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1、双因素方差分析方法,双因素试验的方差分析,在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。,例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。,统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。,我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。,无交互作用的双因素试验的方差分析,数学模型,假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2
2、，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，.Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表,双因素无重复（无交互作用）试验资料表,无交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。,其中,所有期望值的总平均,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,特性：,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著 影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差
3、平方和的分解定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。,称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。,称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。,可推得：,将 的自由度分别记作,，则,若假设 成立，则：,对给定的检验水平 ，,拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。,拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,注意,各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,简便计算式：,其中：,例1 设甲、乙、丙
4、、丁四个工人操作机器、各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？,解 基本计算如原表,结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。,例1的上机操作,对应例1 的数据输入方式,原始数据，行因素水平，列因素水平,（A）,（B）,工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。,有交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。,有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水 平的搭配必须作重复试验。,处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理， 即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。,观测值,总
5、平均,因素A 的效应,因素B 的效应,交互作用 的效应,试验误差,有交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,其中,所有期望值的总平均,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,交互效应,特性：,要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差平方和的分解定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和，反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，
6、反映试验误差对试验指标的影响。,若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设 成立，则,则,可推得：,由 作右侧假设检验来考察各因素及因素 间的交互作用对试验指标的影响力.,双因素有重复（有交互作用）试验资料表,因素 A,因素 B,双因素（有重复）试验方差分析表,各离差平方和的计算公式参看出P180_181,这里,例3 P183 例题2,因素A（能量）,因素 B（蛋白质）,输入数据时，C2表示行因素 水平，C3表示列因素水平。 第几次重复不必列明，软件 自会识别。,结果显示如P185,均0.01,饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同 及两者的交互作用对鱼的体重的影响极 有统计意义。,各因素，各水平，各交互作用下的均值。,作业 P195 3 4（借助软件完成） 预习第三节 正交试验设计 及其统计分析,