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1、立体几何中的射影、截面和展折 近几年，高考立体几何试题紧紧围绕空间想象能力和逻辑思维能力进行考查，在控制难度的基础上，加大了空间想象能力的考查，主要是考查学生的识图、构图能力，空间概念和空间想象能力，这类题目立意形式多样，但多数是以空间图形的射影、截面和展折为知识和能力的结合点，考查学生的空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力。下面结合近几年各地高考和模考中的经典例题予以分类解析，以飨读者。一、射影例1 如图1，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜。记三种盖法的屋顶面积分别为P1、P2、P3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则（ ）A
2、P3P2P1BP3P2P1CP3P2P1DP3P2P1 图1分析 设这间民房的地面面积为S0，则有，所以 P3P2P1，故选D。本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，又为社会实践服务的基本事实。图2例2 如图2，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_。（要求：把可能的图的序号都填上）分析 从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD1E在正方体各个面上的投影，可知图正确。例3 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB/平面，则正四面体上的所有点在平面内的射
3、影构成的图形面积的取值范围是_。ABCD图3分析 如图3，设正四面体ABCD在平面上的射影构成的图形面积为S，因为AB/平面，从运动的观点看，当CD/平面时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面相交时，则当CD平面时，射影面积为最小，最小值为（证明略），所以.ABGBCHCA图4DM例4 如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，从正西方向射出的太阳光线与地面成75角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？分析
4、墙面ABHG在太阳光照射下的射影为 ，由题意可知光线与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC面与地面所成的角为（00900），ABC在地面上的射影为，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，即的面积最大，在上取一点D，使/AC，则易证明面ABC/面，且ABC，在平面内作DM，垂足为M，连C/M，ABCC/，C/M，则平面与地面所成的二面角的大小为DMC/=,又由已知条件可得为直角三角形，DM=m，在DMC/中，由正弦定理得MC/= ，当=1，即=150时，MC/最大，为定值，所以此时的面积最大。二、截面例5 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）ACBD 分析 考虑过球心
5、的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。ABCHA1B1C1D1EFGDABCDA1B1C1D1EFGH图5（2）图5（1）例6 如图5，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： 水的部分始终呈棱柱状； 水面EFGH的面积不改变； 棱A1D1始终与水面EFGH平行； 当容器倾斜到如图5（2）时，BEBF是定值；其中正确的命题序号是_分析 当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中EH/FG，但EH与FG的
6、距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故错误；在转动过程中，始终有BC/FG/A1D1，所以A1D1/面EFGH，正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为是定值，又BC是定值，所以BEBF是定值，即正确。所以正确的序号为.C1ABCDA1D1B1EGF图6（1）例7 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）A B C DC1ABCDA1D1B1EGF图6（2） 分析 本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图6（1）
7、，最大值为立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图6（2）EB1C时容器的容积最大，最大容积为，故选C。三、折与展例8在下面四个平面图形中，哪几个是正四面体的展开图，其序号是_. (1) (2) (3) (4) 分析 这是一道考查空间想象能力和动手操作能力的问题，把展开图形折起后，只有（1）（2）是正四面体。故选取（1）（2）HICGFDBAE图7（1）例9 如图7（1），在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的弧度数是（ ）FB
8、DEHGI图7（2）MA B C D分析 把ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥为B-DEF，图7（2），取GF的中点M。连结IM，则HM/BG，所以BG、IH所成的角即为HM、IH所成的角，在MIH中易求得MHI=，即选A。例10 如图8（1），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。ABCA1B1C1P图8（1）ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为_。分析 由已知条件可知，A1BC1和BCC1都是直角三角形，又BC=CC1=，所以CC1B=450，把二面角A1-BC1-C展成平BCC1PA1图8（2）面图形，如图8（2），连结A1C交BC1于P，则A1C= CP+PA1即为最小值。在A1C1C中，A1C1=6，CC1=，AC1C=1350由余弦定理得A1C=5，即CP+PA1的最小值为54专心 爱心 用心