线性代数公式大全.docx

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1、1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2代数余子式的性质： 、Aj和a.的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A ； 3代数余子式和余子式的关系：Mij =（一1厂A。二（_1）jMij4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 Di，则D =（1尸D ； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D 2，则氏=（-1）孚D 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3，则Q= D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D、A00BA0A ICOB 0A丄

2、0C 丄B丿r 1OA丄A丄I。AAs1OB 1B 1O-A JCB ；(拉普拉斯);(主对角分块);(副对角分块)丿(-B CAB丄丿1a 、-O1 1_ B _ J;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是 唯一确定的：F = Er O ；2 O烏等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价 类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若 r(A)二 r(B厂二 AL B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行

3、变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行 变换) 、若(A, E) (E , X)，则A可逆，且X ； 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即:c(A, B)、( E, A)； (A, b巾(E , x)贝匸A可逆，且x = A ；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初 等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、代= J、，左乘矩阵A，A乘A的各行元素；右乘，人乘卜A的各列元素；、对调两行或两列，符号E ( i, j )，且E ( i, E ( i再例如： 、倍乘某行或

4、某列，符号E (i(k)，且 E (i ( k讥 E $)J例如:11k1(k 式 0)；1、111b1 b5.矩阵秩的基本性质:、倍加某行或某列，符号E (ij (k),且 E (ij (k)宀 E (ij (-k)， 如：1k)111 1=1I1丿I1丿k = 0)；0 - r(Am n) _min( m, n)；r(AT ) = r(A)；若AL B，贝 r(A)二r(B)；若P、Q可逆，贝U r(A)=r(PA)= r(AQ)= r(PAQ) ；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A), r(B) r(A, B)兰r(A)+r(B)；(探) 、r (A B) _r (A) r (

5、B)；(探) 、r(AB)空min(r(A),r(B)；(探) 、如果A是En矩阵，B是Ms矩阵，且AB= 0，贝I:(探)I、B的列向量全部是齐次方程组AX =0解(转置运算后的结论)；u、r (A) r (B ) nD、若 A、B 均为 n 阶方阵，则 r(AB) _r(A) r(B) _n ；6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)汇行矩阵 (向量)的形式，再采用结合律；(1 a c ； 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式； 0 b二项展开式：(a)n=C：an+C 协 +Canbm 协+C：七0*C：bn = C；ambn；m兰注：1、(a b)n

6、展开后有n 1项;Cmn(n -1)1|1川(n-m+1)n!n12 3 mm!(n -m)!m、组合的性质： C =C：Jm0 nCn =G =1Cnmn、cn =2nr -0rcn = nd； 、利用特征值和相似对角化:7伴随矩阵：4n、伴随矩阵的秩：r (A)1r (A) = nr (A)= n -1；r (A)：: n-1、伴随矩阵的特征值:(AX = X ,A = A A亠 A*X = X)； 、8. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A) =n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0；(两句 话) 、r(A) : n , A中有n阶子式全部为0； 、r(A)_n , A中有n阶

7、子式不为0；9. 线性方程组：Ax=b，其中A为m n矩阵，贝I： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程; 、n与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax=b为n元方程;10. 线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程: aiiX1 12X2 山a1nXn 二b、a21 X1 a22 X2 I I ) a2n X b2山川山川II川川I川川川山?am1 X, am 2 X2 FanmXn =bn方程，、1.a11a12IIIa 1n

8、 X 1zba21a 22III-a血iX 2b 240m1am 2IIIiamn丄1d 、Xi x 2Ax=b （向量方程，n个未知数）A为ms矩阵，(aa2II)an )iXn丿（全部按列分块，其中(线性表出)r (A)二 r (A, - ) nb2):丿，4a1 X1 a2X2，anXn有解的充要条件：r（A） = r（A,n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A : ：1,2,川,1 m构成n m矩阵A =（1,2,l,：m ）；3.m个n维行向量所组成的向量组B :畀，肉,川，忙构成m矩阵含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应；2. 、向量组

9、的线性相关、无关=Ax= 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出二Ax二b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示 二AX円是否有解；（矩阵方程） 矩阵Am.与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax =0 和 Bx =0 同解；（P101 例 14）4. r（ATA） =r（A）；（爲例 15）5. n维向量线性相关的几何意义： 、：线性相关0 ； 、：:线性相关 二:坐标成比例或共线（平行）； 、，线性相关=，共面；6. 线性相关与无关的两套定理：右、,2，s线性相关，则s，s 1必线性相关；若：1，：-2JH，: s线性无关，则1,曲|1宀丄必线性无关；（向量的

10、个数加 加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n_r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线 性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为S ）线性表示，且A 线性无关，则心（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A r （B） ；（ P*6定理3）向量组A能由向量组B线性表示-AX二B有解；二 r（A）屮 A, B） （ P85 定理 2）向量组A能由向量组B等价二r（A）= r（B） = r（A,B） （ P*5定理2推论）8. 方阵A

11、可逆二存在有限个初等矩阵P,P2）I, P，使A=RP2| Pl ； 、矩阵行等价：A B PA二B （左乘，P可逆）二Ax =0与Bx二0同解 、矩阵列等价： A B二 AQ=B （右乘，Q 可逆）； 、矩阵等价： A- Bu PAQ = B （ P、Q 可逆）；9. 对于矩阵Amn与B: 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax二0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的 列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 右 Am sBs n = Cm n , 则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

12、、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵； (转置)11. 齐次方程组Bx=O的解一定是ABx= 0的解，考试中可以直接作 为定理使用，而无需证明； 、ABx二0只有零解=Bx二0只有零解； 、Bx =0有非零解=ABx =0 定存在非零解；12. 设向量组Bnjb，b2，W，b可由向量组As：可耳川民线性表示为：(% 题佃结论)(bb,HI,b)=佝，a2AW,as)K ( B=AK)其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关=r(K)= r ； ( B与K的 列向量组具有相同线性相关性)(必要性： r =r(B)= r(AK) r(K),r(K) r” r(K)= r ；

13、充分性：反证法)注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵Amn，存在Qnm， AQ = Em (A)= m、Q的列向量线性无 关；(P87)、对矩阵Am滅，存在Pn疝，PA = En = r(A) = n、P的行向量线性无关；14. ：1,c s线性相关-存在一组不全为0的数K,k2H,ks，使得K：1 k2：2川ks：s =0成立；(定 义)X1 :MgoJXs) X2 L有非零解，即Ax= 0有非零解；g丿-rC-1-2JH ： s) S，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S 的秩为：r(S) = n-r ；16.

14、 若*为Ax=b的一个解，1, 2,川为Ax= 0的一个基础解系，则 *,!, 2,IH, n.线性无关；(P111题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵= ATA=E或A AT (定义)，性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1i jaT0二 j (i, j m n)； 、若A为正交矩阵，则A AT也为正交阵，且A二-1 ； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记 施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：(a,a2, ,a)h =ai ；g上；b2, b2 brbr3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值

15、对应的特征向量正交；4. 、A与B等价A经过初等变换得到B ；=PAQ =B， P、Q 可逆；ur(A)= r(B)， A、B 同型； 、A与B合同=CtAC=B，其中可逆；=xT Ax与xT Bx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似 =P丄AP=B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则ctac=b=aLb，(合同、相似的约束条件不 同，相似的更严格)；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n元二次型xTAx为正定：=A的正惯性指数为n ；=A与E合同，即存在可逆矩阵c，使CtAC=E ；-A的所有特征值均为正数；=A的各阶顺序主子式均大于0 ；二4 0, A 0 ；(必要条件)