m2m3m4m5m6m7.2、应用分析（总共 2 题，完成的题号为学号尾数取 2 的余，完成 1 题。共 3 分）（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：1 预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。2 预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。3 预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？ 解：设 P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长
6、，p3：孙竹湾为村长，q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。判断公式 F?(p1?q2) ?(?p1?q2) ?( (p3?q1) ?(?p3?q1) ?( (p2?r1) ?(?p2?r1)?p1?q2?p3?q1?q2?r1?1?q2?p3?r1，由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。说明：p1 、p2、p3 有且仅有一个为真，q1、q2 有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职 务不可由两人同时担任。（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是： 若赵去，钱也去。 李、周两人必有一人去。 钱、孙两人去且仅去一人。 孙、李
7、两人同去或同不去。 如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？解： 设 p ：派赵去，q：派钱去， r：派孙去， s：派李去，u ：派周去。 (1) ( p?q) (2) (s?u) (3) (q?r)?(?q?r)(4) ( r?s)?(?r?s) (5) ( u?(p?q) (1) (5)构成的合取式为：A= (p?q)?(s?u)?(q?r)?(?q?r)?(r?s)?(?r?s)?(u?(p?q)?(?p?q?r?s?u)?(p?q?r?s?u)由此可知，A 的成真赋值为 00110 与 11001 ，因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。三、命题逻辑推理（
8、5 分）在自然推理系统中，构造下列推理过程 （总共 3 题，完成的题号为学号尾数取 3 的余，完成 1 题。共 5 分） （0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以， 王老师不出国，则孙老师出国。解：形式化：p：张老师出国；q：李老师出国； r：王老师出国；s：孙老师出国。前提：p?(q?r)，p?q结论：?r?s证明： p?(q?r) ?p?(?q?r)?p?q?r p?q4 r5 r ?s6 ?rs7 ?r?s【前提引入】 【置换】【前提引入】 【假言推理】 【附加规则】 【置换】 【置换】证毕。（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安
9、人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而， 王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。解：形式化：p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人； s：王同学喜欢吃雅鱼。前提：(p?q)?r，r?s，?s，p结论：?q证明： (p?q)?r r?s (p?q)?s ?s ?(p?q) ?p?q p ?q【前提引入】 【前提引入】 【假言三段论】 【前提引入】 【拒取式】 【置换】 【前提引入】 【析取三段论】 证毕。（2）若 n 是偶数并且大于 5，则 m 是奇数。只有 n 是偶数，m 才大于 6。现有 n 大于 5。所以，若 m 大于 6，则 m 是奇数。解：
10、形式化：p：n 是偶数；q：n 大于 5 ；r：m 是奇数；s：m 大于 6。前提：(p?q)?r，s?p ，q结论：s?r证明： q ?s?q s?q s?p【前提引入】【附加规则】（这是证明的关键） 【置换】【前提引入】 (s ?q）?q（s?p） 【合取】 s?(p?q ) (p?q)?r s?r【置换】【前提引入】 【假言三段论】证毕。四、一阶逻辑的基本概念（5 分）1、一阶逻辑命题形式化 （总共 6 题，完成的题号为学号尾数取 6 的余，完成 1 题。共 2 分）（0）人人都生活在地球上。解：?x(F(x) G(x)，其中，F(x) ：x 是人，G(x) ：x 生活在地球上。（1）有
11、的人长着金色的头发。解：?x (F(x) ?G(x)，其中，F(x) ：x 是人，G(x)：x 长着金色的头发。（2）没有能表示成分数的无理数。解：?x(F(x) ?G(x)，其中，F(x) ：x 是无理数，G(x) ：x 能表示成分数。（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。解：?x?y(F(x) ?G(y)S(x,y)，其中，F(x) ：x 是男人，G(x) ：x 是女人，S(x,y)：x 比 y 力气大。 （4）有的学生不住在校内。解：?x (F(x) ?G(x)，其中，F(x)：x 是学生，G(x)：x 住在校内。（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。解：?x(F(x)
12、?y(G(x)S(x,y) ，其中，F(x) ：x 是男人，G(x) ：x 是女人，S(x,y)：x 比 y 力气大。2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共 3 题，完成的题号为学号尾数取 3 的余，完成 1 题。 共 3 分）（0）?x(F(x) ?G(x)解：取解释 I1：个体域为人的集合， F(x) ：x 是男人，G(x)：x 是女人。则在 I1 解释下，?x(F(x) ?G(x) 为真命题。取解释 I2：个体域为人的集合，F(x) ：x 是中国人，G(x) ：x 是美国人。则在 I2 解释下，?x(F(x) ?G(x) 为假命题。（1）?x(F(x) ?G(x) ?H(x)
13、解：取解释 I1：个体域为人的集合， F(x) ：x 是教师，G(x)：x 是党员，H(x)：x 是班主任。则在 I1 解释下，?x(F(x) ?G(x) ?H(x)为真命题。取解释 I2：个体域为人的集合，F(x) ：x 是男人，G(x)：x 是女人，H(x) ：x 是班主任。则在 I2 解释下，?x(F(x) ?G(x) ?H(x)为假命题。（2）?x(F(x) ?y(G(y) ?H(x,y)解：取解释 I1：个体域为整数集合， F(x) ：x 是正整数，G(x) ：x 是负整数，H(x,y)：x 比 y 大。则在 I1 解释下，?x(F(x) ?y(G(y) ?H(x,y)为真命题。取解
14、释 I2：个体域为自然数集合，F(x)：x 是奇数，G(x)：x 是偶数，H(x,y)：x 比 y 大。则在 I2 解 释下，?x(F(x) ?y(G(y) ?H(x,y) 为假命题。五、一阶逻辑等值演算（5 分）1、证明等值式（总共 2 题，完成的题号为学号尾数取 2 的余，完成 1 题。共 1 分）（0）证明等值式：?x(A(x)?B)?xA(x) ?B。证明：?x(A(x) ?B) ?x(?A(x) ?B)?x?A(x)?B?xA(x) ?B?xA(x) ?B。（1）证明等值式：?x(A(x)?B)?xA(x)?B。解：?x(A(x)?B) ?x(?A(x)?B)?x?A(x) ?B?x
15、A(x) ?B?xA(x) ?B2、给出下列公式的前束范式 （总共 4 题，完成的题号为学号尾数取 4 的余，完成 1 题。共 2 分）（0）?x(F(x) G(x)解：?x(F(x) G(x) ?x?(?F(x) ?G(x) ?x(F(x) ?G(x)（1）?x(F(x) ?G(x)解：?x(F(x) ?G(x) ?x?(F(x) ?G(x) ?x( ?F(x) ?G(x) ?x(F(x) ?G(x)（2）?yF(x,y) ?xG(x,y,z)解：?yF(x,y) ?xG(x,y,z) ?yF(u,y) ?xG(x,v,z) ?y?x(F(u,y) ?G(x,v,z)（3）?xF(x) ?y
16、 (G(x,y) ?H(x,y)解：?xF(x) ?y (G(x,y) ?H(x,y) ?zF(z) ?y (G(x,y) ?H(x,y)?z(F(z) ?y (G(x,y) ?H(x,y) ?z?y(F(z) (G(x,y) ?H(x,y)3、例证（总共 2 题，完成的题号为学号尾数取 2 的余，完成 1 题。共 2 分）（0）举例说明“?对?无分配律”。解：?对?无分配律指：不存在等价关系?x(A(x) ?B(x )?xA(x) ?xB(x)。例如，取解释 I：个体域为人的 集合，F(x) ：x 是男人，G(x) ：x 是女人。?x(A(x ) ?B(x) 的真值为真，而?xA (x) ?
17、xB(x )的真值为假。 （1）举例说明“?对?无分配律”。解：?对?无分配律指：不存在等价关系?x(A(x) ?B(x) ?xA(x)?xB(x)。例如，取解释 I：个体域为人的 集合，F(x) ：x 是男人，G(x) ：x 是女人。?x(A(x) ?B(x) 的真值为假，而?x A(x) ?xB(x) 的真值为真。六、一阶逻辑推理（5 分）在自然推理系统中，构造下列推理过程 （总共 2 题，完成的题号为学号尾数取 2 的余，完成 1 题。共 5 分） （0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢 乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。（个体域为人类集
18、合）解：形式化：F(x)：x 喜欢步行；G(x)：x 喜欢骑自行车；H(x) ：x 喜欢乘汽车。前提：?x(F(x) ?G(x) ，?x(G(x) ?H(x)，?x?H(x)结论：?x?F(x)证明： ?x(F(x) ?G(x) F(y) ?G(y) ?x(G(x) ?H(x) G(y) ?H(y) ?G(y) H(y) F(y) H (y) ?H(y) ?F (y) ?H(y) ?x ?F (x) ?x?H(x) ?x ?F (x) ?x?H(x) ?x ?F (x)【前提引入】 【?- 】【前提引入】 【?- 】【置换】【假言三段论】 【置换】【 ?+ 】【 ?+ 】【前提引入】 【假言推
19、理】证毕。（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大 海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合） 解：形式化：F(x)：x 是科学工作者；G(x) ：x 刻苦钻研；H(x)：x 聪明；I(x)：x 事业成功；a:王大海。前提：?x(F(x) G(x) ，?x(G(x) ?H(x) I(x)，F(a)，H(a)。结论：I(a)证明： F(a) ?x(F(x) G(x) F(a) G(a)4 G(a)5 H(a)6 ?x(G(x) ?H(x) I(x) G(a) ?H(a) I(a) G(a) ?H(a) I(a)【前提引入】 【前提引入】 【?-】 【假言推理】 【前提引入】 【前提引入】 【?- 】 【合取】 【假言推理】证毕。