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1、 三角函数 摘 要三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。关键词：数学 三角函数 定义 运用1 引言 三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊，为了便
2、于观察天体的运行及解球面三角形著名天算家托勒密(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上，也编制了所谓“弦表”，他藉助于几何知识，编制了弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希腊人却未引用“余弧的弦”或“余弦”这类名称。 世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯在这些国家里，不但提出“正弦”一词还以几何方法定义了“余弦线”“正切线”“余切线”以及“正矢线”的意义并编制了各种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献；阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasir al-D
3、in al-Tusi,1201-1274)在他的著作论四边形里，首先把三角学从天文学中分割出来，看作为一门独立的学科。2三角函数定义三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。3锐角三角函数在直角三角形ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C为直角。则定义以下运算方式： sin A=A
4、的对边长/斜边长，sin A记为A的正弦；sinAa/c cos A=A的邻边长/斜边长，cos A记为A的余弦；cosAb/c tan A=A的对边长/A的邻边长， tanAsinA/cosAa/ b tan A记为A的正切； 当A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 sinAcosB sinBcosA 4常见三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法： 图一 表一基本函数表达式语言描述正弦函数sin =y/r角的对边比
5、斜边余弦函数cos =x/r角的邻边比斜边 正切函数tan =y/x角的对边比邻边余切函数cot =x/y角的邻边比对边正割函数sec =r/x角的斜边比邻边余割函数csc =r/y角的斜边比对边 、5 实际应用在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。6最值问题三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二
6、次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。 总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。7参考文献1人教版数学必修42三角函数的定义（百度）3初等数学研究 石函早 郭秀清3详参照