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1、,第5章 刚体的定轴转动,本章内容：,5.1 刚体和刚体的基本运动,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,刚体的运动形式：平动、转动 .,1、平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 . 如：沿直线运动的车厢；汽车的雨水刷。,5.1 刚体和刚体的基本运动, 理想化模型,5.1.1 刚体的概念,5.1.2 刚体的平动和定轴转动,2、转动：刚体中所有的点都绕同一直线做
2、圆周运动.,非定轴转动,定轴转动,5.1.3刚体绕定轴的转动,角坐标,一、描述刚体绕定轴转动的角量,(运动学方程),角速度,角加速度,方向: 右手螺旋方向,刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 .,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同.,定轴转动的特点,沿逆时针方向转动0 ；反之0。,二 匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,三 角量与线量的关系,M,刚体,z,O,rm,任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞
3、轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令 ，即 ，积分,得,当t=300s 时,所
4、以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转数,5.2.1 力矩,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,力,改变质点的运动状态,质点获得加速度,力矩,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,方向：右手螺旋法则,力矩,大小：,取其在转动平面内的分力 (垂直于Z轴）产生力矩。,对于作定轴转动的刚体，也可用力矩的正负表示其方向：,右手螺旋法则,从 沿小于角旋转到 ， 大拇指指向为力矩方向。,1、当力平行于转轴或通过转轴时，对转轴的力矩M为0.,2、若有几个力同时作用在刚体上，则合力矩等于这几个外力矩的代数和.,3、内力力矩之和为0.,5.2.2 刚体绕定轴转动微分方程,第
5、k个质元,切线方向,在上式两边同乘以 rk,对所有质元求和,内力矩之和为0,转动惯量Jz,rk,刚体的转动定律：刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩之和。,外力矩之和,mk,1. 是矢量式（但在定轴转动中各物理量的正负表示方向）。,2. 具有瞬时性。,3. M、J、是对同一轴而言的。,4.与牛顿第二定律比较：,5.2.3、转动惯量Jz,2、转动惯量的定义：,单位：千克米2 ，kg m2,质量不连续分布,质量连续分布,1、意义：描述刚体在转动过程中惯性大小的物理量。,3、刚体的转动惯量与哪些物理量有关？,.与刚体总质量有关。,.与质量对轴的分布有关。,.与轴
6、的位置有关。,例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量J。,解：,由转动惯量的定义,4、转动惯量的计算,.确定刚体的质量密度。,.建立坐标系，坐标原点为轴上一点。,.确定质量元质量。,.由定义计算转动惯量。,例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。,解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,在距离坐标原点为x处取长度为 dx 的质量元 dm ,则质量元的质量,质量线密度：,建立如图坐标系，,由,绕细杆边缘轴的转动惯量为,J 与刚体的总质量有关,等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,例3：半径为
7、 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：,在圆环上取质量元 dm,圆环上各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为,R,例4：半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。,r,解：圆盘为面质量分布，单位面积的质量为：,分割质量元为圆环，,M,则圆环质量,圆环的半径为 r 宽度为 dr,由,则圆盘的转动惯量为：,由圆环的转动惯量公式,J与质量对轴的分布有关。,L,M,z,L,O,x,dx,M,5.2.4、平行轴定理,z,d,C,M,z,z,J 与转轴的位置有关,: 刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心轴的转动惯量,
8、:两轴间垂直距离,x,例1：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上， m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的拉力 T1、T2。（绳与滑轮间无相对滑动，绳子不能伸长）,5.2.5 转动定律的应用举例,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,T1,T2,联立方程（1）-（4）求解得,讨论：当 M=0时,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),例2,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦
9、不计， (见图),一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）,例3,求,滑轮转动角速度随时间变化的规律。,解,以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析,滑轮 m：,物体 m1：,物体 m2：,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,5.3.1 绕定轴转动刚体的动能,的动能为,刚体的总动能,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半.,质点的平动动能,5.3.2 力矩的功,O,根据功的定义,（力矩做功的微分形式）,对一有限过程,若 M = 恒量,
10、力的累积过程力矩的空间累积效应,P,5.3.3 转动动能定理, 合力矩功的效果,对于一有限过程,(2)内力矩作功之和为零。,(3)力矩的功就是力的功。,讨论,(1) 合力矩的功等于各力矩做功之和.,刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Ek2、Ek1。,4.列方程求解。,例1 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它静止在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,下摆到 角时直棒受到的力矩为
11、：,例2：质量为m、半径为R 的圆盘，以初角速度0在摩擦系数为 的水平面上绕质心轴转动，,解：以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。,始末两态动能：,摩擦力矩的功：将圆盘分割成无限多个圆环,问：圆盘转动几圈后静止。,每个圆环产生的摩擦力矩，,圆盘的面密度为：,圆环的质量为：,整个圆盘产生的摩擦力矩，,摩擦力矩的功：,由动能定理：,则转过的角度：,则转过的圈数：,其中,当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。,例3：如图所示的物体系中，劲度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始
12、下落,求下落 h 时物体的速度 v。,解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下落 h 时为重力 0 势点。,在质点平动中介绍了冲量的概念-力对时间的累积效应。在刚体转动中引入冲量矩的概念-力矩对时间的累积效应。,冲量：,冲量矩：,力矩对时间的积累效应。,单位：牛顿米秒， N m s,5.4.1 冲量矩,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,5.4.2 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,质点的动量矩与质点的动量及位矢 (取决于固定点的选择)有关,特例：质点作圆周运动,O,S,惯性参照系,
13、质点作平面运动时，对参考点的动量矩只有两个方向（向上或 向下），常写为代数量；此时动量矩也称为质点对过该点且垂直于 运动平面的轴的动量矩。,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,m,d1,d2,d3,A,B,C,解,方向：垂直向里,方向：垂直向里,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),2. 质点的动量矩定理,动量矩定理：某段时间内质点所受合力矩的冲量矩等于同时间内质点的动量矩的增量,说明,质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,对于一有限过程,3. 质点 动
14、量矩守恒定律,质点动量矩守恒,(1) 守恒条件,(2) 有心力的动量矩守恒。,讨论,例2：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,近日点,远日点,即,即,近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小，,5.4.2 刚体绕定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,质点对 Z 轴的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为,且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有相同的方向,(所有质元对 Z 轴的动量矩之和),2. 刚体
15、定轴转动的动量矩定理,对定轴转动刚体，Jz 为常量。,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,（动量矩定理微分形式）,1. 动量矩与动量是两个不同的物理量，,动量矩方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向。,3.,2.恒力矩情况：,时，若J也为一常量，则刚体的角速 度不变，刚体作惯性转动。,4.动量矩守恒定律，转动惯量发生变化的物体，,由于J =C，,例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。,再如：跳水运动员的“团身-展体”动作，当运动员
16、跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。,角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。,解：在力 F 冲击的瞬间，认为细杆还未摆起，重力不产生力矩，只有力 F 产生力矩，视为恒力矩。由角动量定理：,例1：一冲击力 F，冲击一质量为 m、长为 l、竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在竖直位置时杆的角速度。,例2：在摩擦系数为桌面上有细杆，质量为 m、长度为 l，以初始角速度 0 绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。,解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。,细杆的质量密度为：,分割质量元dm,
17、质元受的摩擦力矩,细杆受的摩擦力矩,始末两态的角动量为：,由角动量定理：,本题也可用运动学方法求解，由 M=J , 和 =0+ t, 求出 t = -0/ 。,例3、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度v0射入一静止悬于顶端细杆（长为L，质量为9m）的下端3L/4处,并嵌入其中,求(1)子弹与细杆开始共同运动的角速度.(2)子弹与细杆共同摆动能到达的最大角度,解: (1) 子弹射入细杆达共同角速度过程中动量矩守恒,(2) 子弹和细杆共同摆动过程中只有重力矩做功,机械能守恒.假设子弹与细杆共同摆动能到达的最大角度为，,设杆和子弹初始位置时质心所在位置为各自的重力势能零势能点，由机械能守恒定律得：,例4：人与转盘的转动惯量J0=60kgm2,伸臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 ，机械能是否守恒？,解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，,由转动惯量的减小，角速度增加。,在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。,