矩阵的对角化解析.docx

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1、第四章 矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文矩阵论的研究报告，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给

2、出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.4.1 矩阵的特征值和特征向量一、 特征值和特征向量的概念在工程实

3、践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设 x0 ， y0 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平， x1 ， y1 分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系 x1 = 3x0 +y0 ，y1 = 2x0 +2y0 .令0= x0 y0 ， 1= x1 y1 ， A=3 12 2，则上述关系的矩阵形式为：1=A0 .若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平0= x0 y0 =11，则若干年后的环境污染水平与经济

4、发展水平为 1=A0=3 12 2 x0 y0 =3 12 2 11= 44=4 11=40，即A0=40 .这里，4就是矩阵 A 的一个特征值， 0 是矩阵 A 的对应于4的一个特征向量.定义 4.1.1 设 A 为n阶矩阵，若存在数 和 n 维非零列向量 ，使得A= ；则称 为矩阵 A 的特征值，0是矩阵 A 一个特征值，0称为 A 的属于（或对应于）特征值的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1） 若 为 A 的属于的特征向量，则对于非实数k，k 也是A 的属于 的特征向量.（2） 若1，2 为 A 的属于的特征向量，则当1+2 0 时，1+2 也是A 的属于 的特征向量.（3） 若

5、 1， 2 为A 的互异特征值，1，2 分别为A 的属于1， 2 的特征向量，则12 .证 若 12 ，则 A1A2 ，即11=22=21 ，故1-21=0.由于12，所以10 ，矛盾.因此 12 .例 4. 1. 2 求 n 阶方阵 A=a b b bb a b b b b b a的一个特征值与所对应的特征向量.解 取 n 维向量 =1，1，1T，则A=a b b bb a b b b b b a111=a+n-1 ba+n-1 b a+n-1 b=a+n-1 b111= a+n-1 b ，故=a+n-1 b 是A 的一个特征值， 是 A 属于特征值=a+n-1 b 的一个特征向量.将（4.

6、1.1）写成下面形式E-A =0.根据定义，特征向量就是齐次线性方程组E-A =0. （4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知 n 阶矩阵A的特征值 满足方程E-A=0.为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 . A=aijnn，称f=E-A=-a11 a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -an1 -an2 - ann为矩阵 A 的特征多项式，E-A 称为A 的特殊矩阵，E-A=0 称为 A 的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求 n 阶矩阵A的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1） 计算A的特征多项式E-A ，求出特征方

7、程E-A=0 的全部根1，2，n.对每个特征值ii=1，2，n，求解齐次线性方程组iE-A x=0.设它的一个基础解系为 i1 ，i2 ，ini，则A的属于 i 的全部特征向量为 k1i1+k2i2+kniini其中k1，k2，kni为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论A的复特征值和特征向量.例 4.1.3 求矩阵A=2 -2 0-2 1 -20 -2 0的特征值与特征向量.解 矩阵A 的特征多项式f=E-A=-2 2 02 -1 20 2 =-1-8-8-1=+2-1-4由E-A=0，得 A 的特征值为 1=-2，2=1，3=4.对于1=-2，解齐次线性方程组-2E-Ax=

8、0,，即解方程组-4 2 02 -3 20 2 -2x1x2x3=000，得基础解系1=1，2，2T，所以对应于1=-2，的全部特征向量为k11（k10）.对于 2=-2 ，解齐次线性方程组E-Ax=0 ，即解方程组-1 2 02 0 20 2 1x1x2x3=000得基础解系 2=2，1，-2T，所以对应于 2=1 的全部特征向量为k22（k20）.对于 3=4 ，解齐次线性方程组4E-Ax=0 ，即解方程组2 2 02 3 20 2 4x1x2x3=000，得基础解系 3=2，-2，1T，所以对应于 3=4 的全部特征向量为k33（k30）.例4.1.4 求矩阵 A=3 2 42 0 24

9、 2 3的特征值与特征向量解 矩阵A 的特征多项式为r1-r3f=E-A=-3 - 2 -4-2 -2 -4 -2 -3 +1 0 -+1-2 -2 -4 -2 -3=+12-8,由E-A=0，得A 的特征值为1= 2=-1， 3=8.对于1= 2=-1，解齐次线性方程组-E-Ax=0，即解方程组-4 -2 -4-2 -1 -2-4 -2 -4x1x2x3=000，得基础解系 1=-1，2，0T，2=2，1，-2T，所以对应于1= 2=-1的全部特征向量为k11+k22（k1，k2 不全为零）.对于3=8，解齐次线性方程组8E-Ax=0，即解方程组5 -2 -4-2 8 -2-4 -2 5 x

10、1x2x3=000，得基础解系 3=-1，2，0T，所以对应于 3=8 的全部特征向量为k33（k30）.例4.1.5 求矩阵 A=3 2 42 0 24 2 3 的特征值与特征向量解 矩阵A 的特征多项式为c1+c2f=E-A=-3 1 -1-2 -1 -1 1 -2 -2 1 -1-2 -1 0 1 -2=-22-1,由E-A=0，得A 的特征值为1= 2=2， 3=1.对于1= 2=2，解齐次线性方程组2E-Ax=0，即解方程组-1 1 -1-2 2 -1-1 1 0x1x2x3=000，得基础解系 1=1，1，0T，所以对应于1= 2=2 的全部特征向量为k11（k10）.对于3=1，

11、解齐次线性方程组E-Ax=0，即解方程组-2 1 -1-2 1 -1-1 1 -1x1x2x3=000，得基础解系 2=0，1，1T，所以对应于 3=1 的全部特征向量为k22（k20）.三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 n 阶矩阵A 与AT有相同的特征值.证 由E-AT=E-AT=E-A，知 A 与AT有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2 设 A=aijnn，1，2，n 为方阵 A 的 n 个特征值，则有（1） 12n=A（2） 1+2+n=a11+a22+ann证 （1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有 E-A=-1-2-n （4.1.3）令=0，得-A=-1-

12、2-n=-1n12n，即A=12n（2）比较（4.1.3）式两端 n-1的系数，右端为-1+2+n，而左端含 n-1的项来自E-A的主对角线元乘积项-a11-a22-ann，其含 n-1的系数为-a11+a22+ann，因此1+2+n=a11+a22+ann . 我们将 n 阶矩阵A 的主对角线元之和称为矩阵A 的迹，记为 tr（A ），即tr（A ）=a11+a22+ann=akk推论4.1.1 n 阶矩阵A 可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.定理4.1.3 若 为 A 的特征值， 是对应的特征向量，则（1） a 为 aA 的特征值（a为常数）；（2） k为 Ak的特征值（k为正整数）

13、；（3） 若x为 x 的多项式，则 为A的特征值；（4） 若 A 可逆，则 1 为 A-1 的特征值， 1A为 A*的特征值.证 由题意，对于0，有 A=.（1） 因为aA=aA=a，故a 为 aA 的特征值.（2） 由A= ，得 A2=A A=A = A= 2，假设 Ak-1=k-1，于是 Ak=A Ak-1=A k-1=k-1 A= k，由数学归纳法知结论成立.（3） 设x=a0xm+a1xm-1+am-1x+am，由（2）可得 A=a0Am+a1Am-1+am-1A+amE =a0Am+a1Am-1+am-1A+am =a0m+a1m-1+am-1+am =a0m+a1m-1+am-1+

14、am =(4) 由于 A 可逆，故0，从而= A-1A= A-1= A-1，故 A-1= 1，A*= A A-1= A ，即 1 为 A-1 的特征值， 1A为 A*的特征值. 下面给出方阵 A 的特征向量的性质定理4.1.4 设 1，2，m为 n 阶矩阵 A 的 m 个互异特征值，1 ，2 ，m分别是 A 的属于 1，2，m的特征向量，则1 ，2 ，m线性无关. 证 设有常数k1 ，k2 ，km ，使得 k11+k22+kmm=0 （4.1.4）上式两边左乘 A ，并注意到Ai=iii=1，2，m，有k111+k222+kmmm=0. 按这种方法再依次用 A2， A3， Am-1左乘（4.1

15、.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，得k11+k22+kmm=0 ， k111+k222+kmmm=0， k1121+k2222+kmm2m=0， k11m-11+k22m-12+kmmm-1m=0.上式的矩阵形式为 k11，k22，kmm1 1 1m-11 2 2m-1 1 m mm-1=（0，0，0），上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为 1，2，m互不相同，所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得 k11，k22，kmm=（0，0，0）于是kii=0i=1，2，m，由于特征向量ii=1，2，m非零，因此只有ki=0i=1，2，m上式才能成

16、立，故1 ，2 ，m为线性无关.定理4.1.5 设 1，2，m为 n 阶矩阵 A 的 m 个互异特征值，1 ，2 ，m分别是 A 的属于 ii=1，2，m的线性无关的特征向量，则向量组11 ，12 ，1s1， 21 ，22 ，2s2， m1 ，m2 ，msm 线性无关.证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设 0是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值，则对应于 0的线性无关特征向量个数不超过k 个.显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于n 阶矩阵 A的每一个不同的特征值 i，求出齐次线性方程组iE-A=0

17、的基础解系，就得到A的属于 i 的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一起所得的向量组仍然线性无关. n 阶矩阵 A 的线性无关特征向量个数不大于n.例4.1.6 设三阶矩阵 A 的特征值为 1= 2=3， 3=3，求（1）A-1的特征值.（2）A*的特征值.（3）B=12(A-1)2-A*+2E 的特征值及B.解 （1）由于 A = 123=120，因此A可逆，由定理4.1.3知，A-1的特征值为12，12，13.（2）由定理4.1.3知，A*的特征值为6,6,4.（3）因为A*AA-1=12A-1，所以）B=12(A-1)2-A*+2E.设fx=12x2-12x+2，由定理4.1.3知，B

18、=fA-1的特征值为f1 i，i=1,2,3.由此得 B 的特征值为-1，-1，-23，B=-23.例4.1.7 设A为正交矩阵，若A=-1，则A 有特征值-1证 f=E-A，则f-1=-E-A=-E-AT=-E-AT.另一方面，由于AAT=E及A=1，则f-1=-E-A=AAT-A=A -AT-E=- -E-AT=-f-1因此f-1=0，即-1为 A 的特征值.4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个n 阶矩阵 A 是否可化为对角矩阵，且保持矩阵 A 的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.一、 相似矩阵 定义4.2.1 设A，B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶

19、可逆矩阵 P ，使得P-1AP=B，则称矩阵A和B相似，也称B是A的相似矩阵，记作AB.可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵.例4.2.1 设A=4 6 0-3 -5 0-3 -6 1，B=1 0 00 1 00 0 -2，P=-2 0 -11 0 10 1 1，不难验证P可逆，且P-1=-1 -1 0-1 -2 11 2 0.由于P-1AP=-1 -1 0-1 -2 11 2 04 6 0-3 -5 0-3 -6 1-2 0 -11 0 10 1 1=1 0 00 1 00 0 -2=B,因此AB. 两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：AA；（2）

20、对称性：若AB，则BA；（3）传递性：若AB， BC，则AC；此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若n 阶矩阵A与B相似，则（1）A=B；（2）RA=RB；（3）A，B有相同的特征值；（4）trA=trB.证 由于AB，故存在 n 阶可逆矩阵 P，使得P-1AP=B，从而（1）B=P-1AP=P-1AP=A；（2）RB=RP-1AP=RAP=RA；（3）由于E-B=E-P-1AP=P-1E-AP=E-A，即A，B 有相同的特征多项式，于是A，B 有相同的特征值.（4） 由（3）即得. 推论4.2.1 若 n 阶矩阵A与对角矩阵 =1 2 n相似，则 1，2，n是A的n 个特征值.

21、例4.2.2 若 A=-2 0 02 x 23 1 1-1 0 00 2 00 0 y=B，求 x，y .解 对角矩阵 B 的特征值为-1，2，y，由于 AB ，因此A的特征值也为-1，2，y，再根据相似矩阵有相同的迹，可得2E-A=0，trA=trB，解此方程组得x=0，y=-2 .两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若AB，则kAkB，AmBm（m为正整数）；（2）若AB， fx为多项式，则fAfB；（3）若AB，且 A，B均可逆，则A-1B-1；证 只证 AmBm，故存在n 阶矩阵P，使得P-1AP=B，从而Bm=P-1APm=P-1APP-1APP-1AP=P-1AmPm个 即AmBm

22、.二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若n 阶矩阵A与对角矩阵相似，则称A可对角化. 相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵A相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究A，如何求相应的可逆矩阵P？下面我们就来讨论这个问题.定理4.2.3 n 阶矩阵A相似于对角矩阵（A可对角化）的充要条件是A有n 个线性无关的特征向量. 证 必要性.设存在可逆矩阵P，使得P-1AP = =1 2 n.设P= 1，2，n，由P-1AP =，得AP =P，或A 1，2，n= 1，2，n1 2 n.即 A 1，2，n= 11，22，mm因此，Ai=iii=1，2，n，由于P可逆，因

23、此P0，从而ii=1，2，n都是非零向量，故1，2，n分别是A的属于特征值1，2，n的特征向量，再由P可逆知1，2，n线性无关.充分性.设1，2，n分别是A的属于特征值1，2，n的n个线性无关的特征向量，则有Ai=iii=1，2，n取P= 1，2，n,因为1，2，n线性无关，所以P可逆，于是有AP=P1 2 n.，即P-1AP =1 2 n=因此矩阵A相似于对角矩阵A. 因为特征向量不是唯一的，所以矩阵P不具有唯一性. 推论4.2.2 若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A必可对角化. 推论4.2.3 n阶矩阵A可对角化的充分必有条件是A的每个ti重特征值i都有ti个线性无关的特征向量.即RiE

24、-A=n-ti. 由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化. 根据上述结论，可以归纳出将矩阵A对角化的具体计算步骤：（1）求出n阶矩阵A的全部互异特征值 1，2，n，它们的重数依次为t1，t2，tmt1+t2+tm=n；（2）求A的特征向量.对每个特征值i求方程组iE-A x=0的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为i1，i2，isi i=1，2，m；（3）判定A是否可对角化.若对每一个特征值都有si=tii=1，2，m，则A可对角化，否则不可对角化；（4）当A可对角化时，令P=11，12，1si，21，22，2si，m1，m2

25、，msm，=diag（1，1，1，2，2，2，m，m，m）sm个s2个s1个且P可逆，且有P-1AP =例4.2.3 判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵.(1) A=1 2 22 1 -2-2 -2 1；（2）B=1 2 22 1 22 2 1r1+r2r1+r3解 （1）矩阵A的特征多项式为f=E-A=-1 -2 -2-2 -1 22 2 -1 -1 -1 -1-2 -1 22 2 -1= +1-1-3由E-A=0，得A的特征值为1=-1，2=1，3=3.由推论4.2.2知，矩阵A可对角化.下面求可逆矩阵P.对于1=-1，解齐次线性方程组-E-Ax=0,，

26、即解方程组 -2 -2 -2-2 -2 22 2 -2x1x2x3=000，得基础解系1=-1，-1，0T，1 即为2即为A的属于特征值1=-1的一个特征向量.对于 2=1 ，解齐次线性方程组E-Ax=0 ，即解方程组0 -2 -2-2 0 22 2 0x1x2x3=000得基础解系 2=1，-1，0T，2即为A的属于特征值2=1的一个特征向量.对于 3=3 ，解齐次线性方程组3E-Ax=0 ，即解方程组2 -2 -2-2 2 22 2 2x1x2x3=000，得基础解系 3=0，1，-1T，3即为A的属于特征值3=3的一个特征向量.取P= 1，2，3=1 1 0-1 -1 10 1 -1,则

27、有P-1AP =-1 0 00 1 00 0 3=r1+r2r1+r3（2）矩阵A的特征多项式为f=E-A=-1 -2 -2-2 -1 22 2 -1 -1 -1 -1-2 -1 22 2 -1= +12-5由E-B=0，得B的特征值为1=2=-1，3=5.当1=2=，即为B的二重特征值时， -E-B=-2 -2 -2-2 -2 -2-2 -2 -2 1 1 10 0 00 0 0.故R-E-B=1=3-2，依据推论4.2.3知，矩阵B可对角化，且1=2=对应的线性无关的特征向量为1=-1，1，0T，2=-1，0，1T.对于 3=5 ，解齐次线性方程组5E-Ax=0 ，得B的属于特征值3=5的

28、一个特征向量 3=1，1，1T.取取P= 1，2，3=-1 -1 11 0 1 0 1 1,则有P-1BP =-1 0 00 -1 00 0 5=对于可对角化的矩阵A，我们可应用Am=PmP-1来求方程的幂,例如，对上例的矩阵A，我们有1 2 22 1 -2-2 -2 1m=1 1 0-1 -1 10 1 -1=-1m 0 00 1 0 0 0 3m=0 -1 -11 1 11 1 0=1 1+-1m+1 1+-1m+13m-1 3m-1+-1m -1m-11-3m 1-3m 1.例4.2.4 设A=a 1 11 a -11 -1 a，求A为何值时，（1） A可对角化，并求相似变换矩阵P；（2

29、） A-E为可逆矩阵.解 （1）矩阵A的特征多项式为c1+c2f=E-A-a -1 -1-1 -a -1-1 2 -a -a-1 -1 -1-a-1 -a 10 1 -a= -a-12-a+2，故A的特征值为1=2=a+1，3=a-2.对于1=2=a+1，解齐次线性方程组a+1E-Ax=0 ，得A的属于特征值1=2=a+1的特征向量为1=1，1，0T，2=-，0，1T.对于 3=a-2，解齐次线性方程组a-2E-Ax=0 ，得A的属于特征值 3=a-2的特征向量为 3=-1，1，1T.依据推论4.2.3知，无论a为何值，矩阵A均可对角化.令P= 1，2，3=1 1 -11 0 1 0 1 1，

30、则有P-1AP =a+1 0 00 a+1 00 0 a-2=.（2）A-E的特征值分别为a，a，a-3，故当a0且a3时，A-E为可逆矩阵.4.3 实对称矩阵的对角化 我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即A=， 0.用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则A=A=A=，于是有T

31、A=TA=T，及TA=TAT=AT=T=T，以上两式相减得-T=0，以为0所以T0.因而=，即为实数.由于实对称矩阵A的特征值为实数，那么E-A为实矩阵，则齐次线性方程组的解E-Ax=0可取为实向量，亦即实对称矩阵A的特征向量为实向量.定理4.3.2 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证 设1，2为实对称矩阵A的两个不同的特征值，1，2分别为它们对应的特征向量，则A1=11，A2=22，1，20，从而1TA2=21T2，因A是对称矩阵，又有1TA2=1TAT2= A1T2= A1T2= 11T2=11T2，于是1-21T2=0，因12，故1T2=0，即1与2正交.定理4.3.3 设A为

32、n阶实对称矩阵，为A的k重特征根，则RE-A=n-k，从而特征值恰好对应k个线性无关的特征向量.证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=1 2 n其中 1，2，n为A的全部特征值.（1）求出n阶实对称矩阵A的全部互异特征值 1，2，n，它们的重数依次为t1，t2，tmt1+t2+tm=n；（2）求实对称矩阵A的特征向量.对每个特征值i求方程组iE-A x=0的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为 i=1，2，m；（3）用施密特正交化方法，将特征向量i1，i2，isi i=1，2，m正交i1，i2，iti单位化，得到一个标准正交向量组 i1，i2，iti i=1，2，m； （4）令Q=11，12，1ti，21，22，2ti，m1，m2，mtm=diag（1，1，1，2，2，2，m，m，m）s1个sm个s2个且Q为正交矩阵，且有Q-1AQ=QTAQ=例4.3.1 设实对称矩阵A= 3 -3