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1、线性规划问题探究线性规划问题是高中数学教材新增添的内容,也是近几年全国各地高考数学试卷中的新成员, 已成为高考的热点之一 这类试题的特点是：给出几个条件,求在该条件的制约下目标函数的最大(小)值或取值范围解答的一般方法是：画出可行域，运用数形结合的思想方法，结合图形的几何直观性求解一直线的截距型如果目标函数为：，则变形为，把看作是直线在纵轴上的截距，把问题转化为求纵轴上的截距的最大(小)值或取值范围例设变量、满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）9【解答】：画出变量、所满足的约束条件的可行域，在坐标系中画出可行域如图1所示为ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3
2、，3)，则目标函数的最小值为3，选B图2【评注】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题例2在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A. B. C. D. 【解答】：由交点为，（1） 当时可行域是四边形OABC，此时，（2） 当时可行域是OA此时，故选D【评注】由于有字母参数，所以解答时，要分类讨论二两点间的距离型如果目标函数为：，其中，为常数，则问题转化为求可行域内的点与定点之间的距离平方的最值问题例3已知，则的最小值是_. 【解答】：由已知条件，画出可行域，如图3，得交点A(1，2)，B(3，4)，表示可行域内的点到原点的距离的平方由图可知的最小值是三、点与直线间的
3、距离型如果目标函数形如，可以转化为形式，将问题化归为求可行域内的点到直线的距离的倍的最大(小)值或范围例4已知实数满足，则的最大值是_.【解答】：根据已知条件，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，因为，观察知点B(5，0)到直线的距离的最大，最大值是四、直线的斜率型：如果目标函数形如（），则可以变形为的形式，将问题转化为求可行域内点与定点连线的斜率的倍的最大(小)值或取值范围例5已知x和y是正实数，且满足约束条件求的最小值是 【解答】：表示可行域内的点与定点的斜率画出可行域，如图所示，易得点坐标为（3.5，6.5），B点坐标为（6，4），点C的坐标为（3
4、.5，1.5），直线C的斜率取得最小值，故所求的最小值为1例6已知变量满足约束条件，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 【解答】： 在坐标系中画出可行域，如图5为四边形ABCD，其中A(3，1)，目标函数（其中）中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+)五、求平面区域的面积关键在于正确作出线性规划的可行域的图形例7在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)【解答】：由题设画出可行域如图6所示为， ，故选择B【评注】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积六、其它例
5、8某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为千克甲、乙产品每千克可获利润分别为元月初一次性购进本月用原料A、B各千克要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（）（A）（B）（C）（D）【解答】：解答的关键在于理解题意，注意使用原料A和原料B的总量不能分别超过千克且千克和千克都是非负数故选C例9.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A) (B) (C) (D) 【解答】：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有【点评】：本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题近年来线性规划问题已经成为高考数学考试的一个新热点，解决这类问题所使用数形结合思想方法是数学中的重要思想方法之一,它是连接代数和几何的 “桥梁” 线性规划问题的出现，体现了数学知识在实际生活的应用价值，是“人人学有价值的数学”，“人人都能获得必需的数学”的新课程理念在高考中的体现因此，线性规划这一类新型数学应用问题要引起我们的重视