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1、1,弯 曲 变 形,第 七 章,目录,2,第七章 弯曲变形,7-1 概述,7-2 挠曲线的近似微分方程,7-3 用积分法求梁的变形,7-4 用叠加法求梁的变形,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,目录,3,7-1 概 述,7-1,目录,4,7-1 概 述,目录,5,7-1 概 述,目录,6,7-2 挠曲线的近似微分方程,1.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度y：截面形心在y方向的位移,向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆钟向为正,7-2,目录,7,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应
2、力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,7-2 挠曲线的近似微分方程,目录,8,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,7-2 挠曲线的近似微分方程,目录,9,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,7-2 挠曲线的近似微分方程,目录,10,7-3 用积分法求梁的变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,目录,11,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件（支承条件）,光滑连续条件 (两段梁的交界面),弹簧变形,7-3
3、用积分法求梁的变形,目录,12,解题步骤：, 建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向右，y 轴竖直向上；, 将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；, 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；, 根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；, 将要求的变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。,目录,13,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,7-3 用积分法求梁的变形,目录,14,4）由位移边界条
4、件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,7-3 用积分法求梁的变形,目录,15,例2 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。,EI,A,B,C,x,x,y,YA=ql/2,l/2,l/2,q,FB=ql/2,解：,7-3 用积分法求梁的变形,目录,16,EI,A,B,C,x,x,y,YA=ql/2,l/2,l/2,q,FB=ql/2,7-3 用积分法求梁的变形,目录,17,例3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,7-3 用积分法求梁的变
5、形,目录,18,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,7-3 用积分法求梁的变形,目录,19,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,7-3 用积分法求梁的变形,目录,20,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,7-3 用积分法求梁的变形,目录,21,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,7-3 用积分法求梁的变形,目录,22,例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？,A,C,D,P2,x1,x3,y,B,P1,l/2,l/4,l/4,x2,x,q,q,A,B,C,x,x,y,l,E
6、A,a,7-3 用积分法求梁的变形,目录,23,例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？,A,C,P,x3,y,B,l/2,l/2,x2,x,q,q,A,B,x1,x,y,l,l/2,x1,D,D,C,x2,x3,l/2,l/2,l,7-3 用积分法求梁的变形,目录,24,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,7-3 用积分法求梁的变形,目录,优点:数学方法；缺点：运算繁冗,25,7-4 用叠加法求梁的变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，
7、则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,7-4,目录,26,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,27,一、简单梁简单荷载下的变形,A,B,EI,l,A,B,EI,l,A,B,EI,l,m,P,q,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,28,A,B,m,A,B,l/2,A,B,EI,EI,EI,q,l/2,P,l/2,l/2,l/2,l/2,C,C,C,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,29,二、叠加法计算梁的变形,A,B,l/2,EI,l/2,
8、P,C,m=Pl,A,B,EI,l/2,l/2,C,A,B,l/2,EI,l/2,P,C,=,+,m=Pl,=,=,+,+,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,30,三、几种基本变化, 悬臂梁,a,b,A,B,P,C,EI,yB,31, 外伸梁,P,A,B,C,l,a,yc,yc1,Ba,A,B,l,a,P,Fs=P,M=Pa,P,B,B,C,B,C,C,Ba,yc1,P,32,例 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,33,3） 应用叠加法
9、，将简单载荷作用时的结果求和,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,34,例 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,35,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,36,例8 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。,A,B,C,2EI,a,a,P,EI,A,
10、C,2EI,a,B,C,P,Fs=P,Fs=P,a,B,P,EI,M=Pa,解：,C,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,37,A,B,C,2EI,a,a,P,EI,A,C,2EI,a,B,C,P,Fs=P,Fs=P,a,B,P,EI,M=Pa,C,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,38,例9 求图示外伸梁自由端的转角和挠度。,A,B,C,l,l/2,q,P=ql/2,A,B,l,l/2,P=ql/2,Fs=ql/2,M=Pl2/4,Fs,B,C,解：,B,C,P,q,EI,EI,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,39,讨 论,叠加法求变形有什么优缺点？,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,40,
11、7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,1.刚度条件,7-5,目录,梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。,土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即,41,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,7-5,目录,机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,42,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁
12、B 处的转角为：,解,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,例 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,43,例 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,44,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,目录,1）增大梁的抗弯刚度EI,因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大
13、截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。,45,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,选择合理的截面形状,目录,46,2）改善结构形式，减少弯矩数值,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,减小梁的跨度,因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。,A,B,EI,q,l,A,B,EI,l,q,47,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,48,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,49
14、,3）采用超静定结构,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,50,3）采用超静定结构,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,51,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,52,解,例 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建
15、立相当系统,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,53,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,54,例11 求图示结构中拉杆BC 的轴力。,B,C,A,EA,q,a,EI,l,B,A,EI,q,FNBC,解：,去掉BC 杆，带之以轴力FNBC。,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,55,例11 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协
16、调方程为：,物理关系,解,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,56,代入得补充方程：,确定A 端约束力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,57,确定B 端约束力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,58,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,59,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,1.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,7-5,目录,60,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,目录,例7 已知钢制圆轴
17、左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,61,例7 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,目录,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,62,2.提高梁刚度的措施,1）选择合理的截面形状,目录,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,63,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,目录,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,64,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,目录,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,65,3）采用超静定结构,目录,7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,66,小结,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念,2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,3、学会用变形比较法解简单超静定问题,目录,