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1、24.8 角平分线的性质及其逆定理1. ABCDEF如图，ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，在以下结论中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4答案：B2. ABCDE如图，RtABC中，C=90，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_，AD=_，ABC的周长是_答案：3，5，243. 用三角尺画角平分线：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线请解释
2、这种做法的道理你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理答案：提示：OM=ON，OP=OP，RtOMPRtONP(HL)，MOP=NOP，射线OP是AOB的平分线4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置5. BCDEA如图，ABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（）A3cmB7.5cmC6cmD4.5cm6. 如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点求证：点P在C的平分线上ABCDEP7. AB
3、CDP如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C求证：（1）AD=CD；（2）ADB=CDB8. ABDCEOMN如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上9. ABCDEF已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，E、F分别为垂足求证：AD垂直平分EF10. ABDCE如图，已知ABC中，C=90，BAC=2B，D是BC上一点，DEAB于E，DE=DC求证：AD=BD24.7 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1. 如图，ABC中，CAB=120，AB，AC的垂直平
4、分线分别交BC于点E、F，则EAF等于（）A40B50C60D80 CABEF2. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的_；若点P在AB的_，则PA=PB3. 已知：ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P求证：点P在BC的垂直平分线上4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则CBD的度数为（）A60B75C90D95EBCFA5. 如图，在ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=_6. EDCBA如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写
5、推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？7. ABCPQR如图，ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC求证：点Q在PR的垂直平分线上8. 把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则BCD是（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D任意三角形9. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定、线段垂直平分线和角的平分线部分典型习题1、（2008重庆）ABC中，AB=AC，BAC=100，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ） A、点P在ABC 内 B、点P在A
6、BC 底边上 C、点P在ABC 外 D、点P的位置与ABC 的边长有关2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且EAF=100，EBF=70,则AEB等于( ) A、95 B、15 C、95或15 D、170或304、（2009陕西）如图1，在锐角ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 。5、（2009甘肃）如图2，四边形ABCD中，ADBC，若DAB的平分线AE交CD于E，连接BE
7、，且BE恰好平分ABC，则AB的长与ADBC的长的大小关系是（ ） A、ABADBC B、ABADBC C、ABADBC D、无法确定6、在直角梯形ABCD中，A=B=90，M是AB上一点，连接MD、MC,MD、MC分别平分ADC、BCD，求证：（1）AM=BM ； （2）DMC=90.7、（2009北京）如图3-所示，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图3-,在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关
8、系；（2）如图3-，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。8、（2007绵阳）如图4，在ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。AD平分BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ,，。（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。9、如图5，以ABC两边AB、AC为边，向外作等边ABD和等边ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分DOE10、（2007日照）如图6，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC
9、的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：ADCF；（2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由。1.在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长变式1:如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A=?变式2:如图，RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，B=15，求AC的长。变式3:如图，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，B=22.5，求:AC的长。例1：如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线
10、交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.点评：此题是ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.图1图2变式1：如图1，在ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A=？解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出BEC=2A，进而得出A=35.点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：AEC=2B.变式2：如图3，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，B =15求：AC的长。图3