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1、空间向量与立体几何【知识要点】1 空间向量及其运算：(1) 空间向量的线性运算： 空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立. 空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a+ b = b + a;加法结合律：(a + b+ c)= a+ (b+ c)；分配律：(+)a= a + a ；(a+ b) =a +b.(2) 空间向量的基本定理： 共线(平行)向量定理：对空间两个向量 a, b(b丸),a/b的充要条件是存在实数 使得a / b. 共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是存在惟对实数， ，使
2、得c =a +b. 空间向量分解定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组1 ,2,3，使得p =ia +2b +3C.(3) 空间向量的数量积运算： 空间向量的数量积的定义：a b = |a | |b I cos a, b； 空间向量的数量积的性质：a e= |a | cos v a, e； a Jb：= a b= 0；|a|2= a a； |a b|a | |b |. 空间向量的数量积的运算律:(a) b =(a b);交换律：a b = b a ；分配律：(a+ b) c= a c + b c.(4) 空间向量运算的坐标表示： 空间向量的正交分解：
3、 建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i, j, k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i, j, k,由空间向量分解定理，对于空间任一向量 a，存在惟一数组(ai, a2, a3)，使a = aii + a2j + a3k, 那么有序数组(ai, a2, a3)就叫做空间向量 a的坐标，即a= (ai, a2, a3). 空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)，则a+ b= (ai + bi, a2+ b2, a3+ b3); a b = (ai-bi, a2-b2, a3-
4、b3);a = ( ai,a2,a3); a b = aibi + a2b2+ a3b3. 空间向量平行和垂直的条件：a/b(bO)=a = b=ai=bi,a2 =b2,a3=b3(駅);adb= a b = 0 = aibi + a2b2+ a3b3= 0. 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)，则|a a a = . a2 a2a3,| bF、b b 二.bi2bfb3;a bI a | b |在空间直角坐标系中，点A(ai, a2, a3), B(bi, b2, b3)，贝U A, B两点间的距离是| ABF .-
5、bi)2 (a? -)2 -6)2 2 .空间向量在立体几何中的应用:(1) 直线的方向向量与平面的法向量：如图，I为经过已知点 A且平行于已知非零 OP =0A ta向量a的直线，对空间任 意一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数 t,使得，其中向量 a叫做直线的方向向 量.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.如果直线I丄平面，取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面 的法向量.由此可知，给定一点 A及一个向量a，那么经过点 A以向量a为法向量的平面惟一确疋.(2) 用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线I, m的方向向量分别是 a, b，平面 ，的法向量分
6、别是u, v，则 I /m ：= a /b ：= a = kb, k 駅； llm u a Jb ：= a b = 0 ； I /a Ju = a u = 0 ； I丄二 a/= a = ku, k駅; /= u /= u = kv, k R ；丄 二 u 丄/ 二 u v = 0 .(3) 用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： 异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点 0作直线aa, bb,则a与)所夹的锐角或直角叫做异面直线 a与b所成的角.n 设异面直线a与b的方向向量分别是 vi, V2, a与b的夹角为，显然；.三(0,则2,| Vi V2 |COS：: V1
7、 , V2| =I Vi| V2| 直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.设直线a的方向向量是u，平面的法向量是v,直线a与平面的夹角为，显然厂0,，贝卩 |cos ： u, v | =也也-2 I u | v | 二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作-1-在二面角的棱上任取一点 O,在两个半平面内分别作射线0A1, 0B，则/AOB叫做二面角一I的平面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB , CD分别是二面角一I的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角 一I的大小就是向量 AB与CD的夹角的大小
8、.方法如图，mi, m2分别是二面角的两个半平面的法向量，则mi, m2与该面角的大小相等或互补.(4) 根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立 体几何问题.【复习要求】1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.2 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4 .理解直线的方向向量与平面的法向量.5 .能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6 .能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.【例题分析】例1 如图，在长
9、方体 OAEB OiAiEiBi中，OA= 3, OB = 4 , OOi = 2，点P在棱AAi上，且AP = 2PAi,点S在棱BBi上，且BiS = 2SB，点Q, R分别是 O1B1, AE的中点，求证：PQ /RS.【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k,使得PQ二kRS.解：如图建立空间直角坐标系，则0(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，Oi(0，0，2)，Ai(3，0，2)，Bi(0，4，2)，E(3，4，0).2 一24AP = 2PAi,.APAAi(0,0,2) = (0,0,),3 334P(3,0-)32同理可得：Q(0 , 2 , 2), R(
10、3 , 2 , 0), S(0,4, )3PQ =(-3,2,2) =RS,3PQ/RS，又 R PQ,卩Q RS.【评述】1、证明线线平行的步骤：(1) 证明两向量共线；(2) 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接PR, QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明.例 2 已知正方体 ABCD AiBiCiDi 中，M, N, E, F 分别是棱 A1D1, A1B1, D1C1,BiCi的中点，求证：平面 AMN /平面EFBD .【分析】要证明面面平行， 可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量 平行.解法一：
11、设正方体的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则D（0, 0，0），A（4，0,0），M（2，0，4），N（4，2, 4），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）.取 MN 的中点 K, EF 的中点 G, BD 的中点 O,则 0（2 , 2, 0）, K（3, 1, 4）, G（1 , 3, 4) MN = (2, 2, 0) , EF = (2 , 2 , 0) , AK = ( 1,1, 4) , OG = (1,1, 4),MN /EF , AK =OG , MN/EF , AK/OG ,MN / 平面EFBD , AK / 平面EFBD ,平面AMN /平面EFBD
12、.解法二：设平面 AMN的法向量是 a= (a1 , a2 , a3),平面 EFBD的法向量是b= (b1, b2 , b3).由 a AM =0, a AN = 0,-2印 +4a3 = 0,得取 a3= 1,得 a= (2 , 2 , 1).* 4a - 0,由 b DE =0, b BF = 0,b3= 1 ,得 b= (2 , 2 , 1).a /, 平面 AMN / 平面EFBD .注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.例3 在正方体 ABCD AiBiCiDi中,M, N是棱 A1B1, BiB的中点，求异面直线AM5和CN所成角的余弦值.解法,0),
13、 A(2 ,0), M(2 , i, 2), C(0 , 2, 0), N(2 , 2 , i).AM =(0,i,2),CN =(2,0,i).设AM和CN所成的角为，则cost =| AM |CN |异面直线AM和CN所成角的余弦值是 -5解法二：取AB的中点P, CCi的中点Q,连接BiP, BiQ, PQ,易证明：BiP /MA, BiQ NC ,FBiQ是异面直线 AM和CN所成的角.设正方体的棱长为 2，易知BiP = B,Q5,PQ PC2 QC22 2 22BiP BiQcosPBiQP BiQPQ 二52异面直线AM和CN所成角的余弦值是 一【评述】空间两条直线所成的角是不超
14、过 90。的角，因此按向量的夹角公式计算时，分 子的数量积如果是负数， 则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角 (锐角).例4如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为.2a，求直线ACi与 平面ABBiAi所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABBiAi的法向量求解.解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0 , 0, 0), B(0 , a, 0), A(0,0,J2a),3a a 厂a lCi(，2a)取 AiBi 的中点 D,则 D(0
15、,-.2a)，连接 AD, CiD.2 2 2” 3a-_则 DC -(,0,0), AB = (0,a,0), AA =(0Q、2a),2DCi AB = 0,DG AA = 0,DC i 丄平面 ABBiAi,QiAD是直线ACi与平面ABBiAi所或的角.cosCiADAG AD|AC?|AD|亠亠ACi =(二：,冋4(0,；辰直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小是 30解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), B(0, a, 0), Ai(0, 0 , 2a),Ci(- 3a a _-、- 3a a ,2a)，从而 AB =(0,a,0), AAi =(0,0,
16、.2a), ACi =(-,2a)2 2 2 2设平面ABBiAi的法向量是a = (p, q, r),由 a AB 二 0,a = 0,aq =0,得厂取p = i，得a = (i, 0, 0).2ar =0,n设直线ACi与平面ABBiAi所成的角为Q,2sin J 彳 cos ACi, a | 二= i , - 30 . | ACi |a |2【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换.例 5 如图，三棱锥 P ABC 中，PA丄底面ABC , AC_LBC, PA= AC = i
17、, BC $2 ,求二面角A PB C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中点D,连接CD,作AE1PB于E.PA = AC = 1, PA!AC,PC = BC = .2 ,CD _LPB.EA JPB,向量EA和DC夹角的大小就是二面角 A PB C的大小.如图建立空间直角坐标系，则C(0 , 0, 0), A(1 , 0 , 0), B(0,2 , 0), P(1 , 0 , 1),1 J2 1由D是PB的中点，得 D(,亍,一)2 2 2由些二赛J,得E是PD的中点，从而EB AB2344 4ea ,-寻，-3),。珂冷，4442.2 12EA DC 、3 cos ： EA, DC -|
18、 EA | DC |3解法二：如图建立空间直角坐标系，则即二面角A PB C的平面角的余弦值是A(0 , 0, 0), B( 2,1,0) , C(0 , 1 , 0), P(0 ,0, 1),AP =(0,0,1), AB =( 21,0),CB =( 20,0),CP=(0,-1,1).设平面PAB的法向量是a = (a1, a2, a3),平面PBC的法向量是b= (b1, b2, b3).由 a AP 二 0, a AB 二 0,a3 = 0,l得l取 ai = 1，得 a= (1-V2,0).J2ai +a2 =0,-fV2bi =0由 b CB=0, b CP=0 得 取 b3=
19、1，得 b= (0, 1, 1).b? +匕3 = 0, a b拒cos a, b -I a | b |3 二面角A PB C为锐二面角，J 3 J3二面角A PB C的平面角的余弦值是I -言| 3-【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为 这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平 面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.例 6 如图，三棱锥 P ABC 中，PA丄底面ABC, PA = AB, ZABC
20、= 60,ZBCA = 90 点D , E分别在棱 PB, PC上，且 DE BC .()求证：BC丄平面PAC ;(D)当D为PB的中点时，求 AD与平面PAC所成角的余弦值；(川)试问在棱PC上是否存在点E,使得二面角 A DE P为直二面角？若存在，求出PE EC的值；若不存在，说明理由.A解：如图建立空间直角坐标系.设PA = a,由已知可得A(0, 0, 0),B(a, ja,0),C(0, ja,0), P(0,0,a).2 2 2 一 1(Ap=(0,0，a),BC=(2a，0,0),AP BC =0, /BC1AP .又ZBCA = 90 , BC1AC.BC丄平面PAC.(n
21、y.D为PB的中点，DE /BC,.E为PC的中点.43a,-a), E(043a,-a)4 242由()知，BC丄平面PAC，/DE丄平面PAC , DAE是直线AD与平面PAC所成的角.AD =(_-a,43Va,-a),AE = (0,231 、Va，2a)，.cos/DAEAD AE _ 14 | AD | AE |4即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是、14(叫由(知，DE 丄平面 PAC，/DE 丄AE , DE JPE ,DEP是二面角A DE P的平面角.PA 丄底面 ABC ,aPA 丄C,/PAC = 90 在棱PC上存在一点E,使得AE JPC,PFPA4这时，/ AE
22、P = 90 ，且2 二“ECAC2 3故存在点E使得二面角 A-DE P是直二面角，此时 PE EC = 4 :. 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.练习1-3、选择题： 1.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是BBi的中点，则二面角 E AiDi D的平面角的正切值是()(A) , 2(B)2(C) 一 5(D) 2 22正方体 ABCD AiBiCiDi中，直线 ADi与平面 AiACCi所成角的大小是()(A)30(B)45 (C)60 (D)903 已知三棱柱 ABC Ai BiCi的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为 ABC的中
23、心，贝UABi与底面ABC所成角的正弦值等于()1(A)-3(B)子、3(C)22(D) 3如图,n = l,A, B , A,B到I的距离分别是a和b,AB与所成的角分别是和;：,AB在 ，内的射影分别是m和n,若a b，则下列结论正确的是()(A) , m n(C)v :, m v n、填空题：(B) : , m v n(D)v :, m n5.在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，E , F, G, H 分别为 AAi, AB, BBi, B1C1 的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是 .6 已知正四棱柱的对角线的长为,6，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该正四3棱柱的体积
24、等于 7如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2AB，则异面直线 AiB与ADi所成角的余弦值为.1& 四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形，/ BAD = 90 ,AD /BC, AB = BC = AD , PA2丄底面ABCD , PD与底面ABCD所成的角是30。设AE与CD所成的角为，则cos三、解答题:9.如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AAi = 2AB = 4，点 E 在 CCi 上，且 CiE = 3EC .()证明：AiC丄平面BED ；(D)求二面角Ai DE B平面角的余弦值.n10 .如图，在四棱锥。ABCD中，底面ABCD是边长
25、为1的菱形ABC = 4，OA丄底面ABCD , OA = 2, M为OA的中点，N为BC的中点.()证明：直线MN/平面OCD;D(D)求异面直线 AB与MD所成角的大小.11 .如图，已知直二面角PQ , APQ , B , C , CA = CB，/BAP=45 ，直线CA和平面所成的角为30 ()证明：BC JPQ ;(A)若 a /b, b 二，则a /(B)若 a /, b：_，则a /(C)若 a /, b /，则 a/b（D）若a丄,b丄，则a /2 .正四棱锥的侧棱长为2 叮3，底面边长为2，则该棱锥的体积为（)(A)88(B)3(C)6(D)23已知正三棱柱 ABC AiB
26、iCi的侧棱长与底面边长相等，则直线ABi与侧面ACCiAi所（D）求二面角B AC P平面角的余弦值.习题1、选择题:1.关于空间两条直线 a、b和平面F列命题正确的是（）成角的正弦值等于（）、6(A)才.10（b）4(Op（砖4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）40003(A)3 cm80003(B)3 Cm(D)4000cm(C) 2000cm5 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于()(A) . 2(B) 2.2(C) 3 . 2(D) 4. 2二、填空题：6 .已知正方体
27、的内切球的体积是4/3 n则这个正方体的体积是 .7若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面边长为1 , ABi与底面ABCD成60。角，则直线ABi和BCi所成角的余弦值是 .&若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .9 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于2J74/3，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为.10 已知AABC是等腰直角三角形，AB = AC = a, AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使ZBDC成直角在折起后形成的三棱锥 A BCD中，有如下三个结论：直线AD丄平面BCD ; 侧面A
28、BC是等边三角形；42 3 三棱锥A BCD的体积是a3.24其中正确结论的序号是.（写出全部正确结论的序号 ）三、解答题：ii .如图，正三棱柱 ABC AiBiCi中，D是BC的中点，AB = AAi.()求证：AD JBiD;(D)求证：AiC /平面AiBD;（川）求二面角B ABi D平面角的余弦值.12 .如图，三棱锥 P ABC 中，PA !AB, PA1AC, AB1AC, PA = AC = 2 , AB = 1 , M 为PC的中点.()求证：平面 PCB丄平面MAB ;(D)求三棱锥P ABC的表面积.13 .如图，在直三棱柱 ABC Ai B1C1 中，/ABC = 9
29、0 , AB = BC = AAi = 2,M、 N分别是AiCi、BC1的中点.()求证：BC1丄平面A1B1C;(D)求证：MN /平面A1ABB1；(叫求三棱锥 M BCiBi的体积.14 在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD , AD二. 2 , DC = SD=2 .点 M 在侧棱 SC 上, ZABM = 60 .()证明：M是侧棱SC的中点;(D)求二面角S AM B的平面角的余弦值.练习1-3一、选择题：1 . B 2 . A 3 . B 4. D二、填空题：o4(25. 60 6. 27.8.5 4三、解答题：9 .以D为坐标原点，射线 DA为x轴的
30、正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz .依题设,B(2 , 2 , 0), C(0, 2 , 0), E(0, 2 , 1), Ai(2 , 0, 4).DE =(0,2,1),DB =(2,2,0),AiC =(-2,2,-4),DA =(2,0,4).()TAC DB =0, AC DE =0, -AiClBD, AiC JDE .又 DB CDE = D,AiC丄平面DBE .(D)设向量n= (x, y, z)是平面DAiE的法向量，则n_ DE, n_ DAi.2y +z =0,令 y= i，得 n= (4, i, 2).2x +4z =0.I.cos(n, AfC)n A,CI
31、n |AiC|I4二面角Ai DE B平面角的余弦值为.I442I0 作AP JCD于点P 如图，分别以 AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系.V2V2 2则 A(0, 0, 0), B(1 , 0, 0), P(0,0), D(-2 ,2 ,0)，。(0，0，2) , M(0 , 0 ,J2 2 c、1)，N(1 - 4 , 4 ,0)斗 2 v 2LJ2寸 2 咄2()MN =(1一2,百，一1),。卩=(0,2,2),od 珂一2,2厂2)设平面OCD的法向量为n = (x, y, z),贝U n QP = 0, n QD二0,2 o 丁 y -2z =0,即 PA
32、AC =2.2 2RtABC 的面积 S3 = Si = i .AB也/CAB ,.PB = CB,1 i_ _._CB 的面积 S4 = PC MB = 乂20、上=462 2三棱锥 P ABC 的表面积为 S = Si + S2 + S3+ S4= 46.13 . (J -ABC AiBiCi 是直三棱柱， BBi 丄平面 AiBiCi,BiB IA1B1.又 BiCi JAiBi ,.AiBi 丄平面 BCCiBi ,.BCiJAiBi.BB i = CB = 2 ,.BCi 丄BiC,.BCi 丄平面AiBiC .(D)连接AiB，由M、N分别为AiCi、BCi的中点，得 MN /Ai
33、B,又 AiB 平面 AiABBi, MN 二平面 AiABBi,MN /平面AiABBi .(叫取CiBi中点H,连结MH.M 是 AiCi 的中点， MH AiBi,又AiBi丄平面BCCiBi,/MH丄平面BCCiBi,.MH是三棱锥 M BCiBi的高，11 12三棱锥 M BCiBi 的体积 VS bc1b1 MH4 133 2314 .如图建立空间直角坐标系，设 A(2 , 0, 0)，则B( .2 , 2 , 0), C(0 , 2, 0), S(0 , 0 ,2).、63()设 SMMC(，0),冲2丸 2厂一22则 M(0), BM =(-.2,)，1 ：.九 1 ：r.1 九 1-又臥二(0,-2,0), ： BA,BM 二 60.故 BM.BA=|BM |BA|cos60 ,即Fm2)2.*)2,解得=1.M是侧棱SC的中点. *211(D)由 M(0, 1, 1), A( . 2 , 0, 0)得 AM 的中点 G(,一 ,一)2 2 2231-又 GB=(2,，- ),MS =(01,1), AM -.2,1,1),2 2 2.GB AM =0,MS AM =0, GB_AM,MS_AM,cos 等于二面角S-AM B的平面角.cos(GB,MS)GB MS|GB |MS |即二面角S AMB的平面角的余弦值是一