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1、【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及重点题型 班级_姓名_知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1只
2、有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2在双曲线的两种标准方程中，都有；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a0，b0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a0，b0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围
3、：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a或xa。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴
4、与椭圆的短轴混淆。 双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。因为ca0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和
5、联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长= 离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为一. 定义的应用1动点与点与点满足，则点的轨迹方程为_2已知点和，曲线上
6、的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A B C或 D 3.已知平面上两定点及动点M，命题甲：（为常数），命题乙：“点M轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件4双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于 .5设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为6已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为_7.已知双曲线的两个焦点为，是双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是 （ ） 8. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于
7、x轴的直线交双曲线于点P，且；则9双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到 轴的距离为 10.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x00)到左焦点距离为4，则x0= .11若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为12动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（）A抛物线来源:学.科.网B圆 C双曲线的一支 D椭圆13是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为二. 双曲线的几何性质1“ab0”是“方程表示双曲线”的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2双曲线的一个焦点是，则m的值是_。3如果
8、双曲线的渐近线方程为，则离心率为_4双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ） 5双曲线的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ） 6双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 ( ) 7是双曲线上一点，则到两条渐近线的距离的积为 8双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为9已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 10已知双曲线的离心率为，则的范围为_11若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为来源:学科12.方程表示双曲线，则的取值范围 （ ） 13.椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ） 25 914曲线与曲线的 （ ）焦距相等 离心率相等 焦点
9、相同 准线相同15已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_16.已知方程，则此曲线是 （ ）焦点在轴上的双曲线 焦点在轴上的双曲线 焦点在轴上的椭圆 焦点在轴上的椭圆三. 求双曲线方程1.已知圆与圆，圆与圆，圆均外切；则圆的圆心的轨迹方程是 2若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为3与曲线共焦点，而与共渐近线的双曲线方程为( ) 4已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.5.已知双曲线通过两点，求双曲线的标准方程.6.（1）设是双曲线上的动点，为坐标原点，为线段中点，求点的轨迹方程.四. 直线与双曲线1直线与的右支交
10、于两点；求实数的取值范围。 2过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为_3双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A（-，01，+） B（-，0）（1，+）C（-，-1）1，+） D（-，-1）（1，+）4已知双曲线的焦点为，离心率为2.（1）求此双曲线渐近线,方程；（2）若分别为,上的动点,且；求线段中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。一.定义的应用1. 2D 3. 4 5.7 6. 7 8 9 10. 11. 12C 13. 二双曲线的几何性质1A 2-2来源:学科网ZXXK3. 或 4 5 6 7 8. 9 10. 11. 12 13 14 15. 16. 三.求双曲线方程1 2. 3 4 5设双曲线方程为 由题意得 双曲线的标准方程为6解：设及 则 （1） 为线段中点 代入（1）得 ， 点的轨迹方程为四.直线与双曲线1解两不同根为 2. 3B 利用数形结合，结合渐近线可求得.4解:（1）由已知得,所以,所以双曲线方程为,所以双曲线的渐近线方程分别 ,（2）由（1）知,因为,所以, 设,中点则,消去并整理得:点M的轨迹方程为,所以点轨迹是焦点在轴上的椭圆.7