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1、特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式） 若已知数列 a 的项满足 a1 b, an 1 can d ,其中 c 0,c 1, 求n这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题， 然而这样做太过繁琐， 而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法特征方程法： 针对问题中的递推关系式作出一个方程 x cx d, 称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式 .下面以定理形式进行阐述 .定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为 x0 ，则当 x0 a1 时， an 为常数列，即an 1;当x a 时,an bn x ， 其 中 bn 是 以 c 为 公
2、比 的 等 比 数 列 ， 即a0 1 0n 1b 1c ,b a xbn .1 1 0d证 明 ： 因 为 c 0 ,1, 由 特 征 方 程 得 .x 作 换 元 bn an x0 , 则0 c1d cdbn a x ca d ca c(a x ) cb1 n 1 0 n n n 0 n1 c 1 c.n 1 当 x0 a1时， b1 0 ，数列 bn 是以 c为公比的等比数列，故 bn b c ;1当x0 a 时， b1 0 ， bn 为 0 数列，故 an a1 ,n N. （证毕）1下面列举两例，说说说说明定理 1 的应用 .1例 1 已知数列 an 1 an n a 求 an .a
3、 满足： 2, N, 4,n 131 3解：作方程 x x 2,则x .03 2 3 11当 a 4 时， a1 x ,b1 a1 .1 02 2数 列 b 是 以n13为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是bn1 11 1 3 3 11 1n 1 n 1 n 1b1( ) ( ) ,a b ( ) ,nn n3 2 3 2 2 2 3N.例 2已知数列 a 满足递推关系： an 1 (2an 3)i,n N, 其中 i 为虚数单位。当na 取1何值时，数列 a 是常数数列？n6 3i 6 3i解：作方程 x (2x 3)i,则 x .要使 an 为常数，即则必须 .a x 0 1 05
4、5二、（二阶线性递推式）定理 2： 对于由递推公式an 2 pa 1 qa ， a1 ,a2 给出的数列 an ，方程n n2 px qx 0 ，叫做数列 an 的特征方程。若x1, x 是特征方程的两个根， 当 x1 x2 时，数列 an 的通项为2n 1 n 1an Ax Bx ，其中1 2A，B 由a1 ,a2 决定（即把 a1 ,a2 ,x1, x2 和 n 1,2 ，代入n 1 n 1an Ax Bx ，得1 2到关于 A、B 的方程组）；当x1 x 时，数列 an 的通项为2n 1an ( A B)x ，其中 A ，B1由 a1 ,a2 决定（即把 a1, a2 ,x1 ,x2 和
5、 n 1,2 ，代入n 1an ( A B)x ，得到关于 A、1B 的方程组）。例 3：已知数列 an 满足 a1 a, a2 b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N ) ，求数列 an的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由 3 5 2 0an a a ，得2 n 1 n2an a (a a ) ，2 n 1 n 1 n3且 a a b a2 。1则数列 an 1 an 是以 b a 为首项，23为公比的等比数列，于是2n 1an 1 a (b a) ( ) 。把 n 1,2 ,3 , ,n 代入，得n3a2 a1 b a ，2a3 a (b a) ( ) ，23 22a4
6、a (b a) ( ) ，33?2n 2an a 1 (b a) ( ) 。n3把以上各式相加，得 21 ( ) 3n 12 2 2n 2an a b a )1 ( )( ( ) ( ) b a1 213 3 332 2n 1 。n 1an 3 3( ) ( b a) a 3( a b)( ) 3b 2a3 3。解法二 （特征根法） ：数列 an ：3an 2 5an 1 2an 0(n 0, n N ) ， a1 a,a2 b2 x 的特征方程是： 3 5 2 0x 。 2x1 1, x2 , 3n 1 nan Ax Bx1 212n 1A B ( ) 。3又由 a a a b1 , ，于是
7、2abAAB23BAB3b3(a2ab)故an 3b 2a 3(a b)(23n)1三、(分式递推式 )定理 3：如果数列 a 满足下列条件： 已知 a1 的值且对于 n N ，都有npa qnan 1 （其ra hn中 p、q、r、h 均为常数，且hph qr ,r 0, a1 ），那么，可作特征方程rpx qx .rx h（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，若 a1 ,则 an , n N;若1 1 ra ，则 an ,n N, 其中 bn (n 1) ,n N.特别地，当存1b a p rn 1在 n N, 使b 0时，无穷数列 an 不存在 .0 n0（2）当特征方程有两
8、个相异的根1、 2 （称作特征根）时，则c2 n 1a ，n N,n c1na p r其中 1 ( ) ,n N, ( a ).1 1 n 1cn 其中1 2a p r1 2 2a 4n例 4、已知数列 a 满足性质：对于 n N,a 1 ,且 a1 3, 求 an 的通项公式 .n n a2 3nx 4 2 x解:依定理作特征方程 x , 变形得 2 2 4 0, x 其根为 1 1, 2 2.故特征2x 3方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（ 2）部分，则有cna p r 3 1 1 1 21 1 1 1 nn n 1( ) ( ) ,a p r 3 2 1 2 21 2 2N.2 1
9、 1n c ( ) ,n N.n5 52 1n 12 ( ) 1c5 52 nn 1 a , N.n2 1c 1 1nn ( 1)5 5n( 5) 4即 a ,n N.n n2 ( 5)13a 25n例 5已知数列 a满足：对于 n N, 都有 a .nn 1 a3 n（1）若 5,a 求 an ;1（2）若 3,a 求 an ;1（3）若 6,a 求 an ;1（4）当 a1 取哪些值时，无穷数列 an 不存在？13x 252 x 解：作特征方程 x .变形得 10 25 0,xx 3特征方程有两个相同的特征根 5.依定理 2 的第（ 1）部分解答 .(1) a1 5, a1 .对于 n N
10、, 都有 an 5;(2) a1 3, a1 .1bn (n 1)a1rp r1(n 1)5 13113 51 n281,令 0b ，得 n 5.故数列 an 从第 5项开始都不存在，n1 5n 17当 n 4， n N时，an .b n 5n(3) a1 6, 5, a1 .1 r n 1 , .bn (n 1) 1 n Na p r 81令 0,b则n 7 n.对于 n N, bn 0.n1 1 5n 43 , N.a 5 nnn 1b n 7n1 8(4)、显然当 a1 3时，数列从第 2项开始便不存在 .由本题的第（ 1）小题的解答过程知，a 5时， 数 列 an 是 存 在 的 ，
11、当 a1 5时，则有11 r 1 n 1 5n 13 (n 1) , n N. a1 nbn 令 bn 0,则得 , Na p r a 5 8 n 11 1且 n 2.当5n 13a （其中 n N 且 N 2）时，数列 an 从第 n项开始便不存在 .1 n1于是知：当5n 13a 在集合 3或 :n N,1n 1且 n 2 上取值时，无穷数列 a 都不存n在.练习题：求下列数列的通项公式：1、 在 数 列 an 中 ， a1 1, a2 7, an 2an 1 3an 2 (n 3) ， 求 an 。（ key ：n 1 ( 1)n 2a 2 3 ）n1 n2、 在数列 an 中， a1
12、1,a2 5,且 an 5an 1 4 an 2 ，求 an 。（key： a (4 1) ）n3n 13、 在数列 an 中，a1 3, a2 7, an 3an 1 2an 2 (n 3) ，求 an 。（key： 2 1a ）n2 14、 在 数 列 an 中 ， a1 3,a2 2, an an an2 13 37 1 1 n2a ( ) ）n4 4 3， 求a 。（ key ：n5 15、 在数列 an 中， a1 3, a2 , an (4a a ) ，求 an 。（key：2 n 1 n3 32a 1 ）nn 136、 在数列 an 中， a1 a,a2 b, an 2 pan
13、1 qan ，且 p q 1.求 an .（key： q 1时， a a (n 1)( b a)n ； q 1时，aq b (ban 1a )(qq)n 1）7、 在数列 an 中，a1 a, a2 a b, pan 2 ( p q)an 1 qan 0（ p,q是非 0 常数）.求n 1p qa .（key： an a 1 ( )bnp q p( p q )； an a1 (n 1)b ）( p q )8 、 在 数 列 an 中 ， a1 ,a2给定 ， an ban 1 can 2 . 求n n 21 1 ( n n 2 )ca .(key: an a a1 ( ) ；若 ，上式不能应用
14、，n 2n 2 n 1 此时， n (n 1)a (n 2)a .a2 1附定理 3 的证明定理 3(分式递推问题 )：如果数列 a 满足下列条件：已知 a1 的值且对于 n N ，都有npa qnan 1 （其中 p、q、r、h 均为常数，且ra hnhph qr, r 0, a1 ），那么，可作特r征方程px qx .rx h（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，1若 ,a 则 an ,n N; 若 a1 ， 则 a ,n N ,n 其 中 1bn1 rbn 特别地，当存在 n0 N, 使b 0时，无穷数列 an (n 1) ,n N.na p r01不存在 .（2）当特征方程
15、有两个相异的根1、 2（称作特征根） 时，则c2 n 1a ，n N, 其n c1na p r1 1 1 n 1 n a中 ( ) , N, ( ).cn 其中1 2a p r1 2 2证明： 先证明定理的第（ 1）部分 .作交换 d a , n Nn n则d an 1 n 1panranqhan ( p r ) q hra hn(d )( p r ) q hnr(d )nhd2n ( p r ) r (h p) qrd h rnp q2 h p q 是特征方程的根， r ( ) 0.r hd ( p r )n将该式代入式得 , N.d 1 nn rd h rnpx 代入特征方程可整理得 ph
16、 qr ,这与已知条件 ph qr 矛盾 .故特征方程的 将r p根 ,于是 p r 0. r当 d1 0，即 a1 d1 = 时，由式得 bn 0, n N, 故 an dn ,n N.当 0d 即 a1 时，由、两式可得 dn 0, n N.此时可对式作如下变化：11 h rrd h r1rnd 1 dn ( p r ) p r dn p rn.由 是方程px q p hx 的两个相同的根可以求得 .rx h 2rp hh rh r h p 2r 1,p hp r p hp r 2r将此式代入式得 1 1 , N.rn dn dn p r11 r令 n , N.则 bn 1 n ,n N.
17、 故数列 bn 是以b n bd p rnrp r为公差的等差数列 .r ( 1) , N.bn b1 n np r其中 1 1 .b1d a1 11当 N, 0n b 时， a d , n N.n n nbn1当存在 n N, 使b 0时，a d 无意义 .故此时，无穷数列 an 是0 n nn b00 0n0不存在的 .再证明定理的第（ 2）部分如下：特征方程有两个相异的根 1 、 2 ，其中必有一个特征根不等于 a1 ，不妨令 2 a1.an1 n 于是可作变换 , N.cnan 2故an 1 1c ，将n a1n 1 2pa qnan 1 代入再整理得ra hna ( p r ) q
18、hn 1 1c 1 , n Nn a ( p r ) q hn 2 2由第（ 1）部分的证明过程知 p p px 不是特征方程的根，故 1 , 2 . r r r故 0, 0.p 1r p r 所以由式可得：2q h1anp r p r1 1c 1 ,n Nn q h p r22 nap r2特征方程px q2 x h p qx 有两个相异根 1 、 2 方程 ( ) 0rx 有两个相rx h异根1 、 2 ，而方程q xh2 x h p qx 与方程 rx ( ) 0又是同解方程 .p xrqph1 ,1r1qph2r22将上两式代入式得p r a p r1 n 1 1c 1 cn ,nnp r a p r2 n 2 2N当 0,c 即 a1 1时，数列 cn 是等比数列，公比为1ppr1 .此时对于 n N 都有r2p r a p r1 n 1 1 1 1c c ( ) ( )(n p r1p r a2 1 2 2)n1.当 0c 即a1 1时，上式也成立 .1由an 1c 且 1 2 可知 cn 1, n N.n an 2c2 n n1所以 , N.an (证毕)c 1n注:当 ph qr 时 ,pa qn 会退化为常数 ;当 r 0 时,ra hnpa qnan 1 可化归为较易解ra hn的递推关系 ,在此不再赘述 .