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1、第五章 特征值与特征向量第二章 矩阵1、用高斯消元法判断下列线性方程组是否有解，并在有解的情况下，求出其全部解.(1) ;(2) ;(3) ;（4） ;2、问常数取何值时, 方程组无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其全部解.3、对于下列线性方程组，问：取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其全部解.（1） (2) 4、求解下列矩阵的乘积：（1）；（2） ；（3）； （4）.5、设12矩阵，则计算，.6、已知矩阵, 计算7、已知矩阵，计算.8、已知，计算.9、设，矩阵，为正整数，计算矩阵的行列式.10、已知矩阵，分别计算(为正整数).11、求平方等于零矩
2、阵的所有二阶矩阵.12、求与可交换的全体二阶矩阵.13、已知：是对角元互不相等的阶对角矩阵，即，当时，.证明：与可交换的矩阵必是对角矩阵.14、证明以下命题：（1）若是主对角元全为零的上三角矩阵，则也是主对角元全为零的上三角矩阵；（2）主对角元全为1的上三角矩阵的乘积，仍是主对角元为1的上三角矩阵.15、证明：. 16、对于任意的阶矩阵,证明：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为对称矩阵和反对陈矩阵之和.17、设为方阵，且为对称矩阵，,证明是对称矩阵.18、设为阶反对称阵，证明：对于任意的维列向量，.19、设为方阵，且为对称矩阵，为反对称矩阵，证明：（1）是一个反对称矩阵；（2）对于
3、任意的正整数，为对称矩阵；（3）若为偶数，为对称矩阵，若为奇数，为反对称矩阵.20、设都是对合矩阵（即），证明：乘积是对合矩阵的充分必要条件是可交换.21、设均为阶称矩阵，且满足以及，证明：为零矩阵.22、是一个阶矩阵，证明：的充要条件是 。由此可知：实对称矩阵的充要条件是.23、是一个阶矩阵，其中为对称矩阵，为反对称矩阵，且，证明：.24、用代数余子式方法求下列矩阵的逆矩阵：（1）(2) （3）25、设为阶可逆方阵，化简：26、设为阶方阵，且可逆，化简：.27、设（为正整数），证明：.28、设为阶方阵,且与均可逆，证明：.29、设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。30、已知为4阶方
4、阵，且，求 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）.31、设方阵满足方程，试证明：(1)可逆，并求出其逆;(2) 也可逆，并求出其逆.32、由上题，进一步证明若方阵满足方程，且不是方程的零跟，则可逆，并求其逆矩阵;33、假定阶方阵满足矩阵方程：，其中都是实数，证明：是可逆的，并求出其逆矩阵.34、设矩阵为同阶方阵，且满足，证明：可逆，并进一步证明.35、设矩阵为同阶方阵，已知，可逆，且有，求证可逆.36、设均为可逆方阵，证明：可逆，并给出逆矩阵的表达式.37、设矩阵，其中为维非零列向量，且，证明：（1）；（2）不可逆.38、用初等变换求解下列可逆矩阵的逆矩阵,其中(1)题分别用初等行、列两种
5、变换进行求解：.（1）（2） (3) 39、设为阶可逆矩阵，证明伴随矩阵满足以下性质：（1）；（2）；（3）；（4），为非零常数；（5）.40、设阶方阵的伴随矩阵为，证明：若，则.41、求解下列矩阵方程：（1）（2），(3) ; (4) 42、设矩阵且，求矩阵.43、设矩阵，矩阵满足，是三阶单位矩阵，试求矩阵.44、设矩阵，且有，试求矩阵.45、用分块矩阵的乘法，计算下列矩阵的乘积：（1）（2）46、设分块矩阵，其中分别是阶,阶可逆矩阵，证明：是可逆的，并求出.47、设其中均为可逆矩阵，求.48、设，其中分别是阶,阶可逆方阵，证明：是可逆的，并求出.49、由上题结论，证明可逆的下（上）三角矩阵
6、的逆矩阵也是下（上）三角矩阵.50、利用矩阵分块的方法和相关结论，求下列可逆矩阵的逆矩阵：（1） (2) ,.(3) ,（4）第二章 矩阵 自测题一、选择题：1、已知均为阶方阵，则必有 .(A) （B）(C) 时，或(D) ，或2、设为三阶方阵，且则 (A)4 (B) (C) 2 (D) 3、设均为阶方阵，满足，其中为阶单位矩阵，则必有 .(A) ； (B) ； (C) (D) 4、设均为阶方阵，且，则= .(A) （B） (C) (D) 5、设为阶可逆矩阵,为的伴随矩阵，在下列等式中正确的是 .(A) (B) (C) (D) 6、设矩阵，若可逆，则为 (A) （B） (C) (D) 二、填空题1、设都是5阶矩阵,且,则 . 2、 ， 则 = .3. 设，则 .4、，矩阵满足，= .5、设都是阶方阵,且则 . 6、设维向量，矩阵，则 .三、问常数取何值时, 方程组无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其全部解.四、设为阶反对称阵，若为奇数，则为对称阵，若为偶数，则为反对称阵.五、求 的逆矩阵.六、设，且，证明：是对称矩阵，且.七、设方阵满足,证明可逆,并求.八、设,求使.九、设是阶可逆矩阵，将的第行与第行对换后得到的矩阵记为.(1) 证明：矩阵可逆；(2) 求.十、利用分块方法求矩阵的逆矩阵：.28