《数字信号处理》课后答案.doc

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1、数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。解：2. 给定信号： （1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，

2、确定其周期。（1），A是常数；（2）。解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是无理数，因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。解：（1）令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。（5） 令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。（7） 令：输入为，输出为，因为故该系统是时变

3、系统。又因为故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）；（3）；（5）。解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。（3）如果，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。解：解法（1）:采用图解法图解法的过程如题7解图所示。解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)

4、的表达式:因为 所以 将x(n)的表达式代入上式，得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。（1）；（2）；（3）。解：（1） 先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：根据非零区间，将n分成四种情况求解：最后结果为y(n)的波形如题8解图（一）所示。（2）y(n)的波形如题8解图（二）所示.（3）y(n)对于m的非零区间为。最后写成统一表达式：11. 设系统由下面差分方程描述：；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：归纳起来，结果为12. 有一连续信号式中，（1）求出的周期。（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。（3）画

5、出对应的时域离散信号(序列) 的波形，并求出的周期。第二章教材第二章习题解答1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）令，则（2）（3）令，则（4） 证明： 令k=n-m，则2. 已知求的傅里叶反变换。解： 3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。解：假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，4. 设将以4为周期进

6、行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。,以4为周期，或者,以4为周期5. 设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算：（1）；（2）；（5）解：（1）（2）（5）6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2）；（3）解：（2）（3） 7. 设:（1）是实偶函数，（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。解：令 （1）x(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是w的偶函数。总

7、结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么因此这说明是纯虚数，且是w的奇函数。10. 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: 求序列及其傅里叶变换。解：12. 设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：（1）求出系统输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。解：（1）（2）13. 已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和序列

8、的傅里叶变换。解：（1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2） （3）式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的Z变换及收敛域：（2）；（3）；（6） 解：（2） （3）（6）16. 已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域时，令，因为c内无极点，x(n)=0；，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么（2）当收敛域时

9、，C内有极点0.5；，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（3）当收敛域时，C内有极点0.5，2；n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。最后得到17. 已知，分别求：（1）的Z变换；（2）的Z变换；（3）的z变换。解：（1）（2）（3）18. 已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；（2）收敛域对应的原序列。解：（1）当收敛域时，内有极点0.5，,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外

10、极点只有2, ,最后得到（2（当收敛域时，c内有极点0.5,2, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试：（1）用卷积法求网络输出；（2）用ZT法求网络输出。解：（1）用卷积法求，,，最后得到（2）用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到28. 若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列及其傅里叶变换。解：求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。时，c内有极点,n=0时，c内有极点,0，所以又因为所以3.2 教材第三章

11、习题解答1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为（2）；（4）；（6）；（8）；（10）。解：（2）（4）（6）（8）解法1 直接计算解法2 由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为 所以 等式两边进行DFT得到故 当时，可直接计算得出X（0）这样，X（k）可写成如下形式：解法2 时，时，所以，即2. 已知下列，求（1）;（2）解：（1）=（2）3. 长度为N=10的两个有限长序列 作图表示、和。解：、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。14. 两个有限长序

12、列和的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？解：如前所示，记，而。长度为27，长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：（1）最小记录时间；（2）最大取样间隔；（3）最少采样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）18. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段

13、很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。（1）求V；（2）求B；（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，

14、即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域， ，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取中第4999点作为滤波输出。5.2 教材第五章习题解答1. 设系统用下面的差分方程描述：，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：将上式进行Z变换（1）按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型

15、结构如题1解图（一）所示。（2）将的分母进行因式分解 按照上式可以有两种级联型结构：(a) 画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示(b) 画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示（3）将进行部分分式展开根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。2. 设数字滤波器的差分方程为，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行Z变换，得到（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。（2）将的分子和分母进行因式分解：按照上式可以有两种级联型结构：(a) 画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。(b) 画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示。3. 设系统的

16、系统函数为，试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。（1） ，画出级联型结构如题3解图（a）所示。（2） ,画出级联型结构如题3解图（b）所示。4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d解：(d) 5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解：(d) 6. 写出图中流图的系统函数。图f解：(f) 8已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为式中，N=5 它的频率

17、采样结构如题8解图所示。6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。解：（1）求阶数N。将和值代入N的计算公式得所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:按（6.11）式写出表达式代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤

18、波器系统函数。由于本题中，即，因此 对分母因式形式，则有 如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的。解：（1）确定滤波器技术指标：，（2）求阶数N和：为了满足指标要求，取N=4。（2）求归一化系统函数其中，极点由(6.2.38)式求出如下：（3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数 其中，因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。4. 已知模拟滤波器的传输函数为：(1)；

19、(2)。式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。解：该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。（1）的极点为：，将部分分式展开（用待定系数法）：比较分子各项系数可知：A、B应满足方程：解之得所以按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际

20、中实现。（2） 的极点为：，将部分分式展开：通分并化简整理得5. 已知模拟滤波器的传输函数为：（1）；（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。解：（1）用脉冲响应不变法方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：，代入T=2s方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对的分母配方，将化成4题中的标准形式：为一常数，由于所以对比可知，套用公式得 或通分合并两项得（2）用双线性变换法 7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。（1） (低通)；（2）（高通）；（3）除0或外的某一频率（带通）。

21、解：按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为（2）。9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。解：本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数：取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：将部分分式展开：其中，系数为：（2）去归一化求得

22、相应的模拟滤波器系统函数。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率。其中。（3）用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数：我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数或相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。教材第4章习题与上机题解答快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法， 没有新的物理概念。 FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述， 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要

23、4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。 解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好

24、存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns。 请重复做上题。 解: 与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=101091

25、0242+101091 047 552=20.961 28 ms用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积计算时间Tc约为可实时处理的信号最高频率fmax为由此可见， 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。 机器周期小于1 ns的DSP产品已上市， 其处理速度更高。 3 已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试设计用一次N点IFFT来完成的算法。 解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY

26、(k)为共轭反对称序列。 可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)计算一次N点IFFT得到f(n)=IFFTF(k)=Ref(n)+j Imf(n)由DFT的共轭对称性可知Ref(n)=IDFTFep(k)=IDFTX(k)=x(n)j Imf(n)=IDFTFop(k)=IDFTjY(k)=jy(n)故4 设x(n)是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现

27、求X(k)的2N点IDFT运算。解: 本题的解题思路就是DIT-FFT思想。（1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1根据DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。 因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。 具体方法如下：令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0

28、, 1, , N1则2N点DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2） 与（1）相同， 设x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1X2(k)=DFTx2(n) k=0, 1, , N1则应满足关系式由上式可解出由以上分析可得出运算过程如下： 由X(k)计算出X1(k)和X2(k): 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列

29、Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFFT， 得到y(n)=IFFTY(k)=Rey(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1由DFT的共轭对称性知 由x1(n)和x2(n)合成x(n):在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲

30、响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： （3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg()关于=0, , 2三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？解: （1） 直接用IFTHd(ej)计算： 41