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1、2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标：1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。【学习难点】渐近线方程的导出。知识回顾1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程： 3、回想椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？学习过程一、 双曲线的几何性质（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。范围 ：由双曲线的标准方程可得
2、： 从而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和 所表示的区域内。= 从而得y的范围为 。对称性：以代，方程不变，这说明 所以双曲线关于 对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于 对称，以代，且以代，方程也不变，得双曲线关于 对称。顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（ ）（ ） ；我们把（ ）（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？探究：在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以
3、原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？双曲线特有性质- 双曲线的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线 ， 。 （二）想一想1、根据上述五个性质，画出椭圆 与双曲线的图象。探究案：1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a0,b0）(a0,b0)图 象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系2）等轴双曲线定义及性质是什么？ 3） 探究共渐近线的双曲线系？二 、 例题讲解（一）已知双曲线方程研究几何性质例1 求双曲线 的实半轴长和虚半轴
4、长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐进线方程.练习(1) ：的实轴长 虚轴长 ，顶点坐标 焦点坐标 离心率 （2）的实轴长为 虚轴长 顶点坐标 焦点坐标 离心率 渐近线方程 拓展提升的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 。思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？（二）由双曲线方程性质求双曲线方程例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点A（-5，3），且离心率e=的双曲线的标准方程.变式：求顶点在x轴上，两顶点间距离为8，离心率e=的双曲线的标准方程.3、 小结 四、 当堂检测1双曲线的实轴长和虚轴长分别是( ) A. ，4 B.4， C.3，4 D. 2， 2如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 3双曲线的渐近方程是，焦点在坐标轴上，焦距为10，其方程为( ) A. B. 或 C. D. 4. 等轴双曲线的一个焦点是F1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是 5.求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程.6.若双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率.7. 若双曲线的离心率，求k的范围.8、双曲线的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，求a+b的值.五、【课后反思】本次课我掌握了哪些知识 我还有哪些不懂得知识 6