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1、13.4 最短路径问题1、 教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。2、 教学重难点（1） 教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题（2） 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段的和最小的问题。三、创设情景，复习回顾师：同学们，暑假即将结束，你们又要步入心爱的学校学习啦！上学第一天，别迟到喔！假设从你家到学校有如图4条路线，走哪条路线能最快到达学校呢？生：第三条路线显然最快，因为这是一个基本事实：两点之间，线段最短。师：老师再来考验下你们对这个知识点的掌握情况。如图，要在公路l上建一个公交车站C，使得公交车站C到A、B两小区的
2、距离之和最小，问公交车站C应该建在哪里？生：我们用直尺将A、B连接起来，AB的连线与l的交点便是公交车站C的位置，原理就是：两点之间，线段最短。师：这个题目涉及的问题我们称它们为最短路径问题。本节课我们就利用所学知识继续探究数学史中著名的“将军饮马问题”4、 互动新授（一）“将军饮马问题”的解决师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？教师引导学生将实际问题转化为数学问题：将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直
3、线。问题就转化为：当C点在l的什么位置时，AC与CB的和最小？通过观察我们发现：点A、B在直线l的同侧，如何在直线l上找一个动点C，使得AC与CB的和最小？如果点A、B分别是直线l异侧的两个点，同学们使用两点之间线段最短，直接将AB连接起来，AB与l的交点便是点C。AC与CB的和最小，即为AB的长度。经过这个问题的启发，对于点A、B在直线l的同侧，我们能够想办法把点A移到l的另一侧A，满足直线l 上任意一点C，都有AC=AC。所以使用轴对称知识，便可解决这个问题。首先，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，与直线l相交于点C。则点C即为所求。（2） 证明“AC+CB最短”如图，在直线l上任取一
4、点C （与C点不重合），连接AC,BC,AC由轴对称的性质可知：AC=AC，AC=ACAC+BC=AC+BC=ABAC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BCAC+BCAC+BC即AC+BC最短五、巩固拓展，学以致用如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使PAB的周长最小。学生动手解决问题，同时请学生上黑板作图展示。教师讲解：因为CPAB=AB+PA+PB，其中AB的长度是固定不变的，PAB的周长最小，也就是求PA+PB最小问题就容易解决了（1）作点A关于直线l的对称点A,连接AB，与直线l相交于点P。则点P即为所求。（2）同样的，也能够作点B关于直线l的对称点B,连接AB，与
5、直线l相交于点P，则点P即为所求。两次作图，点P是同一个点。六、课堂小结，总结提升通过本节课的学习，同学们对于最短路径的问题解决又多了新的思路和方法。总来说之，我们要善于将实际问题转化为数学问题，利用学习过的知识点：两点之间，线段最短、轴对称等等知识来实行转化，从而达到解决实际问题的目的。七、教学反思最短路径问题从本质上来说是最值问题，初中生在解决这类问题的数学经验不足，会觉得陌生，无从下手。对于问题“点A、B在直线l的同侧，如何在直线l上找到一个动点C，使得AC与CB的和最小？”，需要将其转化为“直线l异侧有两个A、B，如何在直线l上找到一个点C，使得AC与CB的和最小？”的问题。为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生在理解和操作上存有困难。所以，要通过实际问题实行引导，画图实操。在证明“最短”时，要适当启发学生思考“任意”的作用，使用三角形两边之和大于第三边来证明“最短”。最后，要通过练习来提升巩固学生解决最短路径问题的水平，感受数学转化思想。