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1、常用周期信号的分数阶微分运算第36卷第2期2OO4年3月四川大学(工程科学版)JOURNALOFSICHUANUNIVERSITY(ENGINEERINGSCIENCEEDITION)V01.36No.2MOJ.2o()4文章编号:1009.3087(2004)020094-04常用周期信号的分数阶微分运算赵元英,袁晓,滕旭东,魏永豪(四川大学电子信息学院,四川成都610064)摘要:分数计算分数阶微分与分数阶积分受到众多领域的广泛关注.从信号处理的观点来考察分数阶微分问题.首先,在频域中将微分算子分解为幅度算子和相位算子,导出正弦,余弦和复指数信号的分数阶微分表达式;然后考察矩形,三角形,梯
2、形等常用周期信号的分数阶微分.给出了一些常用周期信号分数阶微分的解析形式,同时也研究了周期序列的分数阶微分运算的数字实现.结果表明分数微分运算确实存在,它同时改变了信号的幅度和相位,可以对之进行非线性分析.关键词:分数阶导数;数字微分器;FIR滤波器中图分类号:TN713,7文献标识码:AFractionalOrderDifferentiationofPeriodicalSignalsZHAOYuanying,KUAN,TENGXu一ng,WEInghao(SchoolofElecuonicandInfo.,SichuanUniv,Chengl】u610064,China)AbstractTh
3、efractionalcalculus-fractionaldifferentiationandfractionalintegrationarewidelypaidattentioninmanyfieldsinrecentyears.Thefractionalorderderivativeisinvestigatedfromtheviewpointofsignalprocessinginthispaper.Firstly,inthefrequencydomain,differentiatialoperatorisdecomposedintomagnitudeandphaseoperator,a
4、ndthefractionalorderexpressionsofperiodicalsignals,suchassinewave,cosinewaveandcomplexexponentsignal,arededuced.Secondly,thefractionalorderdifferentiationofrectanglesignal,trianglesignalandtrapeziasignalafecarriedout,rneanwhiletheanalyticalexpressionsofthemarepresentedinthispaper.Finally,digitalreal
5、izationoffractionalorderdifferentiationisinvestigated.Theexperimentalresultshowsthatthefractionalorderdifferentiationdoesexist,anditcallbeusedinnonlinearanalyseofsignals.Keywords:fractionalorderderivative;digitaldifferentiator;FIRfilter微分运算是一种基本的数学运算,在信号分析与处理等领域得到广泛应用,特别在信号的奇异性检测提取,动态变量分析等方面具有特殊的作用.
6、常规的整数阶微分运算只能对信号进行线性分析,然而在自然现象中,处处存在着非线性问题,如湍流,摩擦,噪声等等,这时单纯地用整数阶微分来描述就不足以解决问题.这就很自然地想到将微分算收稿日期:2003-04-21作者简介:赵元英(1980.),女,硕士生.研究方向:信号与信息处理.子由整数阶推广到分数阶.分数阶微分运算是一个既古老而又新鲜的课题.该问题曾被许多大数学家涉及和探究过,但难度很大,它一直是数学家的珍玩,几乎没有引起工程技术界人士的关注.说其新鲜是在于随着现代科学技术的发展,特别是计算技术和信息技术的高度发展,使得人们有能力研究和探索许多非问题,所以人们又重新认识到分数阶微积分运算的重要
7、性.在文献1的基础上,根据分数微分的频域定义,从理论和数字处理角度探究了常用周期信号的分数微分运算及其数字实现问题.第2期赵元英,等:常用周期信号的分数阶微分运算951分数阶微分运算对于任一能量型函数(或信号)f(t)L(尺),设其傅里叶变换为cU)=(f)?edf.假设f(t)的整数(Z)阶微分存在=.则其傅里叶变换为(D七厂)(cU):()(cU):a(cU)?cU)(1)式中,():(ko)称为后阶微分乘子函数.a()的指数形式为fa()=三()?exp(cu):,():sgn()(2)将上式的整数阶推广到任意阶算子D,对应的(R),就很自然地得到分数阶导数,(t)在频域的形式:(D)(
8、)=():a()?cu)(3)式中,乘子a(cU)在频域的指数形式为f()=三()?exp娩(叫)=av()?()lav():I口(cu):sgn()(4)式中,(0,z.根据傅里叶变换理论,式(3)的时域等价形式为D(t)=-厂(t)*d(t)=f(t)*0(t)*P(t)(5)写成算子形式为D(t)=A(t)=(t)(6)由此可见,微分算子被分解成幅度算子和相位算子,这说明微分运算不但改变了信号的幅度,还改变了信号的相位.傅氏变换的基函数:sino0t,cos(.o0t和o(式中,co0>0)是单频周期函数且具有整数阶微分,根据上述分数阶微分运算的定义,有(sin0)w:0sin(o
9、0f+)(coso0f):0c.s(cuo)(7)(8)(.c)w:0(c+):cU0.(9)显然,当:(Z)就得到通常意义下的微分情形.图1为余弦信号的分数阶微分.图1cos(2nt)的分数阶微分cos(2)Fig.1Thefraonaldifferentiationofcos(2nt)2分数阶数字微分器根据数字信号处理理论j,我们将理想的数字分数阶微分滤波函数(cU)定义为(cu)=h(n)e=(/w),nZ0<<,cUl一7c,7rj(10)式中,对应的时域冲激响应为1r1rhv(n)=I(cu)edcu=I()ed=l6OrCOS.d一1isid,7rJ07rJ0nZ(11
10、)显然当为正整数时,此频率响应即代表了整数阶微分.对于任意给定的一微分阶数,从理论上均可由公式(11)算出理想的数字分数微分滤波器h的每一个系数值h(n).其中,整数阶=(Z)的h(n)和(0)具有简明的解析形式,而当为分数时,h(n)可以由式(11)以任意精度值算出.由式(11)计算得到的是理想IIR数字分数微分滤波器,并且对于大多数的(>0)值来说,微分器h收敛很慢,这使得其滤波实现变得困难.因此很自然的想法是用FIR滤波器来实现数字分数微分器.设计FIR滤波器,常用的方法有窗函数法,频率采样法等.窗函数法是设计FIR数字滤波器最简单的方法,最简单的窗函数是矩形窗.图2给出了:0.2
11、,L=61的矩形窗FIR数字微分器的特性.图(b)中,细线条表示理想的0.2阶微分器的频率响应,粗线条表示所设计的实际微分器的频响.但是,当cU=0时,其频率响应并没有象理想频四川大学(工程科学版)第36卷_一_一041.J.一.L.一,.,.,.一一30.20一l00102030,7(f1)冲激响应(即滤波器系数1.5=I.0童05OO.40.23O一02.O.4一一1J【】O.5了厂f一()05l(】了r(b)I,l9jj特I)I,相位特)图2FIR数字微分器(v=0.2,L:61)Fig.2FIRmgitaldefferentiator(v=0.2,L=61)响那样归于零点,这就破坏了微
12、分器的波动特性.频率抽样法可以有效地解决这个问题,根据频率抽样法的原理,在各频率抽样点上,滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的.因此,如果选择的抽样点包括零点,则:0时,频率响应一定可以准确地归于零点.3周期信号的分数阶微分运算一个函数厂(t)常用相应的无穷级数n()表示:()=kEn().对于周期信号,傅里叶级数可用于表示或逼近某些函数,可以对傅里叶级数进行运算来描述对函数的运算.3,1理论分析如果某一周期信号.厂(t):.厂(t+mT),T>0,nZ能够展开成一个傅氏级数):了a0+(ancos舢0+6sin舢0).n=1式中,a,b0,nZ为傅里叶系数.则由分数阶微
13、分的频域定义及式(7)(9),可得该周期信号的分数阶微分的闭式表达/<()=n(砌0)c.s(砌0+)+n=16(.)sin(.+Try).表l中给出了一些常用周期信号的分数阶微分表达式.表1常用周期信号的分数阶微分Tab.1Fractionaldifferentiationofcommonlyusedperiodicalsignals,.一.:一.一,一h一一一.一一一一rLLL2m石4,一02,0OOO0一第2期赵元英,等:常用周期信号的分数阶微分运算973.2数字实现对于分数阶微分器,输入一个周期信号,可对它进行分数阶微分.考察输入为三角波的情形,0<<1.图3中(a)
14、是根据三角波的微分公式作出的图形,是分数阶微分的理想图形.(b)是将三角波作为输入,与微分器的冲激响应h(凡)相卷积后的输出图形.图中,T:2rr.151.0O.500,一O.51.0.1.5镛/),j2l.八Y0.5,/,/一?V=EU,L:0123456789,(b)利J微分搽微分图3周期三角波微分.3Thedifferentiation0fperiodicaltrianglesigma4结束语主要研究了周期信号的分数阶微分运算.通过将微分算子由时域转换到频域,从而把整数阶微分运算拓展到分数阶.文中列出了一些常用周期信号的微分表达式,特别比较了三角波信号的理想微分和经微分器后的微分.由此可
15、知,分数阶微分不仅改变了信号的幅度,同时也改变了信号的相位,信号形状的变化呈一种规律性,在图3中,随着的连续变化,波形也连续变化.由于采用FIR滤波器微分,使得结果较理想值出现误差,误差主要集中在波形幅度跳变处.总之,分数阶微分是整数阶微分的一种推广,对于非线性问题的研究具有重要的理论意义,值得深入地关注和研究.参考文献:1袁晓,陈向东,李齐良,等.微分算子与子波构造J.电子,2002,30(5):769773.2袁晓,陈向东.分数导数与数字微分器设计J.电子学报,2004,32(4):631639.3王晟达,袁晓,滕旭东.数字微分器系数函数的快速获取算法J.信号处理,2003,19(增刊):402405.4美OppenheimAV,SehaferRW.数字信号处理M.董士嘉,杨耀增译.北京:科学出版社,1980.5程佩青.数字信号处理教程M.北京:清华大学出版社,l995.(编辑杨蓓)