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1、全国高考数学“平面向量”试题分析小结平面向量是高中数学的三大数学工具之一，具有代数和几何的双重性.向量是数形结合的典范，是高考数学综合题命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的热点.主要涉及的知识点有：一、向量的加法与减法、实数与向量的积向量基本概念及相关的基本理论在高考试题中可以以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运算及其几何意义在试题的难易程度上可以偏难一些。【例1】 （2006年北京卷）若三点共线，则的值等于 .解：， ，依题意，有（a2）（b2）40即ab2a2b0所以【例2】 （2006年上海） 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A） （B）
2、（C）（D）0解：由向量定义易得， （C）选项错误；.二、向量的数量积与运算律【例3】 （2006年辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是 （ ）(A) (B) (C) (D) 解答：解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B. 【点评】 本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.【例4】 （2006年辽宁） 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;【解析】(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径
3、证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径【点评】本小题考查了平面向量的基本运算.三、两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移【例5】 （2005年全国卷）点在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)（即点的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）设开始时点的坐标为（-10，10），则秒后点的坐标为（A）（-2，4） （B）（-30，25） （C）（10，-5） （D）（5，-10）解：设5秒后
4、点P运动到点A,则,=(10,-5),选(C)【例6】 （2006年湖北卷）设函数 f（x）=a（b+c），其中向量a=（sinx,-cosx），b=（sinx,-3cosx），c=（-cosx,sinx），xR.（）求函数的最大值和最小正周期；（）将函数的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2
5、x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求. 【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。四、正弦定理、余弦定理、解斜三角形 【例7】 （2005年江苏卷）ABC中，则ABC的周长为（A） （B）（C） （D） 解答：在中，由正弦定理得：化简得AC= ，化简得AB=， 所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+ =3+ 故选D.【点评】 本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用. 【例8】 （2006年天津卷）如图，在中，（1）求的值；（
6、2）求的值. 解答：（）由余弦定理（）由，且得由正弦定理解得由倍角公式，故 【点评】 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算能力及分析和解决问题的能力.五、平面向量的工具性应用【例9】 （2007年四川卷）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解答：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或【点评】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力. 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与函数、三角函数、解析几何、立体几何之间有着密切联系.在高考中就着重突出了对向量与数学其他分支的结合考查. 同学们在平时的复习中，需要能熟练地掌握向量语言与其他数学语言之间的等价转化.