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1、 黄金三角形定义： 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形之类，正是因为其腰与边的比为(5-1)/2.约为0.618而获得了此名称。黄金三角形的画法:1、作正方形ABCD2、取AB的中点N3、以点N为圆心NC为半径作圆交AB延长线于E4、以B为圆心BE长为半径作B5、以A为圆心AB长为半径作A交B于M则ABM为黄金三角形。(如下图)黄金三角形的分类黄金三角形有2种：等腰三角形，两个底角为72，顶角为36；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(5-1)/2.等腰三角形，两个底角为36，顶角为108；这样的三角形的一腰与底之长之
2、比为黄金比：(5-1)/2.黄金三角形的特征编辑黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36，每个底角为72.它的腰与它的底成黄金比当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个全等的小三角形生成其相似三角形的三角形。黄金三角形把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。根据定义，第一种黄金三
3、角形是底与腰的比值为(5+1)/2的等腰三角形，顶角为36，底角为72。设小三角形的底为a，则腰为b=(5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。则大三角形的边长为小三角形对应边长的5倍，即大三角形的底为A=5 a，腰为B=5 *(5+1)a/2=(5+5)a/2。大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：B=2a+b而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：2aA3abAb+a可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图1）。故命题错。另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(5-1)/2的等腰三角形，顶角为108，底角为36。设小三角形的底为a，则腰为b=(5-1)
4、a/2。同样可以证明：A=2b+a2bB3baBb+a可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。故命题错。事实上，勾为a，股为b=2a的直角三角形可以满足命题要求。显然，弦c=a2+b2 =5 a大三角形的对应边：A=5 a=cB=2A=2cC=5 *(5a)=5a=2b+a满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的（图3）。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。顶角36的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108的黄金三角形把顶角一个72和一个36的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其
5、中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。小练习1.如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线请你说明理由（4）如图4，点
6、是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点A图1DB图2CADB图3CFEFCBDEA图4（第27题图）例1如图1，已知线段，点在上，且有，则的数值为_；若的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_位置最好宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作
7、EFAD，交AD的延长线于FABCDEFMN第21题图请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形例2若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形；（2）探究：在（1）中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明） 答案1.（1）直线是的黄金分割线理由如下：设的边上的高为，所以，又因为点为边的黄金分割点，所以有因此所以，直线是的黄金分割线（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，所以三角形的中线不
8、可能是该三角形的黄金分割线（3）因为，所以和的公共边上的高也相等，所以有设直线与交于点所以所以，又因为，所以因此，直线也是的黄金分割线（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线2.(本题满分8分)证明：在正方形ABCD中，取， N为BC的中点， 在中，又 ， 故矩形DCEF为黄金矩形 例1解：由黄金分割的定义可知的数值为依据教材上的介绍可知节目主持人应站在线段的黄金点，这样台下的观众看上去感觉最好例2解：（1）在边上，分别截取，连接，则四边形即为所求作的正方形，如上面图3所示，（2）在该图中，不妨设，由题意可知：，则，按照黄金矩形的定义可知四边形是黄金矩形（3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作一个正方形，在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形