线性代数与几何期末考试试题分类多媒体版.doc

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1、线性代数与几何期末考试试题分类多媒体版 20082014级线性代数与几何试题分类 一、行列式 2008级（12分） 01求1 a12c1001b21 2求d11?11x?11?1x?1?1 1x?11?1x?1?11?1 x 13多项式f(x)?3 1112x1?1中，x3的项为_ 21112x1 2009级（10分） 11?00 1?x ?41已知?201?004?x?2?0，求x ; 2求n阶行列式D? 00?11?21?x 10?01?2?4 2010级（13分） a?x11?101?x?111已知?0，求x ; 2求n阶行列式D?1?1?x10?111?x1 103590?01a?00

2、? 0?a00?0a3已知D?124?23，Aij是代数余子式，记x?A12?A22?A32,y?A11?A21?A31，则（x，y） 2011级（10分） x?1?1?1123?1x?1?11. D?3714. 2. 求方程?0的根. ?1?1x?1247?1?1?1x 2012级（10分） 11?1 1 D?1 1?a20?01?a1,(ab?0) 2 03?0 ?11?b 00?n11 2013级（10分） 011?11 a?x01 10 1a?x?1?0?1a?x?1101?11x? 2Dn? 111?01 111?10 2014级（10分） ?1?01. 设A?2?2000?a?1b

3、cd?100?ab?1cd, 计算2A12 2. D?. ?014abc?1d?015?abcd?1 利用行列式性质计算4阶以内，或简单n阶 二、矩阵 2008级（14分） 1. 设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则 (A) 当m?n时,行列式|AB|?0; (B) 当m?n时,行列式|AB|?0; (C) 当n?m时,行列式|AB|?0; (D) 当n?m时,行列式|AB|?0. ?001?2. 设矩阵B?010?,已知矩阵A相似于B,则秩(A?2I)与秩(A?I)之和等于 ?100? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. ?11?1?11?10?3.设矩阵A?112?,B

4、?,C?00,?21?12?3?00? ? X满足方程AXB?C?2XB, 求X. 2009级（17分） 1如果A,B均为可逆矩阵，且(AB)2?I，则下列各式中不正确的是（A）A?B?1 （B）ABA?B?1 （C）BAB?A?1 （D）(BA)2?I 2设A,B均为n阶方阵，且AB，则下述不正确的是（A）若|A|0，则存在可逆阵P，使得PB=I （B）存在可逆阵P与Q，使得PAQ=B （C）若AI，则|B|0 （D）若|A|>0，则|B|>0 3设A为4阶方阵，则下列结论错误的是（A）AA*?|A|I （B）若R(A)?2，则R(A*)?0 （C）|A*|?|A|3 （D）若|

5、A|?2，则|1?11A|? 24 ?1?2? 4解矩阵方程A*XA?2XA?8I，其中A?1? 2010级（20分） 1若A2?A?2E?0，则下列结论不正确的是 （A）A和AE均可逆 （B）A和A + 2E均可逆 （C）A+2E和AE均可逆 （D）A+E和A2E均可逆 2设n阶方阵A、B、C满足ABCE，则必有（A）CBAE （B）BCAE （C）BACE （D）ACBE 3若A可逆，则下列各式中正确的是 （A）AA*?0 （B）(2A)?1?2A?1 1?1（C）(A*)?1?A （D）(A?1)T?1?(AT)?1T A 4下列结论正确的是（A）若A，B为n阶方阵，且A与B相似，则A与

6、B合同. （B）若A为实对称阵，则A>0的充要条件是A的特征值全大于零. （C）若A，B为n阶方阵，且A与B等价，则A与B相似. （D）若n阶方阵A有n个特征值，则A与对角阵相似. ?202?5解矩阵方程XA=2X+A，其中A?040? ?202? 2011级（27分） 1. 设A, B互为逆矩阵，则下列说法不正确的是_. A. B?1*1A B. |A|? C. |A|?1 D. AB?BA |A|B| ?12?112. 设矩阵A?2?1?2748 ?a1 3设A?a2?a?3b1b2b300320?0?, 求|A100|. 4?3?b1b2b3d1?d2?,且|A|?1,|B|?3,

7、则|2A?B|=_ d3?c1?a1?c2?,B?a2?ac3?3 4设矩阵A满足A2?A?3I?O，则(A?2I)?1?_. 5. ?abb?bab设矩阵A?的秩为 ?bba?1，则必有_. A. a?2b?0 B. a?2b?0 C. a?b?0 D. a?b?0 ?111?11?112B?116设A?, ?. 求X使AX?B.?11?122? 2012级（23分） 1若A，B为n阶可逆方阵，则(AB)?1 （A）11?1?1nAB （B） （C） （D）AB(?1)AB ?1?1AB 2设A是三阶方阵，若A2?0，下列等式成立的是 （A）A?0 （B）R(A)?2 （C）A3?0 （D）

8、A?0 3若A，B为n阶可逆方阵, 则（A）AB=BA （B）存在可逆矩阵P，使得P?1AP?B （C）存在可逆矩阵C,使得CTAC?B （D）存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ?B ?1?1?12?,B?A?3A?2E，则B? ?23? 5设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3)，B?(?1?2?3, 4设A? ?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，如果A?1，那么B? ?0?10?6设A?100?，B?P?1AP，求B2012?2A2 ?00?1? 2013级（31分） 1设A为3阶方阵，且|A|?，则(3A)?1?2A*? 1 2 （A）?161644 （B）

9、 （C）? （D） 272733 2设A是可逆方阵，下列等式成立的是 （A）(2A)?1?2A?1 （B）AA*?0 （C）(A*)?1?1?1A （D）(A?1)T)?1?(AT)?1)T |A| 3若A，B为n阶非零矩阵，且AB=O，则A与B的秩（A）都等于n （B）必有一个小于零 （C）都小于n （D）一个小于n，一个等于n ?101?2026AX?E?A?X，则X4设A?，且?161? 5设A为n阶方阵且AAT?E,|A|?0，则|A?E|? ?1?11?，则?T?11?16设?为3维列向量，?T是?的转置. 若?T?1?11? ?10?1?0217设A，B均为方阵，且满足AB?A?B

10、，又A?，求B. ?1?2?1? 8证明题：设A，B均为非零阵且A为m?n阵，若AB=O，则R(A)?R(B)?n 2014级（24分） 1. 设A,B均为n阶方阵，且满足AB?O，则必有. A. A?O，或B?O B. A?B?O C. A?0，或B?0 D. |A|?|B|?0 2. 已知n阶方阵A满足A2?A?2E?O,则. A. A?E与A?2E均可逆 B. A与E?A均可逆 C. A可逆，E?A不可逆 D. A不可逆，E?A可逆 3设A为三阶方阵，A*为A为伴随矩阵，且|A|?, 求?3A?(2A)*. 4. 设4阶行列式?1?2?3?1?m,?1?2?2?3?n,则4阶行列式?1?

11、2?3?1?2?. 12?1 ?302? 5. 设3阶方阵A, B满足AB?2A?E,且B?030?,求A. ? ?103? 6. 设A?(aij)是3阶非零矩阵，Aij是元素aij的代数余子式，且 aij?Aij?0(i,j?1,2,3)，计算A的行列式|A|. 1矩阵方程（含逆矩阵和矩阵乘积）； 2方阵的行列式； 3利用性质求矩阵的秩（一般不单独求秩）； 4关于矩阵乘积的“奇怪”性质的一些概念题。 三、向量组和解方程组 2008级（39分） 1. 若四元齐次线性方程组Ax?0的解都可以表示为k(1,1,1,1)T(k为任意常数),则 (A) R(A)?0; (B) R(A)?1; (C)

12、R(A)?2; (D) R(A)?3. 2. 设向量组A:?1,?2,?3,?4线性无关,向量组B:?1?1?2,?2?2?3 ?3?3?4,?4?4?1,则 (A) B是线性相关组; (B) B的线性相关性不能确定; (C) B是线性无关组; (D) A组不一定可由B组线性表示. 3.求向量组?1?(1,1,1,1)T,?2?(0,1,2,2)T,?3?(?1,0,1,1)T,?4?(1,2,1,2)T 的一个最大无关组. ? 4.求方程组 ?x1?2x2 ?x4?1 ?2x1?3x2?x3?3x4?2 的通解. ?3x1?5x2?x3?4x4?1 5.求当?为何值时,下列方程组无解?有唯一

13、解?有无穷多解? ?x1?x2?(1?)x3? ?x1?(1?)x2?x3?3. ?(1?)x1?x2?x3?0 6.不指出具体交点,证明:平面上三条不同的直线 ax?by?c?0,bx?cy?a?0,cx?ay?b?0 相交于一点的充要条件是a?b?c?0. 2009级（42分） 1下列叙述正确的是（A）?1,?2,?3和?1?2,?2?3,?3?1的相关性相同. （B）?1,?2,?3,?4和?1?2,?2?3,?3?4,?4?1的相关性相同. （C）若?1,?2,?3无关，?1,?2,?3无关，则?1?1,?2?2,?3?3也无关. （D）若?1,?2,?3相关，?1,?2,?3相关，则

14、?1?1,?2?2,?3?3也相关. 2设A是n阶方阵，下列结论错误的是 （A）非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是R(A)= R(A:b) （B）若非齐次线性方程组AXb有解，则|A|0 （C）若非齐次线性方程组AXb无解，则|A|0 （D）非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是|A|0 3设4元非齐次线性方程组AXb的系数矩阵的秩为3，?1?(1,2,3,4)T， ?2?(2,3,4,5)T是它的两个解，则AXb的通解X 4求?1?(1,2,?3,5),?2?(3,?1,?3,1),?3?(5,?3,1,?1),?4?(?1,4,1,7)的秩和一个极大无关组. ?x1?x3?x5?0

15、?2x?x?3x?2x?2x?0?123455求方程组?的通解. ?3x1?x2?2x3?5x4?0 ?x1?x2?3x4?0 6讨论a，b为何值时，下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解（不求方程的解）. ?x1?x2?x3?x4?1?x2?x3?2x4?1? ?2x?3x?(a?2)x?4x?b?3234?1 ?3x1?5x2?x3?(a?8)x4?5 7设?1,?2是齐次方程组AX=0的基础解系，证明：?1?2,?1?2也是AX=0的基础解系. 8若向量组?1,?2,?,?n线性相关，则?1?2,?2?3,?,?n?1线性相关. 2010级（39分） 1下列叙述正确的是（A）?1,?2,?

16、3和?1?2,?2?3,?3?1的相关性相同. （B）?1,?2,?3,?4和?1?2,?2?3,?3?4,?4?1的相关性相同. （C）若?1,?2,?3无关，?1,?2,?3无关，则?1?1,?2?2,?3?3也无关. （D）若?1,?2,?3相关，?1,?2,?3相关，则?1?1,?2?2,?3?3也相关. 2设A是mn矩阵， b是m维非零列向量，下列命题正确的是（A）若AX0只有零解，则AXb有唯一解 （B）AX0有非零解的充要条件是|A|0 （C）AXb有唯一解的充要条件是R(A)=n （D）若AXb有两个不同的解，则AX0有无穷多解 3求?1?(1,0,?1,0),?2?(0,1,

17、1,2),?3?(2,3,5,8),?4?(1,1,?2,1)的秩和一个极大无关组. ?x1?2x2?3x3?x4?0?2x?3x?x?3x?0?12344求方程组?的通解. ?x?2x?4x?5x?0234?1 ?2x1?3x2?2x3?3x4?0 5讨论a，b为何值时，下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解. ?2x1?(a?2)x2?(b?2)x3?3? ?x1?x2?x3?1 ?3ax?(a?2b)x?323? 6若?1,?2,?3是方程组AX0的基础解系，则?1,?1?2,?1?2?3也是AX0的基础解系。 7证明向量组?1,?2,?3和?1?2,?2?3,?3?1的线性相关性相同。

18、2011级（28分） 1. 求向量组?1?(1,?1,2,1)T,?2?(2,?2,4,?1)T,?3?(3,0,6,?3)T,?4?(0,3,0,0)T的一个极 大无关组. ?x1?x2?2x3?02记方程组?x1?x2?x3?0的系数矩阵为?x?x?x?023?1A，若存在三阶矩阵B?O，使得AB?O， 则_. A. ?2且|B|?0 B. ?2且|B|?0 C. ?1且|B|?0 D. ?1且|B|?0 ?x1?x2?x3?1 23已知方程组?x1?kx2?x3?k, ?3?x1?x2?kx3?k问当k为何值时，该方程组： (1)有唯一解 (2)无解； (3)有无解多解？并求通解. 4.

19、 设向量组?1,?2,?,?r线性无关, 证明向量组?1?1,?2?1?2,?, ?r?1?2?r线性无关. 5. 设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，证明：当R(A)?n?1时，R(A*)?1. 2012级（34分） 1若有不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2?ks?s?k1?1?k2?2?ks?s?0成立，则 （A）?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s均线性无关； （B）?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s均线性相关； （C）?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s一个线性相关，一个线性无关； （D）?1?1,?2?2,?,?s?s线性相关. 2设n阶矩阵A的伴

20、随矩阵A*?0, 若1,2,3,4是非齐次线性方程组 AX=B的 互不相等的解，则对应的齐次方程组AX=O的基础解系 （A）仅含一个非零解向量 （B）含有两个线性无关的解向量 （C）含有三个线性无关的解向量 （D）不存在. ?(1?a)x1?x2?xn?0,?2x?(2?a)x?2x?0,?2n3设?1 ?nx1?nx2?(n?a)xn?0,(n?2)的基础解系含n-1个解，则a4求?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,1,1),?4?(1,2,4,7),?5?(1,1,4,5)的极大无关组. 5设?1?1?2?3,?2?1?2?2?3,?3?1?2?2?3?3

21、，若?1,?2,?3线性无关，则?1,?2,?3也线性无关。 ?x3?k?x1?6k为何值时方程组?4x1?x2?2x3?k?2有解，并在有解时求出全部解. ?6x?x?4x?2k?33?12 7设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2， 则当?2?0时，?1与A(?1?2)线性无关. 2013级（29分） 1若向量组?1,?2,?,?m线性无关，则下列结论不正确的是 （A）向量组?1,?2,?,?m的秩为m； （B）向量组?1,?2,?,?m的极大无关组是它本身； （C）向量组?1,?2,?,?m的子组必线性无关； （D）与?1,?2,?,?m等价的向量组必线性

22、无关. 2设有线性方程组AX?0和BX?0，其中A，B同型，现有4个命题： 若AX?0的解均是BX?0的解，则R(A)?R(B)； 若R(A)?R(B)，则AX?0的解均是BX?0的解； 若AX?0与BX?0同解，则R(A)?R(B)； 若R(A)?R(B)， 则AX?0与BX?0同解. 以上命题中正确的是 （A） （B） （C） （D） . 3求向量组?1?(1,0,2,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(2,1,3,2)T,?4?(2,5,?1,4)T,?5?(1,?1,3,?1)T 的秩和一个极大无关组. ?x1?2x2?x3?x4?x5?0?2x?4x?3x?x?x?0?234

23、54求方程组?1的通解. ?x?2x?x?3x?3x?02345?1 ?2x3?5x4?2x5?0 5讨论a，b为何值时下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解；并在有无穷 ?x1?2x2?3x3?x4?1?x?x?2x?3x?1?34多解时求出通解.?12 3x?x?x?2x?a4?123 ?2x1?3x2?x3?bx4?6 2014级（32分） 1. 设A, B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 AA的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 BA的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 CA的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 DA的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 ?1?0?

24、0?1?0,?1,?1,?2. 设?1?234?1?，则下列向量组线性相关的是 ?c?c?c?c?1?2?4?3? A. ?1,?2,?3 B. ?1,?2,?4 C. ?1,?3,?4 D. ?2,?3,?4 3. 设4维向量组：?1?(1,2,?1,2)T,?2?(2,1,4,?1)T,?3?(1,?1,5,?3)T, 并将其余向量表示为该极大无关组的线?4?(0,1,2,1)T. 求其一个极大无关组， 性组合. 4设n?1?1阶方阵A?0?0111001110?0?，则线性方程组1?1?Ax=b A. 有唯一解 B. 无解 C. 有无穷多解 D. 是否有解与b有关 5设n阶矩阵A的各行元

25、素之和为0, 且A的秩为n-1，又X0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，则Ax=b的通解为. ?1?0?6. 设A?0?aa1000a100?1?0?1?,b?，问：(1)当a为何值时，Ax=b无解？(2)当a为何?0?a?1?0? 值时，Ax=b有无穷多解？并求通解. 1求方程组的解（尤其含参数的情形）（基础解系和通解）； 2求向量组的秩和最大无关组（注意方法！）； 3方程组解的结构和性质的巧妙利用小题； 4证明题 四、特征值和二次型 2008级（24分） 1. 求一个正交变换,将二次型 f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3化为标准形 ?1?11?2. 已知A?24?

26、2?,B?0 ?3?35?0?00?20?,且A与B相似,则?_.02? 3. 若n阶矩阵A的每行元素之和均为a(a?0),则2A?1?3I有特征值_. 4.设向量组?1,?2,?,?m为正交向量组,证明它线性无关. 2009级（18分） 1下列结论不正确的是 （A）若A，B为实对称阵，且A与B相似，则A与B合同. （B）若实矩阵A与对角阵相似，则A为实对称阵. （C）若A为实对称阵，则A>0的充要条件是A的特征值全大于零. （D）若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似. 222已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)的矩阵A有 一个特

27、征值1，则该二次型是否为正定的？ ?17?2?2?3已知A?214?4?，求一个正交阵P，使得PTAP为对角阵. ?2?414? 2010级（15分） 1写出二次型f(x1,x2,x3,x4)?x?2?xixi?1对应的矩阵A= 2i i?1i?143 ?011?2已知A?101?，求一个正交阵P，使得PTAP为对角阵. ?110? 2011级（19分） 2?2?2?1000?25?4?0101设3阶矩阵A?与对角形矩阵?相似，且 ?2?45?001? ?1?x?k?为A的特征向量，则参数k=_. ?2? 2设A为n阶实对称矩阵，则下列说法不正确的是_. A. 矩阵A必与一个对角阵相似 B.

28、矩阵A必与一个对角阵合同 C. 若A的所有主子式全为正，则A是正定矩阵 D若A与正定矩阵等价，则A为正定矩阵 223已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?4x2?4x3?2ax2x3(a?0)，通过正交变换化为标准形 22，则参数a=_. f?6y12?2y2?2y3 224已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?3x2?3x3?4x2x3，通过正交变换化为标准形 22，求所用的正交变换. f?5y12?y2?y3 2012级（23分） 1二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2对应的矩阵2设A为三阶矩阵，?1,?2,?3是线性无关的三维列向量

29、，且满足 A?1?1?2?3，A?2?2?2?3，A?3?2?2?3?3. （1）求矩阵B，使得A(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B； （2）写出A的特征值. 223已知f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2. （1）求a的值；（2）求正交变换X?PY，把f(x1,x2,x3)化成标准形. 2013级（20分） 22 1已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2，则a2求正交变换X?PY，把下列二次型化成标准形，并判断其正定性. 22 f(x1,x2,x3)?x12?

30、2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3 3证明题：设?,?1,?2,?,?m均为n维向量，且?与?1,?2,?,?m每一个都正交，则 ?与?1,?2,?,?m的任意线性组合正交. 2014级（26分） 1. 下列说法错误的是. A. 实对称矩阵的特征值均为实数 B. 实反对称矩阵的特征值为零或虚数 C. 实正交矩阵的特征值的模为1 D. 若A与B相似，则A与B合同 2. 设A为4阶实对称矩阵，A2?A?O，且A的秩为3，则A合同于. ?1?1? ? 00? B.? A.?0?2? 0?3? ?1? ? ?2? C.?3? 0? ?1? ? 2? D.?3? 0? 3. 设A为3阶矩

31、阵，?1,?2为A的对应于特征值-1的两个线性无关的特征向量， ?3为A的对应于特征值1的特征向量. 证明: ?1?2,?1?3,?2?3线性无关. 4求一个正交变换，将下列二次型化为标准形： 222 f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3. 1用正交阵化实对称阵为对角阵，或用正交变换（不是别的变换!?!）求二次型的标准形（包含判断正定性）； 2特征值和特征向量的性质的灵活应用小题； 3证明题。 五、向量代数和空间解析几何 2008级（16分） ?1. 已知|a|?3,|b|?4,且a?b,则 |(a?b)?(a?b)|?_. 2. 半球面z?x2?y2?

32、ax?0截下部分在xOy上的投影为 (A) x2?y2?a2; (B) x2?y2?a2; (C) x2?y2?ax; (D) x2?y2?ax. 3. 将(y?a)?z2?R2(R?a)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面方程为_. ?2x?3y?4z?0?5x?y?3z?1?04.先证两直线?与?平行,再求所在平面的方程. 3x?4y?z?0x?7y?5z?1?0? 2009级（13分） 1求过点M(1,2,1)且与直线l:?x?y?2z?2?0垂直的平面方程. ?x?2y?z?1?0 ?x2?y2?12空间曲线?在xoy面上的投影柱面方程是 2x?3y?3z?6?3已知|a|?3,|b|?5,

33、(a?b)?(a?b)，则2010级（13分） ?1已知a?(1,?2,1),b?(?1,1,?),且|a?b|?|a?b|，则= 2 z? z?xoy面上的投影曲线方程是 3求过点A(1,1,1)且平行于直线l1:? 2011级（16分） ?b?_. 1. 设a?3i?4k,b?i?j?2k，则Prja?x?y?2z?1?0的直线方程. x?2y?z?1?0? A. B. 1 C. D. ?1 2. 求以A(1, 1, 1), B(3, 0, 2), C(2, 2, 1)为顶点的三角形的面积. 3. 求过点(1, 2, 3)且与平面x?2y?z?5?0垂直的直线方程. 4. 曲面z?6?2x

34、2?y2与z?x2?2y2的交线在xOy坐标面内的投影曲线方程为_ 2012级（10分） ?1设a?3,b?4,a?b，(3a?b)?(a?2b)? 2求过点M(2,2,5)且与直线l: 2013级（10分） x?1yz?1?垂直相交的直线方程. 3?13 1已知直线l平行于平面?1:x?y?2z?1?0和?2:x?2y?z?1?0且过点A(1,1,1)，求直线l的方程. 2过点M(2,2,5)且与直线l1:? 2014级（8分） 1曲线ez?y2关于Oz轴旋转而成的旋转曲面方程为. 2已知平面?1:2x?y?z?6?0与平面?2:x?y?cz?5?0垂直，求过点M0(c,c,c)且与这两个平面平行的直线方程（对称式）. ?2x?y?2z?1?0?平行的直线l的一个方向向量s? ?x?y?z?1?0 1向量的线性运算、数量积和矢量积； 2平面方程和空间直线方程； 3曲面（旋转曲面和柱面）、空间曲线的投影和投影柱面方程。