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1、,第二节 二重积分的计算,一 直角坐标系中的计算方法,二 极坐标系中的计算方法,1,谷风课件A,一 直角坐标系中的计算方法,计算二重积分的基本思想：化为两次定积分,分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。,x,y,可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为,可以证明：,其中dxdy称为面积元素。,2,谷风课件A,利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分,（1）当积分区域为,以下均设函数 且在D上连续。,如图所示：,相应的曲顶柱体如右图。,3,谷风课件A,在区间a，b内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：,底为,高为,其面积为,所以根据平行截面
2、面积为已知的立体的立体公式，得,4,谷风课件A,于是，得二重积分的计算公式：,类似地，若积分区域为,如右图所示，,则二重积分的计算,公式为,5,谷风课件A,总结：二重积分的计算就是转化为二次定积 分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关 键。这主要由积分区域D所确定。所谓,先积线，后积点,以第一种情况为例加以说明：,如图：,x,区间a,b是x的取值范围。,在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，,6,谷风课件A,后穿过的边界 是y的积分上限。,第二种情形可同理讨论。,对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。,如下图：,7,谷风课件A,不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
3、,法一 先y后x。,1,将积分区域投影到x轴上，得到x的范围0，1.,x,8,谷风课件A,所以,法二,将积分区域投影到y轴上，得到y的范围0，1.,1,y,于是,9,谷风课件A,所以,小结：在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。,10,谷风课件A,解：解方程组,得这条直线和抛物线的交点为 (8,4),(2,-2)，如右图。,1）先对y后对x积分：,8,得,所以,11,谷风课件A,-2,4,所以,小结：显然1）较2）麻烦。,12,谷风课件A,解：此三条直线的交点分别为(1,1)
4、，(0,1)，(0,0)，所围区域如右。,先对x后对y积分：,注意：若先对y后对x积分：,13,谷风课件A,的原函数无法用初等函数表示出来，因而此二重积分不能计算出来。,例4 交换下列二重积分的积分次序：,解：这是先对y后对x的积分，积分区域为,14,谷风课件A,故改变积分次序后得,二、极坐标系中的计算方法,1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分,如图所示的极坐标系中 的积分区域D，,过极点O引 射线和以极点为圆心的同心 圆，,它们将区域D分成许多,15,谷风课件A,在圆周 上任取一点 ，,其中,设其直角坐标为 ，,它们的关系为,所以,16,谷风课件A,因此,此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系 下的二重积分，,其中 为极坐标系中的面积元素。,2 化为二次积分,一般均是先对r积分再对积分，因而主要是 确定r、 的积分上下限，分情况讨论：,17,谷风课件A,（1）极点在区域D外，如图：,则,（2）极点在区域D的边界上，如图。,则,18,谷风课件A,（1）极点在区域D内，如图：,则,解：积分区域是如图所示的环域，用极坐标计算方便。,因而,19,谷风课件A,例6 计算 ，其中,解：积分区域是如图所示的圆域。,则,20,谷风课件A,一般地，当积分区域为圆域、环域或它们的 一部分，以及被积函数中含有 时，多采用 极坐标系下的计算会比较方便。,21,谷风课件A,