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1、第四章 常用概率分布,1,讲课材料,第一节 正态分布,Normal Distribution,2,讲课材料,定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布， 记为xN(,2)。相应的概率分布函数为,正态分布(normal distribution),3,讲课材料,正态分布,正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=； f(x) 在 x = 处达 到 极 大 ， 极大值 ； f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+ 曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+) 区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的,4,讲课材料,
2、正态分布,正态分布有两个参数，即平均数和标准差,5,讲课材料,正态分布,分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，,6,讲课材料,标准正态分布(standard normal distribution),=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution) 随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1),7,讲课材料,标准正态分布,对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-) 将 其变换为服从标准正态分布的随机变量u u称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate),8,讲课材料,三、正
3、态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则 u 在u1,u2 ）何内取值的概率为： (u2)(u1) 而(u1)与(u2) 可由附表1查得。,9,讲课材料,标准正态分布,正态分布的对称性可推出下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地计算有关概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu11-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1),10,讲课材料,计算,已知uN(0，1)，试求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =?,11,讲课材
4、料,计算,查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389,12,讲课材料,例3 在总体 中,随机抽取一个容量 为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8 之间的概率.,解,故,例3,13,讲课材料,关于标准正态分布，以 下几种概率应当熟记： P（-1u1）=0.6826 P（-2u2）=0.9545 P（-3u3）=0
5、.9973 P（-1.96u1.96）=0.95 P (-2.58u2.58)=0.99,14,讲课材料,计算,u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P(u2)=2(-2) =1- P（-2u2） =1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01,15,讲课材料,由表42可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正
6、态分布的,16,讲课材料,双侧概率和单侧概率,随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作。对应于双侧概率可以求得随机变量x小于-k或大于+k的概率，称为单侧概率(一尾概率),记作/2。例如，x落在(-1.96,+1.96)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。 P(x+1.96)=0.025,17,讲课材料,x落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率 P(x+2.58)=0.005,18,讲课材料,第二节,卡方分布 Chi-square Distribution,19,讲课材料,定义,如果随机变量zi(i = 1,
7、., n)为相互独立，都服从标准正态分布，则定义： , i = 1, ., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi square distribution）。,20,讲课材料,卡方分布曲线,图4-1 不同自由度下的2分布,图4-2 2分布的上侧和下侧分位数示意图,21,讲课材料,卡方分布特征,卡方分布于区间0，+)，并且呈反J形的偏斜分布。 卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。 随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当df 30时，卡方分布已接近正态分布。,22,讲课材料,第三节,t分布,23,讲课材料,定义,如果zN(0,1), 2服从自由度等
8、于n的卡方分布, 则 为自由度为n的t分布 t分布的形状与正态分布相似,24,讲课材料,t 分布,不同自由度下的t分布,t分布双侧分位数示意图,25,讲课材料,t 分布密度曲线特点,t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。 与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n 30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n 100时，t分布基本与标准正态分布相同；n时，t 分布与标准正态分布完全一致。,26,讲课材料,第四节,F分
9、布,27,讲课材料,定义,28,讲课材料,F分布图 (2,6)(6,10)(10,20),29,讲课材料,F分布有以下特征,F分布的平均数等于1，取值区间为0，+)。 F分布曲线的形状仅决定于df1和df2。当df1=1或2时，F分布曲线呈严重倾斜的反向J形，当df13时，转为左偏曲线。,30,讲课材料,第五节,样本平均数的抽样分布,31,讲课材料,定义,样本变异性(sampling variability)：简单随机样本平均数间存在差别。或抽样误差(sampling error) 样本分布(sampling distribution)：指样本的概率分布。,32,讲课材料,样本平均数的分布,从
10、N个总体中随机抽取样本含量为n的样本，共抽m次，求样本平均数的分布(sample distribution for the mean)。 计算每个样本的平均数 列出每次抽样的平均数，并列出每个平均数的频率,直观观察,33,讲课材料,例题1,一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样本的样本平均数和方差,34,讲课材料,例题 2,35,讲课材料,36,讲课材料,定理,情况1. 如果总体服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为： 正态分布 平均数等于 方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）称为平均数的标准差(standard error of the mean), 或简称标准误,37,讲课材料,定理,情况2：当总本不是服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为： 近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。与总体分布的形状有关。一般地，样本数30或者30以上，近似会比较好（中心极限定理, Central Limit Theorem, CLT）。 平均数等于 方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）为平均数的标准误(standard error of the mean)或标准误,38,讲课材料,总体,平均数的期望,39,讲课材料,样本平均数的方差,40,讲课材料,