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1、第13讲圆的常见辅助线（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）垂径定理解题应用举例垂径定理的题设和结论 题设 结论 注意：题设中的两个条件缺一不可。 （不用添加内容，也不做修改）（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）一、利用垂径垂直平分弦，证有关线段相等例1如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。 证明：过O作OMCD于M， CM=DM， AECD，BFCD， AE/OM/FB， 又O是AB中点， M是EF中点（平行线等分线段定理）， EM=MF， CE=DF。 说明：此例是垂径定理及平行线等分
2、线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 二、利用垂径平分弦所对的弧，处理角的关系例2已知ABC内接于O，且AB=AC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 分析：因为不知道ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1） 假若
3、ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得ADBC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在RtOBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在RtABD中可求出AB的长。 （2） 若ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证ODBC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在RtADB中求出AB的长。 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 在RtOBD中，由勾股
4、定理得：BD=4， 在RtADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB=4 (cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB= (cm)， AB=4cm或4cm。 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 三、利用垂径定理，构造勾股定理例3已知如图：直线AB与O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OEAB于点E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已
5、知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。 例4如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=600，求CD的长。 解：作OFCD于F，连结OD， AE=1，EB=5， AB=6，OA=3， OE=OA-AE=3-1=2，在RtOEF中， DEB=600， EOF=300，EF=OE=1， OF=， 在RtOFD中，OF=，OD=OA=3， DF= (cm)， OFCD
6、，DF=CF， CD=2DF=2 (cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。 例5、如图大O的半径为6cm，弦AB=6cm，OCAB于C，以O为圆心OC的长为半径作圆，交OA、OB于点D、E。(1)求小O的半径OC的长(2)求证：ABDE分析：求OC的长的问题实际上是一个解直角三角形的问题，而求证ABDE则可以利用三线八角来完成。（1） 解：OA=OB=AB=6cm AOB为等边三角形 底边AB上的
7、高OC也是底边上的中线 OC=（2） 证明：AOB是等边三角形 A=AOB=600 在ODE中，OD=OE，DOE=600 ODE为等边三角形 ODE=600 ODE=A DEAB说明：这里用到了等腰三角形“三线合一”的性质，若要证明“OC垂直平分DE”，如何表达较为简便？已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证：AM=BM，. 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称A档练习题1、（20
8、13年潍坊市）如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）. A. B. C. D. 2、(2013年黄石)如右图，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为A. B. C. D. 3、(2013河南省)如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】（A） （B） （C）ADBC （D）4、（2013泸州）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm5、（2013广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若
9、AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）AcmB5cmC4cmDcmB档练习题6、（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m7、（2013温州）如图，在O中，OC弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）ABCD8、（2013嘉兴）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D29、（2013莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（
10、）ABCD10、（2013徐州）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P若CD=8，OP=3，则O的半径为（）A10B8C5D311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4 B. 5 C. 6 D. 8C档练习题12、（2013宜昌）如图，DC 是O直径，弦ABCD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）ABAF=BFCOF=CFDDBC=9013、（2013毕节地区）如图在O中，弦AB=8，OCAB，垂足为C，且OC=3，则O的半径（）A5B10C8D614、（2013南宁）如图，AB是O的直径
11、，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，BAC=BOD，则O的半径为（）A4B5C4D315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.D.16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A3cmB4cmC5cmD6cm17、（2013内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆O上的
12、点，在以下判断中，不正确的是（ ）A、当弦PB最长时，APC是等腰三角形。 B、当APC是等腰三角形时，POAC。C、当POAC时，ACP=300. D、当ACP=300，PBC是直角三角形。19、（2013宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为20、（2013宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm21、（2013包头）如图，点A、B、C、D在O上，OBAC，若BOC=56，则ADB=度22、（2013株洲）如图AB是O的直径，BAC=42，点D是弦AC的中点，则DOC的度数
13、是度23、（2013黄冈）如图，M是CD的中点，EMCD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为24、（2013绥化）如图，在O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若O的半径为2，则弦AB的长为25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB，若O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 26、（2013张家界）如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD=27、（2013遵义）如图，OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，点P在O上，APC=26，则BOC=度28、（2013陕西）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、
14、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），的半径为，则点P的坐标为 _.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。（2013白银）如图，在O中，半径OC垂
15、直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明31、（2013黔西南州）如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径32、（2013恩施州）如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长33、（2013资阳）在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数14