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1、数学思想在不等式问题中的体现一、分类讨论思想 例1. 已知不等式，（1）求该不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。 解：（1） 当k1时，解集为 当时，解集为 当k1时，解集为 （2） 所以 评注：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关。因此，不等式的解集为R（不等式成立时）或（不等式不成立时）。二、转化与化归思想 例2. 已知a，b，c为正整数，且，求的值。 解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式与不等式等价，这个等价不等式又可转化为。 即a=2，b=3，c=6 评注：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有
2、效的手段。三、换元思想 例3. 解不等式 解：若令则 ，且 不等式化为 即 解得 从而 即 不等式的解集是四、数形结合思想 例4. 设a0为常数，解不等式。 解：不等式转化为 令函数和 其图象如图所示 由 解得（舍去） 两个函数图象的交点为 由图知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方 不等式的解集是 评注：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。五、方程思想 例5. 已知，求证 分析：结论可以转化为，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。 解：由已知可化为，这表明二次方程有实根，从而需要判别式，即成立。六、构造思想 例6. 解不等式 分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。但注意到，且题中出现，启示我们构造函数去投石问路。 解：将原不等式化为 令 则不等式等价于 在R上为增函数 原不等式等价于 解得七、整体思想 例7. 已知，且，求的范围。 解：令 可得 又 可解得 评注：题中，且是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。3