数列题库[教育试题].doc

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1、借鉴试题1 数学题库数学题库 数列篇数列篇 数列的通项求法： 1(20091(2009 湖北卷理湖北卷理) ) 已知数列 n a满足： 1 am（m 为正整数） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当为偶数时， 当为奇数时。 若 6 a 1，则 m 所有可能的取值为_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时， 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4

2、 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am为奇数，则 21 3131aam 为偶数，故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 2（2010 苏锡常三模） 数列an满足 a11，则 a10 1 11 1 11 nn aa 答案： 17 19 3（2010 南通三模） 若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且 n asin() n aAnBAB、 ，则 .（只要写出一个通项公式即可） 00 2 A、 n a 借鉴试题2 答案答案：学4 21 3sin 332 n 4（2010 苏北四市二模） 已知数列

3、的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且， n a,p q p qpq aaa 8 16a 则 . 10 a 答案答案； 32 5 5（20102010 苏北四市一模）苏北四市一模） 在数列中，已知，当时，是的个位数， n a 12 2,3aa2n 1n a 1nn aa 则 4； 2010 a 6（2010 常州一模） 已知等比数列的公比，若，则 n a0q 2234 3,21aaaa 345 aaa . 7（2009 陕西卷文） 已知数列满足， . n a * 1 12 12, 2 nn n aa aaanN 2 令，证明：是等比数列； 1nnn baa n b ()求的通项公式。 n

4、a 8（2008 江西卷 5） 在数列中， ，则 n a 1 2a 1 1 ln(1) nn aa n n a 9 9（四川卷（四川卷 1616） 设数列中，则通项 _。 n a 11 2,1 nn aaan n a 1 1 2 n n 1010 以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数 n a)(,( 1 NnaaP nnn 的图象上，数列满足条件：，)0( ,2kkxy n b 1 () nnn baa nN 求证：数列是等比数列； n b 设数列、的前项和分别为、，若，求的值 n a n bn n S n T 46 TS 9 5 Sk 借鉴试题3 11 .设为等比数列，已知，。 n a

5、 nnn aaannaT 121 2) 1(1 1 T4 2 T （）求数列的首项和通项公式； （）求数列的通项公式。 n a n T 1212 设函数，数列满足 21 123 ( ) n n f xaa xa xa x 1 (0) 2 f n a ，则数列的通项等于 2* (1)() n fn a nN n a n a 1 (1)n n 13 数列的前项和为。 n an * 11 ,1,2() nnn SaaSnN （1）求数列的通项； n a n a （2）求数列的前项和。 n nan n T 1414 若数列的通项公式为，的最大值为第 x 项，最小项 n a)( 5 2 4 5 2 5

6、122 Nna nn n n a 为第 y 项，则 x+y 等于 数列的前 n 项和求法： 公式法 1（2010 南京二模） 等比数列 n a的公比q0，已知 111 16 nmm aaaa ，则 n a的前四项和是 2.(2009(2009 陕西卷理陕西卷理) ) 设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x,令lg nn ax， 则 1299 aaa的值为 . 答案：答案：-2 3（2009 陕西卷文） 设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x,则 12n xxx的值为 借鉴试题4 1 1n 4

7、对正数 n，设曲线在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为，则数列(1) n yxx n a 的前 n 项和的公式是=_ 1 n a n n S 5当1，表示把“四舍五入”到个位的近似值，如x g xx 当为正整数时，集合 g 0.48 =0,g2 =1,g 2.76 =3,g 4 =4,n 中所有元素之和为，则 . n 1 M|, 2k gkn kN n S 5 S 周期法 的值为则连乘积满足已知数列 20102009321 * 11 ),( 1 1 , 24.aaaaaNn a a aaa n n nn 2（2010 苏北四市三模） 在数列中，若对任意的均有为定值（） ，且 n an

8、12nnn aaa n N ，则此数列的前 100 项的和.299 7998 2,3,4aaa n a 100 S 分组求和分组求和 1 1已知数列 n x的首项 1 3x ，通项2n n xpnq（, ,nNp q 为常数） ，且 145 ,x xx成等差数列，求： （）, p q的值； （）数列 n x的前n项的和 n S的公 式。 a a 与与 s s 的关系的关系 nn 已知数列的前 n 项和分别为, nn ba 则数列的),(C402B5A, * 10001000 NnbaAbBaBA nnnnnnnn n ，记，且 n c 前 1000 项的和为 2010 拆项法拆项法 .已知二次

9、函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前( )yf x ( ) 62fxx n a n 项和为，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公 n S( ,)() n n SnN ( )yf x n a 式； 借鉴试题5 ()设,是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 小正整数 m； 数列的单调性问题数列的单调性问题 1 1（20102010 泰州一模）泰州一模） 通项公式为的数列，若满足，且对 2 n aann n a 12345 aaaaa 1nn aa 恒成立，则实数的取值范围是_8n a 11 (,) 917 2（2

10、0102010 苏北四市一模）苏北四市一模） 已知数列是等比数列，为其前项和 n a n Sn （1）若，成等差数列，证明，也成等差数列； 4 S 10 S 7 S 1 a 7 a 4 a （2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取 3 3 2 S 6 21 16 S 2 nn ban n b 值范围 解：设数列的公比为， n aq 因为，成等差数列，所以，且 4 S 10 S 7 S1q 7410 2SSS 所以， q qa q qa q qa 1 1 1 1 1 12 7 1 4 1 10 1 因为，所以 4分0q 63 21qq 所以，即 36 111 2aa qa q 147 2aaa

11、 所以也成等差数列 6 分 174 ,a a a （2）因为， 3 3 2 S 6 21 16 S 所以， 2 3 1 1 3 1 q qa ， 16 21 1 1 6 1 q qa 由，得，所以，代入，得 3 7 1 8 q 2 1 q2 1 a 借鉴试题6 所以， 8 分 1 2 1 2 n n a 又因为，所以， 2 nab nn 2 1 2 1 2nb n n 由题意可知对任意，数列单调递减， * nN n b 所以，即， nn bb 1 2 1 2 1 2n n 2 1 2 1 2n n 即对任意恒成立， 10 分 1 621 2 n n * nN 当是奇数时，当，取得最大值n (2

12、1)2 6 n n 1n 时 (21)2 6 n n ， 所以； 12 分1 当是偶数时， ，当，取得最小值，n (21)2 6 n n 2n 时 (21)2 6 n n10 3 所以 3 10 综上可知，即实数的取值范围是14 分 10 1 3 10 ( 1,) 3 新型数列的研究 1（2010 苏北四市二模） 设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数 n S n an 2n n S S * nN 列” （1）若数列是首项为 2，公比为 4 的等比数列，试判断数列是否为“和等比数 2 n b n b 列” ； （2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”

13、n c 1 c(0)d d n c ， 试探究与之间的等量关系d 1 c 解：因为数列是首项为 2，公比为 4 的等比数列，所以， 2 n b121 22 42 n nnb 因此分21 n bn 借鉴试题7 设数列的前项和为，则，所以， n bn n T 2 n Tn 2 2 4 n Tn 2 4 n n T T 因此数列为“和等比数列” 6 分 n b (2) 设数列的前项和为，且， n cn n R 2 (0) n n R k k R 因为数列是等差数列，所以， n c 1 (1) 2 n n n Rncd 21 2 (21) 2 2 n nn Rncd 所以对于都成立， 1 2 1 2

14、(21) 2 2 (1) 2 n n nn ncd R k n n R ncd * nN 化简得，10 分 1 (4)(2)(2)0kdnkcd 则，因为，所以， 1 (4)0, (2)(2)0 kd kcd 0d 1 4,2kdc 因此与之间的等量关系为14 分d 1 c 1 2dc 2（北京 2009 高考） 设数列的通项公式为。数列定义如下：对于正整数 n a(,0) n apnq nNP n b m，是使得不等式成立的所有 n 中的最小值。 m b n am （）若，求； 11 , 23 pq 3 b （）若，求数列的前 2m 项和公式；2,1pq m b （）是否存在 p 和 q，使

15、得？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如32() m bmmN 果不存在，请说明理由。 【解析解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. （）由题意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 3 23 n成立的所有n中的最小整数为 7，即 3 7b . （）由题意，得21 n an， 对于正整数，由 n am，得 1 2 m n . 根据 m b的定义可知 借鉴试题8 当21mk时， * m bk kN；当2mk时， * 1

16、 m bkkN. 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm . （）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm及0p 得 mq n p . 32() m bmmN ,根据 m b的定义可知，对于任意的正整数m 都有 3132 mq mm p ，即231pqpmpq 对任意的正整数m都成立. 当310p （或310p ）时，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ， 这与上述结论矛盾！ 当310p ，即 1 3 p 时，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q . 存在p和q，使得32() m bmmN ；

17、 p和q的取值范围分别是 1 3 p ， 21 33 q 3 3 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：； n a 2 1 2 nn n aa a M是与n无关的常数 * ., n aMnN其中 (1)若是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间 n a n S 3 a 3 S n S 的关系； (2)设数的通项为，求M的取值范围；(4 分) n b52 , n nn bnbW且 4 定义：在数列an中，若 an2an12p， （n2，nN*，p 为常数） ，则称an为“等方差 借鉴试题9 数列” 下列是对“等方差数列”的有关判断： 若an是“等方差数列” ，则数列an

18、2是等差数列； (1)n是“等方差数列” ； 若an是“等方差数列” ，则数列akn（kN*，k 为常数）也是“等方差数列” ； 若an既是“等方差数列” ，又是等差数列，则该数列是常数数列 其中判断正确的序号是 5.5.（20092009 北京理）北京理） 已知数集 1212 ,1,2 nn Aa aaaaa n具有性质P；对任意的 ,1i jijn ， ij a a与 j i a a 两数中至少有一个属于A. （）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由； （）证明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （）证明：当5n 时， 1

19、2345 ,a a a a a成等比数列. 【解析解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （）由于3 4与 4 3 均不属于数集1,3,4，该数集不具有性质 P. 由于 6 6 1 2 3 6 1 2,1 3,1 6,2 3, , 2 3 1 2 3 6 都属于数集1,2,3,6， 该数集具有性质 P. （） 12 , n Aa aa具有性质 P， nn a a与 n n a a 中至少有一个属于 A， 由于 12 1 n aaa， nnn a aa，故 nn a aA. w.w.w.k.s.5

20、.u.c.o.m 从而1 n n a A a ， 1 1a . 12 1 n aaa， knn a aa，故2,3, kn a aA kn. 由 A 具有性质 P 可知1,2,3, n k a A kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 借鉴试题10 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 从而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa ， 12 111 12 n n n aaa a aaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，当5n 时，有 55 23 43 , aa aa aa ，即

21、 2 5243 aa aa， 125 1aaa， 34245 a aa aa， 34 a aA， 由 A 具有性质 P 可知 4 3 a A a 2 243 a aa，得 34 23 aa A aa ，且 3 2 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa ，即 12345 ,a a a a a是首项为 1，公比为 2 a成等比数 列.k.s.5. . 等差数列等差数列 等差数列及性质等差数列及性质 1 1 设记不超过的最大整数为,令=-，则 ，,Rxxxxxx 2 15 2 15 2 15 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等

22、比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2（2008 广东卷 4） 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ B ）n n S 24 4,20SSd A、2 B、3 C、6 D、7 借鉴试题11 3（2009 辽宁高考） 已知为等差数列，且-2=-1, =0,则公差 d= n a 7 a 4 a 3 a 4（2009 福建卷理） 等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于 2 5 5（20092009 辽宁卷文）辽宁卷文） 已知 n a为等差数列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d d

23、 1 2 6 已知等差数列中，求的值 n a1,16 497 aaa 12 a 7（2008 海南卷 13） 已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = _15 8（2009 湖南卷文） 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于 9 9（20102010 南通三模）南通三模） 已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 项. n a 5 6 1 a a n a 1010（20092009 全国卷全国卷理）理） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 5aa则 9 5 S S 9 . 解解： n a为等差

24、数列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 1111（20092009 安徽高考）安徽高考） 已知为等差数列，则等于 1212（20102010 扬州一模）扬州一模） 借鉴试题12 等差数列中，若, ， n a 12 4aa 910 36aa 则 . 10 S100 1313（20092009 全国高考）全国高考） 设等差数列的前项和为。若，则_. n an n S 9 72S 249 aaa 1414 .在等差数列中，则 . n a 2 2,16 610a axx 是方程的两根， 5691213 aaaaa 15 知数列为等差数列，且，则_ n a 1713 4aaa 212 tan()aa

25、 1616（20082008 陕西卷陕西卷 4 4） 已知是等差数列，则该数列前 10 项和等于（ n a 12 4aa 78 28aa 10 S B ） A64B100C110D120 1717已知，数列的前 n 项和为，则使的 n 的最小值是 *3 211 n an n N n a n S0 n S 1818（2008 北京卷 7） 已知等差数列中，若，则数列的前 5 项和等 n a 2 6a 5 15a 2nn ba n b 于 1919（20082008 安徽卷安徽卷 1515） 在数列在中，,其中为常 n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn * nN, a b 数，

26、则 1ab 等差数列先证后求的问题等差数列先证后求的问题 可化成的等差数列 1数列的通项公式是,其前项和为,则数列的前 11 项和为 . n a1 2 n an n n s n Sn 借鉴试题13 2 等差数列中，是其前 n 项和，则的值为 n a n S 1 2008a 20072005 2 20072005 SS 2008 S _ 3 3（20092009 江西高考）江西高考）2009 江西卷理）数列 n a的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n项和为 n S，则 30 S为 A470 B490 C495 D510 答案：A 【解析】由于 22 cossin 33

27、 nn 以 3 为周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故选 A 4 4（20092009 江西高考）江西高考） 1 数列 n a 的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前 n 项和为 n S . (1) 求 n S ; (2) 3 , 4 n n n S b n 求数列 n b 的前 n 项和 n T . 解: (1) 由于 22 2 cossincos 333 nnn ,故 312345632313 2

28、22222 222 ()()() 1245(32)(31) (3 )(6 )(3 ) ) 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185(94) 2222 kkk , 3133 (49 ) , 2 kkk kk SSa 2 323131 (49 )(31)1321 , 22236 kkk kkkk SSak 借鉴试题14 故 1 ,32 36 (1)(1 3 ) ,31 6 (34) ,3 6 n n nk nn Snk nn nk ( * kN) (2) 3 94 , 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 , 2 444 n n n T 1 12294

29、 413, 244 n n n T 两式相减得 12321 99 1999419419 44 313138, 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 . 33 22 n nn n T 分组求和分组求和 1 1已知数列 n x的首项 1 3x ，通项2n n xpnq（, ,nNp q 为常数） ，且 145 ,x xx成等差数列，求： （）, p q的值； （）数列 n x的前n项的和 n S的公 式。 拆项法求和拆项法求和 1 1 已知函数（且）的图象恒过定点（h，k） ，数列（）的 x axf)(0a1a n a0 n a 首项为 k，且前 n

30、项和满足（） ， n S 11 nnnn SSSS2n （1）求数列的通项公式； n a （2）数列的前 n 项和为，问满足的最小正整数 n 是多少？ 1 1 nna a n T 2009 1000 n T 2（2010 苏北四市三模） 已知数列是各项均不为 0 的等差数列， n S为其前n项和，且满足 n a 2 21nn aS ，数列的前 n 项和为. 1 1 n nn b aa n b n T 借鉴试题15 （1）求数列的通项公式及数列的前 n 项和为；ks.5u n a n b n T （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n(1)mn 1, , mn T T

31、T 的值；若不存在，请说明理由.,m n 解：（1）因为是等差数列，由， n a 2121 21 ()(21) (21) 2 n nnn aan aSna 又因为，所以， 2 分0 n a 21 n an 由，ks.5u 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 所以 6 分 111111 (1) 2335212121 n n T nnn (2)由(1)知， 所以， 21 n n T n 1 1 , 32121 mn mn TTT mn 若成等比数列，则，即8 1, , mn T T T 2 1 ()() 213 21 mn mn 2 2 44163 m

32、n mmn 分 解法一：由，可得， 2 2 44163 mn mmn 2 2 3241mm nm 所以， 12 分ks.5u 2 2410mm 从而：，又，且，所以，此时 66 11 22 m mN1m 2m 12n 故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。16 分2m 12n n T 1, , mn T T T 解法二：因为，故，即，12 11 3 636 6 n n n 2 2 1 4416 m mm 2 2410mm 分 从而：， （以下同上） 数列满足： 66 11 22 m n a 77 1 1 1 21(2 3 4) n n aan a 、 借鉴试题16 3 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前( )yf x ( ) 62fxx n a n 项和为，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公 n S( ,)() n n SnN ( )yf x n a 式； ()设,是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 小正整数 m；