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1、“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)时间：2021.03. 03创作：欧阳学排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求 高，对于相同元素有序分组问题，釆用“隔板法”可起 到简T匕解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题 也可以借助隔板法来求解，下面通过典型例子加以解决。例1、(1) 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有 多少种？(2) 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子 中，问不同放法有多少种？(3) 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子 中要求毎个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于 其编
2、号数，问不同的方法有多少种？解：(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔， 在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1” 看成隔板，则如图隔板将一排球分成 四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图 中1, 2, 3, 4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个 小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放 法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于 一种放法，所以不同的放法有不=165种。(2) 法1:(分类)装一个盒子有G种；装 入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子， 每盒至少装一个有 W=66种;装入三个盒子，即12个 相同的小球装入三个不同的盒子，毎
3、盒至少装一个有 C4CH =220种;装入四个盒子，即12个相同的小球装入 四个不同的盒子，每盒至少装一个有 =165种；由加法原 理得共有 4+66+220+165=455 种。法2:先给每个小盒装 一个球，题目中给定的12个 小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至 少装一个的装法有 V =455种。(3) 法1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小 球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或 两个盒子，共有C； + C：=l()种。法2:先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个 4、球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒 子，每盒至少装一个，由隔板法有C = 1O由
4、上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问 题都可以转化为至少分一个的问题。例2、(1)方程為+x2 + +“t()的正整数解有多少组？(2)方程西+ +兀=1()的非负整数解有多少组？(3)方程 纠+勺+兀+心=3的非负整数整数解有多少 组？解：(1)转化为10个相同的小球装入4个不同的盒 子，每盒至少装一个，有空=84种，所以该方程有84组 正整数解。(2)转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个相 同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有= 286种，所以该方程有286组非负整数整数解。(3)当禹=时，转化为3个相同的小球装入9个
5、不同的 盒子，可以有空盒，有皤=165种。当儿=1时，转化为1个 小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有C；=9种；所以 该方程有165+9=174组非负整数整数解。例3、已知集合I = 123,4,5, 选择I的两个非空子集且A中最大的元素比3中最小的元素小，则选择方法有多 少种？解：由题意知 人3的交集是空集，且的并集是I的子集C, 所以C至少含有两个元素，将C中元素按从J、到大的 顺序排列，然后分为两部分，前边的给A , 后边的给B, A.B至少含有个元素，设C中有”个元素，则转彳匕为”个 相同的小球装入2个不同的盒子，则有 种装法，故本题 有 C；+C；C；+C；C；+C；C：=49 种选择方法。总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我 们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可 用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元 素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解 决。时间：2021.03. 03创作：欧阳学