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1、第四章 解线性方程组的迭代法,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,2,4.1 三种基本的迭代法 4.1.1 Jacobi迭代法 (1.公式的推导, 2.Jacobi迭代法的矩阵形式, 3.Jacobi迭代法的缺陷) 1.公式的推导,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,3,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,4,对于n阶方程组Ax=b,假定系数矩阵A的对角元 (i=1,2,n)时，类似于(4.3)式的推导，可得雅可比迭代格式为：,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,5,在一定条件下，对任意初始向量 ，按迭代公式(4.4)求出的向量序列的极限存在且等于方程的解。这种用迭代格
2、式(4.4)求线性代数方程组近似解的方法称为雅可比迭代法，也称简单迭代法。,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,6,2.Jacobi迭代法的矩阵形式,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,7,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,8,3.Jacobi迭代法的缺陷,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,9,4.1.2 高斯赛德尔(Gauss Seidel)迭代法,1. 迭代公式（将4.3式作一点改进，得到下式：）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,10,2.用矩阵形式表示,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,11,（重点）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋
3、,12,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,13,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,14,3.程序框图,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,15,（参看4.8式）,4.1.3 超松弛迭代法(SOR方法) （要求了解）,（预算一次）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,16,（重算一次）,（将两步并为一步）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,17,2.用矩阵形式表示,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,18,3.SOR方法的程序框图,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,19,（略）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,20,2021年7月20日
4、星期二,主讲 韩光朋,21,4.2 迭代法的收敛条件,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,22,4.2.1 迭代法收敛的概念,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,23,3.用范数来讨论迭代法的收敛条件,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,24,4.2.2 迭代法收敛性的判定定理,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,25,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,26,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,27,定理4.1只是用作理论研究，实际计算时仍用各自方法的迭代格式。,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,28,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,29
5、,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,30,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,31,（证明略）,有了定理4.2，对于某些方程组，可直接用系数矩阵来判定使用雅可比迭代法和G-S迭代法求解是否收敛。重新考察例3，由于系数矩阵 ，可知矩阵A按行严格对角占优。因此，由定理4.2,采用雅可比迭代法和G-S迭代法求解例3的方程组收敛。,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,32,注：引理4.1的证明涉及到线性代数中的约当标准型和约当矩阵的有关知识，对引理4.1的证明感兴趣的读者可参看张徳荣、王新民、高安民编，计算方法与算法语言第102面引理4。,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,33,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,34,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,35,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,36,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,37,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,38,利用定理4.3可以证明松弛迭代法收敛的一个充分条件。 定理4.4 设方程组Ax=b的系数矩阵A为实对称正定阵，且0w2，则松弛迭代法收敛。 （证明略）,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,39,2021年7月20日星期二,主讲 韩光朋,40,