排列组合公式50902[教师助手].ppt

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1、排列组合公式,排列组合公式 非降路径问题 组合恒等式,1,学校教课,排列与组合,从五个候选人中选出两个代表 把5本不同的书安排在书架上 从五个候选人中选出两个代表时,有10种可能的结果。 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 选出-组合;安排-排列,2,学校教课,一、排列组合公式,排列问题:从某个集合中有序地选取若干个元素的问题 组合问题:从某个集合中无序地选取若干个元素的问题 注意:可以重复 不能重复,3,学校教课,排列,无重排列 可重排列 从1,2,9中选取数字构成四位数,使得每位数字都不同,有多少个? 从1,2,9中选取数字构成四位数,使得不同数位上的数字可以相同,有多少个?,4,学

2、校教课,1、 无重排列,n个元素的r-无重排列数: 排列的长度r 计算(一般情形):乘法原理 r=n时,n个元素的全排列 r=0时 rn时,5,学校教课,2、可重排列,n个元素的r-可重排列数 计算(乘法原理),6,学校教课,例题,在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中,有多少个数含有数码1?又有多少个数不含数码1? 不含1:910 含1:1010-910+1,7,学校教课,例题,一个二元序列是由一些0和1所组成的序列。n码二元序列指该序列中数码的个数为n。试问,含有偶数个0的n码二元序列的个数是多少? 2n-1 考虑n码四元序列,即以0,1,2和3为其数码的序列。则含0和1的总

3、个数为偶数的序列有多少个? 4n/2,8,学校教课,例题,求n码四元序列中含有偶数个0的个数?,9,学校教课,放球问题,设nr,把r个不同的球放入n个不同的盒子,这里每一盒最多只能装一物,允许空盒。放球的方法数为多少? 第一个球有n种选法,第二个球有n-1种,等等,乘法原理 P(n,r),10,学校教课,放球问题,把r个不同的球放入n个不同的盒子,一个盒中可以放多个球,也允许空盒。放球的方法数为多少? 第一个球有n种选法,第二个球有n种,等等,乘法原理 nr 这里n和r的大小没有限制,11,学校教课,例子,将3封信向2个信箱投寄,有多少种投寄方法? 23=8 无序占位模型:不考虑盒子中的排列次

4、序,12,学校教课,放球问题,把r个不同的球放入n个不同的盒子,一个盒中可以放多个球,也允许空盒。考虑每个盒子中球的次序。放球的方法数为多少? 有序占位模型 有n种方法放第一个球,第一个球放入一个盒后,可以把这个球当成是一个添加的隔板,它把该盒分成两个盒,因此放第二个球有n+1种方法。等等 n(n+1)(n+2) (n+r-1)=nr F(n,r)r!,13,学校教课,例子,某车站有6个进站口,今有9人进站,有多少种不同的进站方法? 69=6714 七部汽车通过五间收费亭的方式数? 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子,全部旗都得展示出来,但并非所有的旗杆都得使用,问有多少种安排的方法?,14,

5、学校教课,放球问题,另解:把这样一个方法设想为r个不同的球和n-1个相同的盒间板的一个有序安排。,15,学校教课,组合,无重组合 可重组合 从a,b,c中选取2个不同元素,选法数是多少? 从a,b,c中选取5个元素,元素可以相同,选法数是多少?,16,学校教课,3、无重组合(Combination),n个元素的r-无重组合数 无重组合数与无重排列数的关系 计算 r=0时 r=n时 rn时,17,学校教课,组合数的推广,18,学校教课,几个记号,下阶乘函数,上阶乘函数,19,学校教课,计算,20,学校教课,例题,如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的内部交于一点,问这些对角线被它们的交点分成

6、多少条线段?,21,学校教课,多边形,22,学校教课,例题,对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 任选两条对角线,可能相交在多边形内部,可能交点为多边形的顶点,可能无交点(交点在多边形外) 任选四个顶点,对应一个交点,每个对角线分成两段 每个对角线是一段 35+C(10,4) 2=455,23,学校教课,例题,C(5,2)-5+C(5,4) 2=15,C(10,2)-10+C(10,4) 2=455,C(4,2)-4+C(4,4) 2=4,24,学校教课,4、可重组合,n个元素的r-可重组合 例子 计算 一一对应的思想,25,学校教课,推论,方程x1+x2+xn=r 的非负整数

7、解的个数。 nr时,此方程的正整数解的个数 n元集合的r-可重组合数,要求每个元素至少出现一次。 正整数r的n-长有序分拆的个数 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目,其中x1 3, x2 1,x3 0,x4 5。,26,学校教课,例题,从为数众多的一分币、二分币、一角币和二角币中,可以有多少种方法选出六枚来? F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84,27,学校教课,例题,某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕点,求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点? 某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕点,且要求每种糕点至少放一块。求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点?,28,

8、学校教课,例题,摇三个不同的骰子的时候,可能的结果的个数是多少? 63=216。 如果这三个骰子是没有区别的,则可能结果的个数是多少? 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 将r个骰子掷一次,总共可以掷出多少种不同结果? F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5),29,学校教课,有约束条件的排列:引例,用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上,问可以组成多少种不同的标志?,30,学校教课,5、有约束条件的排列,设有k个元素a1,a2,ak,由它们组成一个n-长的排列,其中对1ik,ai出现的次数为ni,

9、n1+n2 + +nk=n,求排列的总数。 求解方法1 求解方法2,31,学校教课,例题,五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方式? 如果只用这十三个短划和点中的七个,则有多少种不同的方式?,32,学校教课,例题,证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 提示:k!个物体,其中k个物体属于第一类,k个物体属于第二类, ,k个物体属于第(k-1)!类。,33,学校教课,推论,多项式(x1+x2+xn)r的展开式中有 项,其中项 的系数为 。,34,学校教课,例题,数1400有多少个正因数? 1400=23 52 7 (3+1)(2+1)(1+1)=24,35,学校教课,放球

10、问题,设nr,把r个相同的球放入n个不同的盒子使得每盒至多装一个球,方法数? 选盒子即可 C(n,r),36,学校教课,放球问题,把r个相同的球放入n个不同的盒子,每盒可以装任意多个球,方法数? 放这r个球,等价于从n个盒中选出r个来装这r个球而允许诸盒重复选取。 F(n,r)=C(n+r-1,r),37,学校教课,放球问题,把r个相同的球放入n个不同的盒子,每盒可以装任意多个球,方法数? 另解:把分配这r个球入n个盒子设想为这r个球和n-1个隔板的一个排列。球是相同的,隔板也是相同的。 C(n+r-1,r),38,学校教课,放球问题,设r n,把r个相同的球放入n个不同的盒子中,盒子中可以放

11、入任意多个球,但不允许空盒,方法数? 现在每个盒中放入一个球,再放剩下的r-n个球 C(r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1),39,学校教课,放球问题,设r n,把r个相同的球放入n个不同的盒子中,要求每一盒至少包含q个球,方法数? 现在每个盒中放入q个球,再放剩下的r-qn个球 C(r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(n-nq+r-1,n-1),40,学校教课,放球问题:例题,今有五封不同的信要经由一个讯道传送。又有总共15个空白要插在这些信之间而使得每两封信之间至少有三个空白。有多少种方法安排这些信和空白? 信的安排5!

12、 对一种信的安排,有4个信件位置,安排15个空白,要求每个信件位置至少有三个空白。 5!C(4-4 3+15-1,4-1)=5!C(6,3),41,学校教课,放球问题,有n个球,其中第一种颜色n1个,第二种颜色n2个, ,第k种颜色nk个。将这n个球放入n个不同的盒中,每一个盒装一个球。问分配方案数? 等价于这n个球的排列数。 另解:选盒子装每种颜色的球。,42,学校教课,放球问题,有r个球,其中第一种颜色n1个,第二种颜色n2个, ,第k种颜色nk个。将这r个球放入n个不同的盒中,每一个盒装一个球(rn)。问分配方案数? 方法一:先选盒子,再分配球。 方法二:针对每种颜色的球选盒子。,43,

13、学校教课,多重集合,通常的“集合”具有无重性。 在多重集中,同一个元素可以出现多次。 1,2,3是一个集合,而1,1,1,2,2,3不是一个集合,而是一个多重集,简记为31,22,13。 计算多重集的势时,出现多次的元素则需要按出现的次数计算。上面多重集的势为6。 可重组合与可重排列可以看作是多重集的组合与排列问题。,44,学校教课,可重排列与可重组合,n个元素a1,a2, ,an的r-无重组合(排列)可以看做多重集1a1, 1 a2, , 1 an的r-组合(排列) 。 n个元素a1,a2, ,an的r-可重组合(排列)可以看做多重集a1, a2, , an的r-组合(排列) 。 有限制的排

14、列问题可以看做多重集n1a1, n2 a2, ,nk ak的全排列。,45,学校教课,分组与分堆,46,学校教课,区分:固定分组,将12本(不同的)书平均分给A,B,C,D四个学生,每人三本,有多少种分法? 将12本书分给四个学生,使得A,B各得四本,C,D各得2本,有多少种分法? 将12本书分给四个学生,A得5本,B得4本,C得2本, D得1本,有多少种分法?,47,学校教课,区分:分堆,将12本书平均分成四堆有多少种分法? 将12本书分成四堆,有两堆各4本,另外两堆各2本,有多少种分法? 将12本书分成四堆,其本数分别为5,4,2,1,有多少种分法?,48,学校教课,区分:不固定分组,将1

15、2本书平均分给A,B,C,D四个学生,使得每人各得三本,有多少种分法? 将12本书分给A,B,C,D四个学生,使得有两个学生各得4本,有两个学生各得2本,有多少种分法? 将12本书分给A,B,C,D四个学生,使得有1人得5本,有一人得4本,有1人得两本,有1人得1本,有多少种分法?,49,学校教课,分组与分堆,固定分组: 无序分组:分堆 不定分组 固定分组与分堆的区别是讲不讲组间的次序,只在各组元素个数相等时有区别 固定分组与不定分组的区别是每个组的元素个数是不是确定,只在各组元素个数不等时才有区别。,50,学校教课,区分(一),将12本书分给四个学生,使得A,B各得四本,C,D各得2本,有多

16、少种分法? 将12本书分成四堆,有两堆各4本,另外两堆各2本,有多少种分法? 将12本书分给A,B,C,D四个学生,使得有两个学生各得4本,有两个学生各得2本,有多少种分法?,51,学校教课,区分(二),将12本书分给四个学生,A得5本,B得4本,C得2本, D得1本,有多少种分法? 将12本书分成四堆,其本数分别为5,4,2,1,有多少种分法? 将12本书分给A,B,C,D四个学生,使得有1人得5本,有一人得4本,有1人得两本,有1人得1本,有多少种分法?,52,学校教课,区分(三),将12本书平均分给A,B,C,D四个学生,每人三本,有多少种分法? 将12本书平均分成四堆有多少种分法? 将

17、12本书平均分给A,B,C,D四个学生,使得每人各得三本,有多少种分法?,53,学校教课,限距组合:引例,书架上有1-24共24卷百科全书,从其中选5卷使得任何两卷都不相继,这样的选法有多少种?,54,学校教课,6、限距组合,设A=1,2,n,它的任一r-无重组合均可以依自然顺序排出a1,a2, ,ar,其中a1a2 ar 。设k是非负整数,用f(k,n,r)表示A的一切满足条件ai+1-aik+1(1ir-1)的r-无重组合数,求f(k,n,r)。 求解思想:一一对应 k=0时,55,学校教课,例题,书架上有1-24共24卷百科全书,从其中选5卷使得任何两卷都不相继,这样的选法有多少种?,5

18、6,学校教课,7、圆排列,n个元素的r-无重圆排列数 圆排列与线排列的区别 计算,57,学校教课,例题,例1,把20个不同的钉子钉在鼓表面一周,订钉子的方式有 种。,例2,把20个不同的珍珠串成项链,串项链的方式有 种。,项链问题,58,学校教课,例 从1到300间取出3个不同的数,使它们的和被3整除,有多少种取法?,提示:将1到300这300个整数按照除以3的余数分成3组,考虑选出的3个数属于哪些组。,59,学校教课,例 下图中有多少个矩形?,60,学校教课,映射的个数,n元集X到m元集A的映射的个数 将X看作物件的集合,A看作盒子的集合。则一个映射表示把物件放入盒子的一种安排。 要求(1)

19、每个物体都要放入某个盒子;(2) 一个物体不得放入两个盒子;(3) 允许多个物体放入同一盒子;(4) 可以剩有空盒子。 若将X看作有标号的位置的集合,A看作排在这些位置的字母的组合,则一个映射对应一个长为n的字。 则(1)字长必须为n;(2)一个位置只能放一个字母;(3)多个位置可以重复出现同一字母;(4)有些字母有可能不出现。,61,学校教课,例题,n元集合X到m元集合A的映射的个数? 将n个物体放在m个的盒子中的不同放法? n元集合X到m元集合A的单射的个数? 把n个物体放入m个盒子,每个盒子至多放一个物体的安排有多少种? 3个物体分放到4个不同的盒子中,要求每个盒子至多放一个物体的放法数

20、?,62,学校教课,映射,设映射f:1,2, ,n 1,2, ,m(nm) (1) 若f是严格递增的,则不同的f有多少个? (2) 若f是不减的,则不同的f有多少个?,63,学校教课,例题,1、从A=a,b,c中任取两个不同的字母构成的字共有多少个? 2、m元集合的n元子集的个数? 3、平面上任三点都不共线的25个点,可形成多少条直线?可形成多少个三角形?,64,学校教课,例题,用26个英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的长为8位的单词?(其中,一个字母出现在单词中的次数不限),65,学校教课,例题,从一副52张扑克牌中任取13张得一手牌,在每一手牌中不考虑这13张牌的次序,则总共有

21、多少手不同的牌? 把一副52张扑克牌分给4个人,每人得13张,则总共有多少种不同的牌局?,66,学校教课,例题,用4个a,4个b,2个c和2个d这12个字母能组成多少个具有12个字母的字? 用字母a,b,c组成5个字母的字,每个字中a至多出现2次,b至多出现1次,c至多出现3次。这种字的个数是多少?,67,学校教课,例题,单词mississippi中字母的排列数为? 求多重集3a,2b,4c的8排列的个数?,68,学校教课,例题,求26个英文字母的全排列中,任意两个元音字母都不相邻的方案数?,69,学校教课,例题,Banach火柴盒问题:某数学家随身携带A,B两盒火柴,要用火柴时就随意从其中一

22、盒中取出一根。假定开始两个火柴盒各放有n根火柴,问在某一次当数学家发现拿出的那一个火柴盒变空时,另一盒中尚剩p(pn)根火柴的概率是多少?,70,学校教课,例题,10个人排成一排,其中有2个人不愿彼此挨着,求所有不同的排列的数目。 10!-29!或 8!A(9,2)=2903040 10个人围一圆桌入座,其中有2个人不愿彼此挨着就座,求所有不同的圆排列的数目。 9!-28!或7!A(8,2)=282240,71,学校教课,例题,安排10个男生和5个女生排成一排,使任意2个女生都不相邻的排法有多少种? A(10,10)A(11,5) 安排10个男生和5个女生围成圆圈入座,使任意2个女生都不相邻的

23、坐法有多少种?,72,学校教课,例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一个正方体的六个面染色,要求每个面染一种颜色,具有相同棱的面染成不同的颜色,则不同的染色方案有多少种?,分析:,一种颜色?,两种颜色?,三种颜色?,相对的面染成相同的颜色,只有一种方式,C(6,3),73,学校教课,四种颜色:,五种颜色:,六种颜色:,C(6,4),C(4,2),C(6,5),C(5,1)3!/2,C(6,6),C(5,1)3!,74,学校教课,例 试求由1,3,5,7组成的数字不重复出现的整数的总和。,分析:,一位数,1,3,5,7,两位数,个(十)位数为1的两位数的个数,三位数,个(十、百)位数为1的

24、三位数的个数,四位数,个(十、百、千)位数为1的四位数的个数,75,学校教课,例 假定把全部的5码数印刷在纸条上,而一张纸条上印一个数。所谓5码数是由0,1,2,9这十个数字中的5个数字组成的数,开头的一个或者几个可以为0,例如00102,00000都是5码数,显然有100000个这样的5码数。然而由于数字0,1,6,8,9被倒过来就成了0,1,9,8,6。而一张纸条可以从上下两个方向正看和倒看,所以有些5码数可以共用一张纸条,如89166与99168。于是我们的问题是要用多少个不同的纸条才能做出这些5码数?,76,学校教课,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0,1,0,1,倒过来,8,

25、8,6,9,9,6,77,学校教课,13578,13578,倒过来,89166,68189,89166,68189,不是5码数,仍是5码数,仍是5码数,但不是自己,而且是自己,78,学校教课,5码数 共105个,倒过来仍 是5码数 的有55个,倒过来不 再是5码 数的有 10555个,一个数 一张纸条,倒过来是自己的有3x52个,倒过来不是自己的有553x52个,一个数 一张纸条,两个数共用一张纸条,79,学校教课,所以纸条的个数为,(10555)+,3x52+,(553x52)/2,105,(553x52)/2,=98475,80,学校教课,例 甲、乙两方各有7名队员,按事先排好的顺序出场参

26、加围棋擂台赛。双方先由1号参加比赛,负者被淘汰,胜者再与对方2号队员比赛,直到有一方全部被淘汰,另一方获得胜利,形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少?,81,学校教课,甲,乙,箭头指向谁,表示谁负,甲方赢:,82,学校教课,甲,乙,83,学校教课,甲,乙,84,学校教课,甲,乙,85,学校教课,例 某车站有6个进站口,今有9人进站,有多少种不同的进站方法?,进站口,人,任务:,给每个人选择进站口,选择进站的次序?,86,学校教课,安排 :,6种方式,安排 :,7种方式,安排 :,8种方式,安排 :,14种方式,进站方式种数为,方法一:,87,学校教课,取,的一个全排列,,和

27、5个,对应的进站方式为:,方法二:,88,学校教课,进站方式为:,对应的排列为:,89,学校教课,进站方式种数为,或,14个位置取5个放方框(不讲顺序),剩下的放人(将顺序),90,学校教课,方法三:,先选车站,,再排人,,对应的进站方式为:,91,学校教课,对比,例 某车站有6个进站口,今有9人进站,有多少种不同的进站方法? 今欲在六根旗杆上悬挂九面不同的旗子,全部旗都得展示出来,但并非所有的旗杆都得使用,问有多少种安排的方法?,92,学校教课,例 8个人 两两配对分成4组有多少种方式?,方法一 给每个人配对,方法二 一对一对地选,注意会重复,推广:2n个人两两配对分成n组有多少种方式?,9

28、3,学校教课,非降路径问题,从点 到达点 的非降路径,94,学校教课,非降路径数,由(0,0)到(m,n)的非降路径数为 。 由(a,b)到(m,n)的非降路径数为 。 由(0,0)到(m,n),再到(a,b) 的非降路径数 。,95,学校教课,例题,从点(0,0)到达点(m,n),其中mn,要求中间所经过的路程上的点(a,b)都满足ab。问有多少种不同的路径?,96,学校教课,分析,从(0,0) 到(m,n) 的非降路径,过对角线,必过对角线,一一对应:反射,(0,0) (0,1) (m,n),(0,0) (1,0) (m,n),不过对角线,97,学校教课,反射:从上向下看,找路径与对角线交

29、点的第一个点,关于对角线反射左下边路径,与右上的路径组合成一条路径。,98,学校教课,例题,求从点(0,0)到达点(n,n)且不与直线y=x相交的非降路径数? 分析:上一例题的特殊情况,99,学校教课,例题,一场音乐会的票价为50元/张,排队买票的顾客中有n位持有50元的钞票,m位持有100元的钞票,售票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方法,使购票能顺利进行,不出现找不开钱的状况,假定每位顾客限买一张,每位顾客仅买票一张,而且nm。,100,学校教课,例题,用(m+n)维0,1-行向量(a1,a2, ,am+n) 表示一种购票排队状态,其中ai=1表示第i位持50元的钞票, ai=0

30、表示第i人持100元的钞票。 这样的行向量有m个0,n个1,所以这样的行向量共有C(m+n,m)个,每个行向量可以对应从点(0,0)到点(m,n)的非降路径。当ai=1时,对应路径中的第i步沿y轴向上走一格,当ai=0时,对应路径中的第i步沿x轴向右走一格。 为了使购票顺利进行,每个路径中的点(a,b)应满足ab。也就是每个路径在直线y=x的上方且不穿过直线 y=x,可以有交点。,101,学校教课,由于nm ,也就是在直线y=x-1上方的所有路径。 从(0,0)到(m,n)的在直线y=x-1上方的非降路径 从(0,1)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径 从(0,0)到(m,n+1)的

31、在直线y=x上方的非降路径,第n个Catalan数,102,学校教课,Catalan数,第n个Catalan数,103,学校教课,Catalan数的组合学意义,104,学校教课,例题,n个+1和n个-1所组成的序列中所有其前k项(k=1,2, ,2n)之和不小于0的序列的数目是多少? 满足条件的序列为好序列,不满足条件的为坏序列。 好序列数=序列总数-坏序列数。 n个+1和n个-1所组成的坏序列与n+1个+1和n-1个-1所组成的序列一一对应。,105,学校教课,例题,对每个坏序列,总可以找到最小的正奇数,使得ak=-1且ak之前的+1和-1的个数相等。将这个坏序列中前k项的每一项取反号,其余

32、部分保持不变。所得序列为n+1个+1和n-1个-1组成的序列。 -1,-1,1,1,-1,1变为1,-1,1,1,-1,1 反之, 对任一由n+1个+1和n-1个-1组成的序列,从左到右扫描,当+1的个数第一次比-1的个数多1时就把这些扫描到的项全部取反号,其余项不变,结果得到满足要求的坏序列。 1,-1,1,1,-1,1变为-1,-1,1,1,-1,1,106,学校教课,二项式定理,107,学校教课,组合恒等式,组合数,组合恒等式:由组合数构成的恒等式,组合数的大小关系,n为奇数,n为偶数,108,学校教课,1.,证明一:,计算,证明二:,组合分析法,109,学校教课,110,学校教课,11

33、1,学校教课,2.,杨辉三角形,计算,Pascal三角形,证明一:,证明二:,组合分析法,112,学校教课,3.,利用二项式代特殊值,证明一:,证明二:,一方面,按照子集的个数分类求和,n元集合的所有子集的个数,另一方面,按照元素与集合的属于、不属于关系,113,学校教课,4.,二项式定理代特殊值,证明一:,证明二:,组合分析法,114,学校教课,5.,115,学校教课,朱世杰恒等式,116,学校教课,6.,应用:,117,学校教课,118,学校教课,7.,证明一:倒写,然后两式相加,证明二:计算,提出n,证明三:求导数,证明四:组合分析法,证明五:数学归纳法,119,学校教课,8.,证明一:

34、积分,证明二:计算,分子分母同乘n+1,120,学校教课,证明一:组合分析法,证明二:利用多项式的系数,证明三:非降路径法,121,学校教课,证明三:,非降路径法,从 到 的非降路径过且仅过直线 上线段AB的一个格点,122,学校教课,证明一:计算,证明二:组合分析法,123,学校教课,证明一:计算,证明二:组合分析法,124,学校教课,证明一:数学归纳法,证明二:一般项,证明三:加减项,证明四:组合分析法,125,学校教课,例 设集合A=a1,a2, ,an ,A 的m个子集A1,A2, ,Am 两两互不包含。试证:,(1),(2),126,学校教课,例 给出 的个位数字和十位数字。,127,学校教课,例 证明r个连续自然数的乘积可被r!整除。,128,学校教课,例 如果p是素数,则,都能被p整除。,129,学校教课,

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