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1、反证法,小故事:,中国古代有一个叫路边苦李的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.,王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样的推理方法?,定义:,在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,反证法的步骤,反设,归谬,结论,练习：说出下
2、列结论的反面：,ab 2. a b 3. a 0 4. d是正数 5.至少有一个 6.至多有一个,a不垂直于b,4. d不是正数,即d 0,3. a 0,5.一个也没有,6.至少有两个,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.,不是,不都是,不大于,不小于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某个x不成立,存在某个x,成立,不等于,某个,例1:,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.
3、,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与“_ _”矛盾.,所以假设不成立,即求证的命题正确.,l3与l2 不相交.,l3l2,l1l2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,在ABC中，若ABAC， 则BC.如何说明呢？,于是BC正确.,方法的迁移,假设B=C，根据等角对等边得AB=AC，,这与已知条件ABAC矛盾，,所以假设B=C不正确,例2、求证:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60.,已知：,是的内角.,求证：,中至少有一个角 大于或等于60.,证明：,假设,中没有一个角大于 或等于60 .,三角形的内角和等于180,即
4、 60， 60， 60,这与 矛盾，,所以假设不正确 ，,所以原命题成立,则180 .,例3、已知：在ABC中，C=90. 求证： B一定是锐角.,证明：假设B不是锐角，即B是直角或钝角.,综合 和知假设不成立,所以B一定是锐角.,当B是直角，即B= 90时,当B是钝角，即B 90时,B+ C=90 +90=180, 于是 A+B+ C= A +180180, 这与三角形的内角和等于180相矛盾;,B+ C 90 +90=180, 于是 A+B+ C A +180180, 这与三角形的内角和等于180 相矛盾;,1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结论的否定是（ ） A、有两个内角是直
5、角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数,课堂练习:,C,D,证明:,因为,所以,3.如果ab0，那么,注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？,4、求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.,(1)你首先会选择哪一种证明方法?,(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?,(3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?,定
6、理,几何语言表示:ABEF,CDEF, ABCD,证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.,已知：如图，AB/EF，CD/EF， 求证：AB/CD,O,证明：,AB/EF，CD/EF,过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这 条直线平行”矛盾，,假设不成立,AB/CD,5、证明：若(x-a)(x-b)0,则x a且x b.,证明 假设_或_, 由于_时,_, 与 (x-a)(x-b)0矛盾, 又_时,_, 与(x-a)(x-b)0矛盾, 所以假设不成立,从而_.,x=a,x=b,x=a,(x-a)(x-b)=0,x=b,(x-a)
7、(x-b)=0,x a且x b,6、已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l1l2,l2l3, 求证:1=2,l1,l2,l3,l,1,2,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.,提高,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有 OPAB，OPCD，,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。,一般地，假设原命题不成立，,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。,其过程包括：,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；,方法小结：,其中导出矛盾是关键，常见的归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,练一练：,1、求证：垂直于同一条直线的两条直线平行.,2、证明不存在整数m,n,使得 成立.,小结:,反证法的一般步骤:,运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定,