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1、几何图形中的最值问题（1）桐城市石南初中 丁萍一、教学目标：知识与技能：1 .通过几何图形的探究，解决实际问题中的最值问题。2 .能够利用几何图形的性质及定理解决几何图形中的最值问题。过程与方法：经历探究几何问题的过程，学会利用几何模型解决问题的方法。渗透数形结 合思想.情感、态度与价值观：通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科 学探索精神.二、教学重点、难点：1 .教学重点：利用几何图形的性质及定理解决几何图形中的最值问题。2 .教学难点：利用数形结合思想解决几何问题。三、教具准备：多媒体课件四、课时安排：1课时五、教学过程：（1） .导入新课在近几年的中考数学试
2、题中，有一个流传广泛的数学问题，它就是“将军饮马问题”，它的知识模型就是：”已知直线，在直线的同侧有两点 A, B,请你在直线上找一点P,使得AP + BP之和最小”.解决这个问题的 基本方法是：（1）利用轴对称作直线的对称点；（2）利用两点之间线段最短即可.它的几何模型如右图所示：（2） .进入新课类型一：简易最值问题【例11 如图中过A点最短的一条线段是（）A. ABB. ACC. ADD. AE【评析】解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短.对应训练1 .如图，立定跳远比赛时，小明从点 A起跳落在沙坑内B 处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离 4.6米.（填“大于”
3、“小于”或“等于”） 类型二：用于正方形【例2】 正方形ABCD的边长是8, P是CD上的一点， 且PD的长为2, M是其对角线AC上的一个动点，则DM + MP的最小值是.【评析】本题考查了轴对称-最短路线问题和正方形的性质， 根据两点之间线段最短，确定点 M的位置是解题关键. 对应训练2 .在4ABC 中，AC = BC = 6, /ACB = 90, D 是 BC 边的中 点，E是AB上的一个动点，则 EC+ ED的最小值是.点拨：以AC为边作正方形ACBP,如图，连接CP,则AB与 CP互相垂直平分，连接DP交AB于点E,连接CE,类型三：用于矩形【例3】 如图，在矩形ABCD中，BC
4、 = 10, CD = 5.若点M , N分别是线段BD,BC上的两个动点，则CM + MN的最小值为.【评析】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短, 然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解.对应训练3 .如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点， =6, AD = 8,则PA+ PC的最小值为.类型四：用于菱形【例4】 如图，在边长为6的菱形ABCD中，/ DAB = 60, E为AB的中点，F为AC上的一个动点，则EF + BF的最小值是.【评析】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易 出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断 什么时候会使EF+BF成为最小值.对应
5、训练4 . AABC 中，有一点 P在 AC 上移动.若 AB=AC = 5, BC = 6, AP + BP+CP 的最小值为.类型五：用于特殊三角形【例5】 在4ABC中，/BAC=30,在AC , AB边上各 取一点M, N, AB=2,则BM + MN的最小值是. 点拨：过点B作关于AC的对称点B1 ,过点B1作B1N XAB于点N交AC于点M,连接AB1 , BM.类型六：用于圆【例6】 如图，MN是。的直径，MN =4,点A在。上，/ AMN =30,B为弧AN的中点，P为直径MN上的一个动点， 则PA+ PB的最小值 .【评析】本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关 键是
6、根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求 解.对应训练5 .如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等 分点，P是直径MN上的一个动点，O O半径为2,则PA+ PB 的最小值是（3） .课堂小结：本节课我们学习了什么内容？你有什么收获？（4） .课后作业：1 .如图，在等边 ABC中，AB=4, P, M, N分别是BC, CA,AB边上动点，则 PM + MN的最小值是2 .如图，矩形 ABCD , AB=6 cm, AD = 12 cm, P 是 AB 上的 动点，Q是AD上的动点.P以1 cm/s的速度从B到A, Q以2 .cm/s的速度从A至I D , P到A（或Q到 QC最小值.求 PQ+