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1、参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计第24卷第1期石家庄铁道大学(自然科学版)V.1.24N.1201103月JOURNALOFSHIJIAZHUANGTIEDAOUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)Mar.2011参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计左大伟,贾慧羡,王亚宁(1.石家庄铁道大学数理系,河北石家庄050043;2.石家庄邮电职业技术学院基础部,河北石家庄050021)摘要:得到了函数b()BMO,满足Dini条件时参数型Marcinkiewicz积分交换子.(/)()的端点估计Iyl(>入Icl1删fRn(1+10g(),其中
2、P>1且,()=(I6()一b(y)y)dyI.字).关键词:参数型Marcinkiewicz积分交换子;Dini条件;端点估计中图分类号:0174.2文献标识码:A文章编号:20950373(2011)010105060引言及主要结果Hormander在文献1中将高维的参数型Marcinkiewicz积分定义如下:(1厂)()=(Jl.()f),其中,()=J_Y)dy,并且p>Oo2E23给出当满足一d条件(q1)时其强(p,P)型(1<P<)及弱(1,1)型结果.相应的参数型Marcinkiewicz积分交换子定义为,()=(lFp()I)士,其中,()=6()一
3、b(Y)l厂(Y)dy,当P=1时即为Marcinkiewicz积分交换子.称满足Dini型条件,如果log一(1)式中,(o(p)=supl力()一力(Y)l:IYl<P,YS一.考虑b()BMO,且满足Dini型条件时,参数型Marcinkiewicz积分交换子的LlogL型端点估计.主要结果叙述如下.定理1设是上零次齐次函数力()dx=0,满足Dini型条件(1),b()BMO.则存在正常数c使得对每个具紧支集的光滑函数/及所有A>0,lYR:I.()I>AIclIbIl.J(1+l0g+().注1:文献3,文献4给出了参数型Marcinkiewicz积分的及Hardy
4、空间上的有界性.注2:文献5给出了有界核条件下参数型Marcinkiewicz积分的L(1<P<)有界性.注3:文献6给出了参数型Marcinkiewicz积分弱Hardy空问到弱空间的有界性.为证明定理1先介绍一些记号.以,分别表示6阶Hardylittlewood极大算子和6阶sharp函数,它们分别定义为收稿日期:20100423作者简介:左大伟男1976年出生讲师106石家庄铁道大学(自然科学版)第24卷=(击JpIdr)1,6>0(2)酆(击JpI,)foIdr)i1,>0(3)oe,foy)dy;当6=1时,M?,分别为HardyLittlew.d极大函数和
5、Sharp极大函数.并记()=(坳().称函数A:0,)一0,)为Young函数,如果A是连续递增的凸函数,且满足A(0)=0,A(f)一十(t-+).A的Young补函数定义为A(s)=supstA(t),0so.(4)0t,易知,函数()=f(1+log)是一个Young函数,其Young补函数(f)=eto设函数,在方体Q上有定义,它的Luxemburg范数定义为Ilfll邶=A>0:rJQA()d),1).对于Luxemburg范数相应的极大函数定义为()=SUIlfll,并有下面的广义Holder不等式成立Jy)g(y)dyIlfll邶IIgII(5)方便起见,采用向量值奇异积
6、分观点,用表示Hilbert空间:IIII=(<(6)则.()=tl,()II澎,其中,()=flx-ylt6()一b(y),).1定理证明引理1设是嗵上零次齐次函数,()=0,满足Dini型条件(1),6()EBMO,0<<E<1.则存在正常数c=c使得(,)()clJ6lJ一()+()()(7)证明:给定R,用Q=q(x.,1)表示中心在.,边长为z且各边分别平行于坐标轴的方体,记Q=q(x.,4).把,分解为)=()十(),其中()=,注意到6(),)(,)一(),)=(6(,)一bQ)(y)(66Q)(y)一(bbQ.)(),).类似于文献8的方法广打J.l,(
7、z)一(,()Q出)古(J口l,()一(66Q?)()(Xo)I出)古(rIJ(6()一6口)()Jl出)古+(广JJ(66口)()IJ出)古+(广II(6一b0.)厂2)()一(66Q)(.)II出)古=I+.下面分别估计I,和.以r,r为指数,应用Holder不等式,其中,1<r<E/6I广II(6()一6Q)(z)II帮出广LI6(z)一6QlII(z)II第1期左大伟等:参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计107c(广打I6()-bo出)r(广JJ(z)l_等出)cIIbll.()()(8)由Marcinkiewicz积分的弱(1,1)性,应用Kolmogo
8、rov不等式1I广I(6一bQ)L()l出cII66口IIIlfllLlogL,QcII6II舢log)(9)为估计11I,记=II(bbQ)()一(bbQ)(.)II,易知不会超过V+I/2+l/3,其中,(fEf(y)(6.);=lI(b-bo.)古;(fEf刮(.一.,.一.一因V1与类似,故仅估计V.因0,Q,yR一Q时有l一YlIYIIzyl,并应用广义Minkevoski不等式得c,.:(一,.丽dtRnYIIIt2OdyJ,Ql一p,J一,l<InL.,cYI-Xo2p一Iuy一I一一ll,|,JQ+I一.Izlzvl.IQIfd,y2Q一2kQlyI寺c2音Q(y),)I
9、dyc:k2一号II66QIIexpL,Q*IlfllLlogL,Q*cIIbbQJJex,pIj川,口cllbllBMo(厂)()f10,应用广义Minkevoski不等式估计得一,cLJ(6(),)一bQ.)(6()一bq.)/(y)I(dt)1dffIo(-y)-O(xo-y)I+I三一vIc砉Jf2+.+,.-c6cy,一6.,/y?寺一咖)JJ2k+tQ一2hQ(),)y)dy一一fzv,.)+(y)bQ.dycIIbbQIIexpL,QIIfII(+1)()cIIbIIeML(x)因.,zQ,Y苣R一Q时有I.一YlIYIIzY1(c南().6八y)ldycII6IIMLlog(1
10、2)(13)108石家庄铁道大学(自然科学版)第24卷引理2设=M为二进Hardylittlewood极大函数,则存在正常数c使得g0od-A不等式IYR:(y)>A,y)AICElYR:Mf(y)>I(14)对所有的A,>0成立.做为推论有下面的结果:令:(0,)一(0,)为双Young函数,则存在正常数c使得(A)lYR:Mef(y)>AI.(A)lYR:Mef(y)>Al(15)对所有满足右侧不等式有界的_厂成立.引理3设0<<1;是上零次齐次函数,f.()dx=0,满足Dini型条件(1),则存在不依赖于/和的常数c使得(Y)cM(f)(Y)(
11、16)对所有的YR成立.证明:给定,令Q=Q(x.,Z)为以.为心f为半径边平行于坐标轴的方位.定义Qn).令fl=fdQ:f.则对所有的QI(z)一)(.)IIJ()一)()J()()+Il(厂2)(Z)一()(.)II由Kolmogorov不等式及(弱(1,1)型得广fQl)(z)l出)古广J.Il()dzc(/)(),另一方面,利用Holder不等式(17)(广Lll()()一()(.)Itta)古广1l1()(z)一()(.)II.类似于引理1中V的证明有lJ()()一)x.)IIcMf(x).因此广打Jpll()一(Xo)lI出)寺cMf().引理4设()=f(1+log),则存在正
12、常数c使得对任意具有紧支集的光滑函数,1.y:,6y>f.c.6.删1.yR:y>f.证明:设/为具有紧支集的光滑函数,需要证明:.1艋)I>lcll6llly:)I.根据Holder不等式用下式代替上式的右侧.对6>0.(=(定义为1y:,>f.称p()满足下面不等式,对任意的0<6<1,E>0L8(jOceL6(+c(E)IIbII删sPlYR:Mf(y)>tI.()为此应用引理2,对t>0,6>0,JYR:(,(/)(y)>tll=IYR:(1.6(J(y)>tICnElYR:M(1,6(I()>I+Dl
13、YR:M(I6(t0l(y)>Etl:I+11(18)第1期左大伟等:参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计109为了估计应用引理I,取E:,1<r<,11:IyER:蝶(1.(I(y)>1fIlly尺s()+>警寺lf),R:()>I+l尺z/>I(19)取【J有l=ty:(,(y)>28f+(一)ln:Mr8(朋(y)>.l+lyRn:M2f(y)>口I(一1)()atatcEL8(+cl舢/y:M2f(y)>.I十cJSU1.yR:(y)>.l(20)由0<<1利用引理3及引理2的第一部分得
14、<cEI厂)+cll6ll删1yR:y+cII6lJ删./yM2f(y)t1/>.>UI,cE(/)+cII6llSUy:y)>tI(21)下面只需证明L(有界,再取E<1/c便可以得到所需结果.对每个m=1,2,3,令b=infb,m.因此llbll._IbIl.,其中c不依赖于m,将证明用b代替b之后L.是有限的,再令m一即可.由f具有紧支集,因此假设suppfCB(O,h)对某个h>0,由IfbIm,对Il>2hI,()I=(Jflx-yl<t6()一6(y)dyl)2舭)一b(y)y)dt2c_mJ.y)dy=cMf()(22)利用此式及
15、0<6<1,对t>0有IM(.-P()>州cB(0,2R)ll6II,y+cI(Y)dy(23)J8(0,R)根据M的弱(I,I)型及_厂为具有紧支集的光滑函数知最后一项是有界的.引理5存在正常数C使得对任意局部可积函数/及所有A>0,)>川cf(1+log.1l0石家庄铁道大学(自然科学版)第24卷定理1的证明不防设A=1具有紧支集,由引理4与引理5得Y:.Y)>1IY:.Y)>tIcII6IIly:瑚y)>fCIIbllBDIl厂(Y)l(1+loglY)I)dy.J参考文献1HormanderL.Translationinvarian
16、toperatorsJ.ActaMath.,1960,104:93139.2ChengMeifang,ShuLisheng.BoundednessoftheparametricMareinkiewiczintegralonspaceLpJ.JournalofNa.jingUniversityMathmaticalBiquarterly,2005,22:134142.3伍火熊.积域上一类相关于块空间的参数型Marcinkiewicz积分的有界性J.北京师范大学:自然科学版,2003,39:147152.4陈永,束立升.Hardy空间上参数型Marcinkiewicz积分.安徽师范大学,2004,
17、3:261264.5程美芳,束立升.参数型Marcinkiewicz积分算子在空间上的有界性J.南京大学,2005,22:134142.6ZhangSongyan,ZhouGenjiao,TaoXiangxing.Onboundednessofthehi【ghordercommutatorsofMarcinkiewiezintegralsOilweakHardyspacesofatomtypeJ.PureandAppliedMathematics,2010,26(1):42-50.7PerezC.EndpointEstimatesforcommutatorsofsingularintegral
18、operatorsJ.Journaloffunctionsanalysis,1999,128:163-185.8DingYoung,LuShanzhen,ZhangPu.WeightedweaktypeestimatesforcommutatorsoftheMareinkiewiezintegralsJ.ScienceinChinaSer.AMathmatics,2004,47:83-95.EndpointEstimatesforCommutatorsoftheParametricMarcinkiewiczIntegralZuoDawei,JiaHuixian,WangYaning(1.Dep
19、artmentofAppliedMathematics,ShijiazhuangTiedaoUniversity,Shijiazhuang050043,China;2.DeparmentofBasiccourse,ShijiazhuangPost&TelecommunicationCollege,Shijiazhuang050021,China)Abstract:ForthecommutatorsoftheparametricMarcinkiewiczintegral,weshowthatthefollowinginequalityholds:l>AcII删fRn(1+l0g(),where.6()=(1警专6()一b(y)dyl半).Keywords:commutatorsoftheparametricMarcinkiewiczintegral;Dinitypecondition;endpointestimates