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1、等腰三角形的“三线合一 ”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 咼互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那 么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知：ABC中，AD是/ BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证：ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行
2、，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长 AD到E点，使AD=ED由此问题就解决了。证明：延长 AD到E点，使AD=ED连接CE在ABD和ECD中AD=DE/ ADB玄 EDCBD=CD ABD ECD AB=CE, / BAD2 CED AD是/ BAC的角平分线/ BAD玄 CAD/ CED=/ CAD AC=CE AB=AC ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知：ABC中, AD是/ BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：通过（ASA的方法来证明ABD和ACD的全等，由此推出
3、 AB=AC得出ABC是等腰 三角形证明：已知：ABC中, AD是 BC边上的中线，又是 BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS的方法来证明ABD和ACD的全等，由此推出 AB=AC得出ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用例题1已知：如图，在 ABC中, AD平分/ BAC CDL AD,D 为垂足，ABAC求证：/ 2=Z 1 + Z B分析：由“ AD平分/ BAC CDLAD推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E,由逆定理得出AEC是等腰三角形由此
4、就可得出 / 2= / AEC又/ AEC=/ 1 + / B,所以结论得证。(2) 逆定理与中位线综合应用例题 1已知： 如图，在ABC中，AD平分/ BAC交BC于点D,过点 C作AD的垂线，交 AD的延 长线于点E, F为BC的中点，连结EF。求证：EF / AB,EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段 AE既是/ BAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE AB交于点G。简单证明：由逆定理得出 AGC是等腰三角形，点E是GC的中点 EF是BGC的中位线得证。例题 2如图，已知：在 ABC中, BD CE分别平分/ ABC,
5、/ ACB,AGL BD于 G, AF丄 CE于 F, AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求： FG 的长。分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长AG AF 来构造等腰三角形。简单证明：分别延长 AG AF交BC于点K、H由逆定理得出 ABK是等腰三角形点G是AK的中点同理可得点F是AH的中点 FG是AHK的中位线由此就可解出FG的长。(3) 逆定理与直角三角形的综合应用例题 1已知，如图，AD为RtABC斜边BC上的高，/ ABD的平分线交 AD于 M,交AC于P, / CAD的平分线交BP于Q。求证：QAD是等腰三角形。分析：由直角三角形
6、的性质可知道/AQM=90，由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以想到延长AQ交BC于点N。简单证明：由添辅助线得出ABN是等腰三角形 Q点是AN的中点在 Rt AND中, Q是 中点 QA=DQ, 得证。例题 2如图，在等腰ABC中，/ C=90,如果点B到/A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：已知条件满足了逆定理2,所以延长BE和AC交于点F。简单证明：由所添辅助线可知ABF是等腰三角形 E点是BF的中点 BF=2BE=10再由ADC和BFC的全等得出 AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析， 找出关键语句， 满足定理条件， 添加适当的辅助线来构造等腰三角 形，以达到解决问题
7、的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应用）例题 1 （2006 年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像开口向下， 与x轴的一个交点为 B,顶点A在直线y=x 上，0为坐标原点。证明：AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线 -过点A作ADL x轴，垂足为D及直线y=x的性质， 可以知道AOB是等腰直角三角形。例题 2如图，以ABC的边AB, AC为边分别向形外作正方形 ABDE和ACFG求证：若 DF/ BC,则 AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质： 边，角以及对角线：边的相等，角的 相等并都等于 90 度，现要证明等腰三 角形，能与
8、其最密切的想到是否也能构 造直角呢于是就想到了添辅线 AH 简单证明：分别过点 A D F作AH丄BC, DI丄BC,FJ丄BC,分别交BC于点H, CB的延长线于 I , BC的延长线于J由 DF/ BC，DI=FJ又 AH3 CJF （AAS, ABH BDI（AAS） HC=FJ,BH=DI BH=HC,得证。抓住已知条件和结论的联系， （例题 1 中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的 内在联系，例题 2 中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系， ）通过获 取的信息以及对等腰三角形 “三线合一” 性质的逆定理的熟练把握， 再进行对题目的重新整 合，就能快速做出解
9、题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。(5) 逆定理在作图中的应用已知：线段 m Za 及求作 ABC 使/ ABC/a,/ ACBB,且 AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图 上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用 尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为 m以及外角的性质我们可以找到一顶点 A,再由垂直平分线与边的交点找到另两个顶点B和Co作法：1、画射线OP在0P上截取线段OQ=m,2、画射线 0M 使Z MOP=1/2Za3、画射线 QN使Z NQO=1/2Z3 ,交射线 0M于点A4、 分别作AO AQ的垂直平分线，交 0Q于B, C两点，ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的 应用不但可以强化 学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路， 丰富联想，从而达到融会贯通的目的。